辐角原理及应用ppt课件

1、6.3 辐角原理及应用辐角原理及应用6.3.1 对数留数6.3.2 辐角原理6.3.3 儒歇定理1( )2( )Cfzdzif z定义：形如定义：形如积分称为积分称为f(z)的对数残数的对数残数主要作用：推出辐角原理主要作用：推出辐角原理提供了计算解析函数零点个数的一个有效方法.特别是,可以研究在一个指定的区域内多项式零点个数的问题显然,函数f(z)的零点和奇点都可能是 的奇点.)()( zfzf6.3.1 对数留数对数留数对数留数因对数留数因此而得名此而得名1ln( ( )2Cdf zi 证 如a为f(z)的n级零点,则在点a的邻域内有引理引理6.4 (1)设设a为为f(z)的的n级零点，级

2、零点，( )Re( )z afzsnf z (2)设设b为为f(z)的的m级极点级极点( )()( ),nf zzag z1( )()( )()( ),nnfzn zag zzag z( )( )fzf za必为函数必为函数的一级极点,且必为函数 的一级极点,且( )( )fzf z ( )Re( )z bfzsmf z其中g(z)在点a的邻域内解析,且g(a)0.于是 (2)如b为f(z)m级极点 在点b的去心邻域内有( )( )( )( ).fzgznf zz ag z在点a的邻域内解析,( )( )gzg z1( )Re( )z afzscnf z的一级极点,且( )( )()mh zf

3、zzb( )( ).( )( )fzmhzf zzah z( )( )fzf z a必为必为 h(z)在点在点b的邻域内的邻域内解析解析,且且h(b)0.1( )()( )( )()mh z zbmh zfzzb( )( )h zh z在点b解析的一级极点,且故b为( )( )fzf z( )Re( )z afzsmf z 定理6.9 设C是一条围线,f(z)符合条件:12( )(,)(,),( )CfzdzN f CP f Cif z(6.26) 证： 易知亚纯函数f(z)在C内部至多只有有限个零点和极点.设ak(k=1,2,p)为f(z)在C内部的不同零点,其级数相应地为nk;bj(j=1

4、,2,q)为f(z)在C内的不同极点,其级数相 (1)f(z)在C内部除可能有极 点外是解析的;(2)f(z)在C上解析且不为零则有式中N(f,C)与P(f,C)分别表示f(z)在C内部的零点与极点的个数称为称为f(z)在在C内是亚纯的内是亚纯的(2)可改为可改为f(z)在在C上连续且不为零上连续且不为零特别注意几级算几个特别注意几级算几个.在C内部及C上除去在C内部有一级极点ak(k=1,2,p)及bj(j=1,2,q)均是解析的.()()fzfz1112( )( )( )ReRe( )( )( )kjpqCz az bkjfzfzfzdzssif zf zf z11()(,)(,)pqkj

5、kjnmN f CP f C故由留数定理6.1,及引理6.4得应地为mj,则根据引理(6.4)知,例 计算积分91041| | zzIdzz910101044111101| | |()zzzzIdzdzzz12100210()iiCargf(z)表示z沿C之正向绕行一周时argf(z)的改变量2( , )( , )arg ( ).cN f CP f Cf z特别说来,如f(z)在围线C上及C之内部均解析,且f(z)在C上不为零,那么6.3.2 辐角原理辐角原理(2) f(z)在在C内是亚纯的内是亚纯的(3) f(z)在在C上连续且不为零上连续且不为零(1) C是一条围线 辐角 原理 2arg

6、( )( , ).cf zN f C例例6.21 设设f(z)=(z-1)(z-2)2(z-4),C: |z|=3,试验证试验证 辐角原理辐角原理2)(Arg)()( 21zfdzzfzfiPNCC例例6.22 设设n次多项式次多项式 p(z)=a0zn+ a1zn-1+ +an=0 (a0 0）在虚轴上没有零点，证明它的全部零点在左半平面在虚轴上没有零点，证明它的全部零点在左半平面Rez0内的充要条件是内的充要条件是:RiRiCRROxy R,RRCRiRi ()arg()yP iyn22:ieRzRe02arg( ( )( ,)()RCRP zN P CR 0limarg( ( )RCRP

