河道平面二维水流的数值模拟

1、河道平面二维水流的数值模拟黄碧珊（交通部西南水运工程科研所）作者简介黄碧珊：工程师，1983年毕业于蛍庆交通学院，1987年毕业于河海大学海岸及海洋工程研究生 班。主要研究方向为河道水流的数值模拟、港口工程及航道整治.提 要 在用Laplace方程组数值生成的正交貼体坐标系的基越上,采用空 间变步长的正交曲线网格，利用ADI法原理，建立了对地形、河岸边界凡工程龙筑 物有良好适应性的河道平面二维水流的数学模型。将该模型应用于实际河道的平面,二维水流的数伍模拟中，效杲较好。1刖 吕计算机数值模拟水流运动已成为当今水力学研究中的一个发展方向。平面二维非恒定流 的研究已有相当长的历史，其数值模拟的方法

2、在理论和应用上已取得了丰硕的成果。平面二 维非恒定流模拟在河口、海湾等开阔水域中的应用已较为成功，但河道平面二维非恒定流的 数值模拟研究则尚不充分。河道地形复杂，两岸不规则边界形状控制水流运动，其走向往往 剧变，水流在一个狭长形的弯曲区域内运动，因此，许多河口或湖泊计算模型对河道不一定 适用。河道水流的计算有其自身的持点。对河道地形复杂及边界变化大、有工程趙筑物的区 域，如弯道、有丁坝的地区，往往需对该区域加密网格；而对比较顺直的区域，网格可适当 放大。且河道水流的计算域长宽比很大，采用统一的正方形网格就难以溝足上述要求。为了适应复杂地形、河逍不规则边界及工程建筑物，同时也为了减少计算机机时和

3、所占 用的内存，近年来，采用了三角形网格差分2、数值法生成网洛導方法，尤以数值生成 网格法发展为迅速。本文采用Laplace方程组数值生成正交贴体坐标系。只要在物理域上的 一对相邻边界上按人为要求布点，即可方便、迅建地生成正交贴体坐标系小。该坐标系可 克服传统的矩形网格在河道水流计算中的不足。数值生航的正交曲线网洛一般不是等距的。 在此基础上，利用ADI法原理，建立了空间变步长的河道平面二维水流的数学模型。该模型 在实际河段的水流模拟中试用，取得了较好效果。2基本方程及差分方程的建立C2J 基本方程在一般正交曲线坐标系下，平面二维水流运动的基本方程为：来稿日期；例302231994-2011

4、China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved ghttpy/wwwcnki,n<式中,> W dl( 八歸 ghUQ =0aug ut du. , u. dut * ujj. dht uj . dh.dt A； d:h° dr; /i 血 dr 吋， 耐蚊卫謬匸m： %弋罷8匕亠U&込dU9丄U乩敗UJ 的 讥 紅耐 打dri 加九处hLh, 丽gU.JpHuF g dZ Vt dA Vt dF5+ h.丽 J h.丽 + h.站（讽）(1)(2)S, % h.f九分

5、别为e,卬方向的垂线平均流速和拉梅系数：z为水位；力为水深；g为 重力加速度”是水平涡流粘性系数丿c为谢才系数。在方程（2）, （3）中略去柯氏力项，这是因为与河口、海湾相比，计算河道长度远大 于宽度，与其它因索相比。柯氏力引起河道两侧水位差可以忽略。涡粘系数X的选取是一个 比较复杂而重要的问题。在正交曲线坐标系下，力即使取一常数，涡流粘性二阶项的计算仍 十分复杂。略去丹，计算量将成倍滅少。有的文献认为”的取值对卄算结果影响不大。 从数学上来讲，这些项的作用是消除或阻尼计算中可能出现的短波分量的干扰，或可以说在 计算中引入了一定的数值耗散。在实际计算中，我们常用的差分近似计算，将Taylor级

6、数的 高阶项丢掉的过程，就或多或少地引入了数值耗散。它们的作用与在微分方程中引入的人工 粘性项相似。由此可知，在实际计算中卄及的所谓涡粘扩散系数应当是包含了各个尺度。如 数值耗散，对沿垂向速度剖面滤波得动量方程中的所谓水平（或有效）剪切力项等耗散在内 的总的系数。通过数值方法可引入力项的作用。因此，在计算时，在式（2）, （3中 直接略去X项，即取力=0。2.2差分方程式的建立在当前河口、海湾等宽阔水域的流场计算中，ADI法是较为成功和最常用的方法之一。ADI法（Alternating Diiection Implicit Method）实际上是一种显式隐式交替使用的有 限差分格式，同时具有显

