函数的奇偶性

1、1.1.3 3.2 .2 奇偶性奇偶性 第一课时第一课时 函数的奇偶性函数的奇偶性问题提出问题提出 1.1.研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的需要，也是数学自身发展的必然结果需要，也是数学自身发展的必然结果. . 例如事物例如事物的变化趋势，利润最大、效率最高等，这些特性的变化趋势，利润最大、效率最高等，这些特性反映在函数上，就是要研究函数的单调性及最值反映在函数上，就是要研究函数的单调性及最值. . 2.2.我们从函数图象的升降变化引发了函数的单我们从函数图象的升降变化引发了函数的单调性，从函数图象的最高点最低点引发了函数的调性，从函数图象的最高点最

2、低点引发了函数的最值，如果从函数图象的对称性出发又能得到什最值，如果从函数图象的对称性出发又能得到什么性质？么性质？知识探究（一）知识探究（一）考察下列两个函数：考察下列两个函数：(1) ; (2) .(1) ; (2) .2( )f xx ( ) |f xx思考思考1:1:这两个函数的图象分别是什么？二者这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？有何共同特征？ xyo图（图（1）xyo图（图（2）思考思考2:2:对于上述两个函数，对于上述两个函数，f(1)f(1)与与f(-1)f(-1)，f(2)f(2)与与f(-2)f(-2)，f(3)f(3)与与f(-3)f(-3)有什么关系？有什么

3、关系？ 思考思考3:3:一般地，若函数一般地，若函数y=f(x)y=f(x)的图象关于的图象关于y y轴轴对称，则对称，则f(x)f(x)与与f(-x)f(-x)有什么关系？反之成立有什么关系？反之成立吗？吗？ 思考思考4:4:我们把具有上述特征的函数叫做偶函我们把具有上述特征的函数叫做偶函数，那么怎样定义偶函数？数，那么怎样定义偶函数？ 如果对于函数如果对于函数f(x)f(x)定义域内的任意一个定义域内的任意一个x x，都有都有f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)成立，则称函数成立，则称函数f(x)f(x)为偶为偶函数函数. .f(x)=f(-x)f(x)=f(-x)思考思考5:5:等式

4、等式f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)用文字语言怎样表用文字语言怎样表述？述？ 自变量相反时对应的函数值相等自变量相反时对应的函数值相等 思考思考6:6:函数函数 是偶函数是偶函数吗？偶函数的定义域有什么特征？吗？偶函数的定义域有什么特征？2( ), 1,2f xxx 偶函数的定义域关于原点对称偶函数的定义域关于原点对称知识探究（二）知识探究（二）考察下列两个函数：考察下列两个函数：(1) ; (2) .(1) ; (2) .( )f xx1( )f xx思考思考1:1:这两个函数的图象分别是什么？二者这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？有何共同特征？ 思考思考2:2:对于上述

5、两个函数，对于上述两个函数，f(1)f(1)与与f(-1)f(-1)，f(2)f(2)与与f(-2)f(-2)，f(3)f(3)与与f(-3)f(-3)有什么关系？有什么关系？ xyo图（图（1）xyo图（图（2）思考思考3:3:一般地，若函数一般地，若函数y=f(x)y=f(x)的图象关于坐的图象关于坐标原点对称，则标原点对称，则f(x)f(x)与与f(-x)f(-x)有什么关系？反有什么关系？反之成立吗？之成立吗？ 思考思考4:4:我们把具有上述特征的函数叫做奇函我们把具有上述特征的函数叫做奇函数，那么怎样定义奇函数？数，那么怎样定义奇函数？ 如果对于函数如果对于函数f(x)f(x)定义域

6、内的任意一个定义域内的任意一个x x，都有都有f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)成立，则称函数成立，则称函数f(x)f(x)为奇为奇函数函数. .f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)思考思考5:5:等式等式f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)用文字语言怎样表用文字语言怎样表述？述？ 自变量相反时对应的函数值相反自变量相反时对应的函数值相反 思考思考6:6:函数函数 是奇函数吗？是奇函数吗？奇函数的定义域有什么特征？奇函数的定义域有什么特征？( ), 1,2f xx x 奇函数的定义域关于原点对称奇函数的定义域关于原点对称理论迁移理论迁移 例例1 1 判断下列函数的奇偶

7、性判断下列函数的奇偶性: : (1) ; (2) .(1) ; (2) .1( )f xxx2( )1f xx212: ( )22xf xx例判断函数的奇偶性.(3) ( ) 0f x 22 (0)(4) ( ) (0)xxxf xxxx 例例3 3 已知定义在已知定义在r r上的函数上的函数f(x)f(x)满足：对任满足：对任意实数，都有意实数，都有 成立成立. .（1 1）求）求f(1)f(1)和和f(-1)f(-1)的值；的值； （2 2）确定）确定f(x)f(x)的奇偶性的奇偶性. .()( )( )f a baf bbf a奇偶函数图象的性质奇偶函数图象的性质: : 奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称. 反过来反过来,如果一个函数的图象关于原点对称如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数为奇函数那么这个函数为奇函数. 偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称.反过来反过来,如果一个函数的图象关于如果一个函数的图象关于y轴对称轴对称,那么这个函数为偶函数那么这个函数为偶函数.注：奇偶函数图象的性质可用于：注：奇偶函数图象的性质可用于： .简化函数图象的画法。简