7、 z()limarg( ( )limarg( ()yRRRRRP zP iy01limarg( ( )limarg( )RRnRRP za zg zArg2121di01limarglimarg( )RRnRRa zg zn()arg( ()yP iyn()limarg( ( )yRRRP iynn 0)(02211nnnnzaazazazg定理定理6.10 (儒歇儒歇(Rouche)定理定理) ).,(),(CgNCfN6.3.3 儒歇儒歇(Rouche)定理定理设设C是一条围线是一条围线,函数函数f(z)及及(z)满足条件满足条件: (1)它们在它们在C的内部均解析的内部均解析,且连续到且

8、连续到C;(2)在在C上上, |f(z)-g(z)|0,及及. 0| )()(| )()(|zzfzzf6.3.3 儒歇儒歇(Rouche)定理定理设设C是一条围线是一条围线,函数函数f(z)及及(z)满足条件满足条件: (1)它们在它们在C的内部均解析的内部均解析,且连续到且连续到C;(2)在在C上上, |f(z)|(z)|f(z)与与 f(z)+(z) 在在C内部有同样多的零点内部有同样多的零点,即即).(arg)()(argzfzzfcc(6.30)由关系式1( )( )( )( )( )zf zzf zf z(6.31) 这样一来,这两个函数f(z)与 f(z)+(z)都满足定理6.9

9、的条件.由于这两个函数在C的内部解析,于是由(6.28),下面只须证明1( )arg ( )( )arg ( )arg( )ccczf zzf zf zC0z1( )( )zf z图6.1410( )arg.( )czf z根据条件(2),当z沿C变动时. 1| )()(|zfz将z平面上的围线C变成平面上的闭曲线,1( )( )zf z借助函数20arg1 即是说,点 不会围着原点=0 绕行. 11( )( )zf z 全在圆周全在圆周| -1|=1的内部的内部.)()(|) 1 (fNfNf)()(|)2(fNgNffg, fg 令两种表达法的等价性：)()()()(1fNgNffgNfN

10、）得由（推论推论1: 设设n次多项式次多项式 p(z)=a0zn+ atzn-t+an(a00）满足条件：满足条件：|at|a0|+ |at-1|+ |at+1+ +|an|则则p(z)在单位圆在单位圆|z|a0|+ |at-1|+ |at+1+ +|an|(z)|由儒歇定里得由儒歇定里得p(z)=f(z)+(z)与与f(z)在单位圆内有同样在单位圆内有同样多的零点，即为多的零点，即为n-t个个推论推论2: n次方程次方程 (p(z)=)a0zn+ a1zn-1+ +an=0 (a0 0） 在复数域内有且仅有在复数域内有且仅有n个根几重根就算几个根）个根几重根就算几个根）1.首先证明存在首先证

11、明存在R0，有有n个根个根R方程在圆方程在圆|z|0无根证证明明1.令令 f(z)=a0zn, (z)= a1zn-1+ +an=0 则当则当|z|=R时，时， |(z)| a1zn-1|+ +|an| = | a1|Rn-1+ +|an-1|R+|an| ( | a1|+ +|an-1|+|an|) Rn-1 1限定限定| a1|+ +|an|a0|R所以只要取所以只要取101|max,|naaRa有有:当当|z|=R时时,| f(z)|(z)|, f(z),(z)在在|z|R上解析上解析 N(f(z)+(z),C)=N(f(z),C)=n即：即：N(p(z),C)=n2.z0: |z0|=

12、R0R，需证，需证:|p(z0)|0|(z0)| | a1z0n-1|+ +|an| = | a1|R0n-1+ +|an-1|R0+|an| ( | a1|+ +|an-1|+|an|) R0n-1 |a0|R0n=|f(z0)| |p(z0)|=|f(z0)+ (z0)| |f(z0)|-| (z0)|0 p(z0)=a0z0n+ a1z0n-1+ +an 0 。在每个象限恰有一个根证明方程例1022)(5 . 3 . 534zzzzP证：先证该方程在实轴和虚轴上都没有根。证：先证该方程在实轴和虚轴上都没有根。1022)(34xxxxP在实轴上11) 1)(1(22xx，显然当0)(, 1xPx. 0)(, 2) 1)(1(, 12xPxxx当. 0)(xP在实轴上. 01022)(34iyiyyiyP在虚轴上考虑第一象限的路径如右图：ORRr1r3r2分别计算沿着路径r1,r2,r3时P(z)辐角的改变量：, 0)(Arg1zPrORRr1r3r2接上。在每个象限恰有一个根证明方程例1022)(5 . 3 . 534zzzzP),10221 ()(2434zzzzzPr上，在),(24)