7、式和隐式两种有限差分的某些突出优点。例如，它的表述形式较简 单，求解方法不像完全隐式那样每一步需迭代求解大型代数方程组因而所需计算机内存蜀 少，计算时间也短。它也不像显式格式那样，在计其过程中易出现数值玻动现象。ADI法 具有较好的计算稳定性和精度。利用Laplace方程组，在实际物理平面（x-y平面）中生成正交贴体坐标系.同时将物C 1994（yj Lbina Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. httpMkin理平面转换成了计算平面d平面）,如图1。在计算平面£-可中，将微分方程（I

8、，（2）, （3）离散成差分方程时，采用交错网格，其水力要素在差分网格中的位置见图2。图1切谟*窗和计只平Ito+_+_+_+_+I°I°I°I°!+十一+ 十一+I°I"I°I°I+_+_+_+_+I°I°I0I°I+ +1图2水力耍索在差分西格中的陰良© 1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/Akim图中的（I, /）分别为£

9、;、q方向上的网格节点编号。考虑地形-河岸边界及工程设施，正交 曲线网格为不等距网格。将每个时间步长分为两个半步，在前半步，即”&一（" +扌&上，沿$方向对Z, U采用隐式运算，而对u采用显式运算，由此可对水流方程式（1，（2，（3）建立相 应的差分表达式。询半步，“&一亠（n + 1）Af时，分别写出（1，（ 2的差分表达式：式中,© 1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/Akim© 1994-20

10、11 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/Akim+ C|4忆:;器=© 1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/Akim© 1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/Akim式中，&

11、quot;产& 呱 g ）Cf 厂二°冲.丿（0,g ）© 1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/Akim© 1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/Akim联解(4), (5并写成矩阵形式：53 © 1994-2011 China Academic Journal Ele

12、ctronic Publishing House. All rights reserved. http:/Akim . 、 w %B 、0 、s”节ai-j孙和z中 八丿f:.i+j.；% t+i9l=0% 7« + ij +1 j > 丿/上式解为：Z中仏+.)"7? + 17/> (6)U严丰.=P. +R . Zn + i . 1t +ie; i +! j: + i/ / +1> f式中,L,产(仃-Q b . P ,-f . , C. ± .)/Di4tj 2->7+P； I +!； i +-b；M$广 C,+ *.j Czi j

13、/DP, + 2厂5 + 4厂久4j> /件+!/+ |/= " 5/)/bj + *.j根据联解式（4）, （5）求出的Zn+i即可由式（3）相应的差分方程显I小7式求得匕"+ 一 0时灯.=F（£/, 4小、Z"+ Z。、他、漏、A/, g, n ）后半步（" + *）&>（n+l）d的差分方程式同前类似，即：先联立式（1， <3）所相应的差分方程，求出Z，U/“，再由式（2）相应的差分方程式显式求得5八, 其过程和上述完全相同。e3差分方程式的求解3.1初始条件苯分方程式的初始条件可以取计算域内的初始水位均为一常

14、数Z = Z09初始蔬度取二 0、=0,这就是所谓的冷启动在此条件下，往往需一定时间的过渡计算才能趋于真正的 流动状态。也可使计算域的水位从某个已知状态Z = z。，S,匕开始。如果该 状态选取猖好，则可节省一定的过渡计算时间（相应地减少CPU时间）即可趋于真正的流 态O3.2边界条件边界条件分为与水相连的开边界及河岸闭边界（图3 ）。3.2.1对闭边界采用非滑移不可透边界条件假定：何撑边*%十-十.十一*+y1 xi=+ t-t *+-*2川即Z, = Zj,2,乙山二乙沙叮.图3边界条件< 式中，i=l, 2, 3,nj3.2.2上、下游开边界，考虑其出流处较顺直，沿£方向

15、网格宽度变化不大，因此假定卩 方向没有流动，即2 0。因计算河段处于缓流状态，故应在下游给定控制水位Zd,即Z.j = Z.（l）f上游给定垂线平均流速沿河宽分布，即j = 0（Oo3.3差分方程计算的稳定性及流场计算的收敛准则3.3.1差分方程计算的稳定性时间步长按以下公式考虑竺£ -坠7 一2、/ g力式中,h.表示计算域内最大水深，4表示域内网格的最小距离，a为一综合修正系 数。在一般直角坐标系（方尸人=1下，a为13。在曲线坐标系下，方程的非线性化程度 比直角坐标系下方程的非线性化程度髙，相应a值应取较小，-般取aVl5可获得计算稳定 性。具体取值可根据计算河段待性，通过计算

