高等数学2.3隐函数及参数方程确定的函数的导数ppt课件

1、31xy一、隐函数的导数一、隐函数的导数假设由方假设由方程程0),(yxF可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,由由)(xfy 表示的函数表示的函数 , 称为显函数称为显函数 .例如例如,013 yx可确定显函数可确定显函数03275xxyy可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,但此隐函数不能显化但此隐函数不能显化 .函数为隐函数函数为隐函数 .那么称此那么称此隐函数求导方法隐函数求导方法: 0),(yxF0),(ddyxFx两边对两边对 x 求导求导(含导数含导数 的方程的方程)y2.32.3隐函数和参数方程求导隐函数和参数方程求导 例例1. 求由方程求由方程03275xxyy)

2、(xyy 在在 x = 0 处的导数处的导数.0ddxxy解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导)32(dd75xxyyx得得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因因 x = 0 时时 y = 0 , 故故210ddxxy0确定的隐函数确定的隐函数例例2. 求椭圆求椭圆191622yx在点在点)3,2(23处的切线方程处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为故切线方程为323y43)2( x即即03843 yx例例3. 设设)(xyy 由方程由方程eyxey确定确定 , ,

3、)0(y解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导,得得0yxyyey当当0 x时时,1y故由故由 得得ey1)0( 求求. )0(y 例例4. 求求)0(sinxxyx的导数的导数 . 解解: 两边取对数两边取对数 , 化为隐式化为隐式xxylnsinln两边对两边对 x 求导求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx二、对数求导法二、对数求导法 例例5 5)4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny对对 x x 求导求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数两边取对数2ln1lnxx4ln3lnx

4、x11x21x31x41x 1) 对幂指函数对幂指函数vuy 可用对数求导法求导可用对数求导法求导 :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1阐明阐明: :按指数函数求导公式按指数函数求导公式按幂函数求导公式按幂函数求导公式留意留意:2) 有些显函数用对数求导法求导很方便有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数两边取对数yln两边对两边对 x 求导求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定

5、的函数的导数假设参数方假设参数方程程)()(tytx可确定一个可确定一个 y 与与 x 之间的函数之间的函数)(, )(tt可导可导, 且且,0 )( )(22tt那那么么0)( t时时, 有有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t时时, 有有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成此时看成 x 是是 y 的函数的函数 )关系关系,例例6. 抛射体运动轨迹的参数方程为抛射体运动轨迹的参数方程为 1tvx 求抛射体在时辰求抛射体在时辰 t 的运动速度的大小和方向的运动速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小先求速度大小:速度的程度分量为速度的程度

6、分量为,dd1vtx垂直分量为垂直分量为,dd2tgvty故抛射体速度大小故抛射体速度大小22)dd()dd(tytxv2221)(gtvv再求速度方向再求速度方向(即轨迹的切线方向即轨迹的切线方向):设设 为切线倾角为切线倾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 那么那么yxo2212tgtvy抛射体轨迹的参数方程抛射体轨迹的参数方程22121 tgtvytvx速度的程度分量速度的程度分量,dd1vtx垂直分量垂直分量,dd2tgvtytan12vt gv 在刚射出在刚射出 (即即 t = 0 )时时, 倾角为倾角为12arctanvv到达最高点的时辰到达最高点的时辰,2gvt 高度高度ygv2221落地时辰落地时辰,22gvt 抛射最远间隔抛射最远间隔xgvv212速度的方向速度的方向yxo2vt g22vt g例例7. 设由方程设由方程) 10(1sin 222yytttx确定函数确定函数, )(xyy 求求.ddxy解解: 方程组两边对方程组两边对 t 求导求导 , 得得故故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxtyddtxdd, 求求01sin232ytettxy.dd0txy解：解： txddyetydd0dd