16、试验确定。本文计算中取a=l0。3.3.2流场计莫的收敛谁则在对恒定流流场计算中,在冷启动或热启动下，因初始条件不可能是流场的真实初始状 态，因此，需经过一定的过渡计算才能达到真正的流场.这个过渡计算时间竞究为多长？这就_ 55 1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, httpz/zxw'vv.enki.m涉及到流场的收敛准则。在数值计算中，常把非恒定解长时间的渐近极限作为问题的恒定 羅.本文以前后两个相邻时间内的u、Z小于给定的适当小的常数作为恒定解的收敛准则

17、。 即取 | Z八Z I WO.OOim, I U-Uta | WO.OOim/s,丨匕吩-Uj | <0.00im/s , 当迭代到Z, Ul9 1/,蒲足以上条件时，其实测值与收敛解基本吻合。若初始条件已经反映了流场的真正初始状态，则由此计算的结果就是真实流场，也就不 存在过渡计算了。4计算实例计算的某河段是平原性河弯河段（图4）0该河段深槽、浅滩交错，深槽深达30余米,河宽由上游向下游逐新扩展达约lKm多宽，边滩深数米。计算的河弯河段长约6Km。首先，根据河道走向及河岸边界，按文献3中的方法,在右岸边界及上游入流开边界处布 置边界网格点。网格点按不等距布置，网格之间沿§向

18、、祁M并需遵循渐变原则。网格沿$向最小 间距大约30m,最间距约14Cm,长宽比约为5。布置生成25x55共1 375个网格点，规定边界倾角改变小于0.15X10-5弧度，内部节点改变小于0.015mo经过迭代生成正交网格（图5 ）,IS 5计算实例的网格生成数抵九值。整个网格的生成，在M340S中型计算机上约需CPU5分钟。在生成网格的基础上，使用前述ADI法进荷河段流场计算，计算流ftQ = 30800m3/So上 游考虑垂线平均流速沿河宽分布作为上游开边界条件，下懈考虑水位作为下游开边界条件， 考虑河岸为非滑移、不可透作为河岸闭边界条件。在冷启动条件下得到恒定流流场。图6表示恒定流动时的

19、流速场计算结果。图屮箭头长短即表示该料速度大小，箭头方向© 1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. httpHki.m© 1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. httpHki.m图6法速场计糞结果示意图即表示该点流速方向。该图较好地反映了水流的流动情况。该图也反映出水流动力轴线基本居中，这与河道洪水时期水流动力轴线的摆动情况

20、是一致的。计算的横向流速。基本为负值，表明水流是冲向右岸（凹岸的。从计算的水位僧况看，凹岸水位较凸岸水位略高，横比降很小。表1是计算的水位与"200正态物理模型测量的水住直的比较，误差均在O.lm以内。图7表示断面垂线平均流速卄算值与1 : 2001E态物理模型测量值的比校，两者得到的较© 1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. httpHki.m© 1994-2011 China Academic Journal Electronic P

21、ublishing House. All rights reserved. httpHki.m好吻合。从以上分析可知，J+算结果与实际情况是吻合的，这表明本计算是成功的，模式能较好图7新面垂找平均流速分布示意图© 1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. httpHki.m表1水位验证袁24 »1 *20»右水边左水边右水边左水边右水边左水边计算值16.96516.88917.00616.92117.02317.021试验值16.9916.9

22、717.0216.9717.0416.995结 语在流场卄算中，用Laplace方程组生成正交贴体坐标系以克服边界及地形所造成的计算的 不便，具有概念明确、计算简单和方便的特点，适合于工程实际情况，是一种值得推荐的方 法。本模式对实际河道的水流计算是成功的，可望在实践中得到进一步应用。參考文itt1刘智，林秉南，何少苓.三角形网格在二维不恒定流计算中的应用.水利学报， 1987年第9期2 汪德熾，杨艳艳.边界拟合坐标法的应用一一长江口南支非恒定流计算.河海大学 学报，1989年第1期3 黄碧珊夭然河道维正交贴体坐标系的生成.水运工程，199Z年第4期4 李义天.河道平面二维水力数值模拟.武汉水利电力学院学报，1987年第5期5 何少苓