数列解答题专练(含答案版).

1、数列高考真题汇编1已知等差数列 an 的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4 成等比数列(1)求数列 an 的通项公式；(2)令 bn(1)n-1 4n，求数列 bn 的前 n 项和 Tn.anan12× 1解析(1)因为 S1 a1，S2 2a12 × 22a1 2，4×3S44a12×24a112，(3 分 )由题意得 (2a1 2)2 a1(4a112)，解得 a11.所以 an2n1.(5 分 )(2)bn ( 1)n14n(1)n14nanan12n1 2n1(1)n 111.(6 分)2n1 2n 1当 n 为偶数时，111

2、11111Tn 13 35 2n11132n2n12n2n 12n.2n1当 n 为奇数时，11111111Tn 13 35 2n11132n2n12n2n 12n2.(10 分)2n12n，nN* .2已知数列 an 的前 n 项和 Sn n2(1)求数列 an 的通项公式；(2)设 bn2an (1)nan，求数列 bn 的前 2n 项和解析(1)当n1 时， a1S11；当 n 2 时， an SnSn1n2n2n12 2n 1n.故数列 an 的通项公式为an n.(2)由 (1)知， ann，故 bn2n (1)nn.记数列 bn 的前 2n 项和为 T2n，则T2n(21 22 2

3、2n)( 1 2 3 4 2n)记 A 2122 22n，B 1234 2n，则 A 2 1 22n 22n12，1 2B( 1 2)(34) (2n 1)2nn.故数列 bn 的前 2n 项和 T2n A B22n1n2.3数列 an 满足 a1 1，nan 1(n 1)ann(n1)， n N* .an(1)证明：数列 n是等差数列；设 n3n· n，求数列 bn 的前n项和 n(2) baS .解析(1)证明：由已知可得 an1an ，即an1an1.(4分)n1n1n1nan1所以数列 n 是以a1 1 为首项， 1为公差的等差数列 (5 分)an·1n，所以 an

4、 n2.(2)解：由 (1)得 n 1 (n1)从而 bnn·3n.(7 分 )Sn1×31 2× 323×33 n·3n，23nn13Sn1×3 2×3 (n 1) ·3 n·3 . ， 得 2Sn 31 32 3n n·3n 1 3·1 3n n·3n 1 131 2n ·3n 1 32.(10 分)n 1所以 Sn2n1 ·3 34.(12 分)4已知 Sn 是数列 an 的前 n 项和， a1 2， Sn 13Snn2 2(n N* )，设 bn

5、ann.(1)证明：数列 b 是等比数列；n若n n ，数列 cn的前n项和为Tn，求证： Tn4(2) cb< .n5解析(1)证明：因为 a1 ， n1nn2 ，2S3S2所以当 n1 时， a1a2 3a1 122，解得 a27.(2 分)由 Sn13Snn2 2 及 Sn 3Sn1(n 1)22(n2)，两式相减，得an1 3an 2n1.故 an1 n 1 3(ann)即 bn13bn(n2)(4 分 )又 b13，b29，所以当 n 1 时上式也成立故数列 bn 是以 3 为首项， 3 为公比的等比数列 (5 分)n(2)由 (1)知 bn3n，所以 cn 3n.1 23n

6、1n所以 Tn33233 3n 1 3n，2 3n1n3Tn1332 3n2 3n1.(7 分)1 11n 332n，得 2Tn1332 3n1 3n2 2·3n .所以 Tn332n.(10 分)n44·3因为 nN* ，显然有32n>0.n4·3344又4<5，所以 Tn<5.(12 分 )15已知首项为 2的等比数列 an 是递减数列，其前n 项和为 Sn，且 S1a1，S2 a2，S3 a3 成等差数列(1)求数列 an 的通项公式；(2)若 bnan·log2an，数列 bn 的前 n 项和为 Tn.1解析(1)设等比数列 a

7、n 的公比为 q，由题知 a12，又S1a1， S2a2， S3a3 成等差数列，2(S2a2)S1a1S3a3.S2S12a2 a1S3S2 a3，即 3a2 a12a3.3121 q q ，解得 q 1或 q .(4 分)2221又 an 为递减数列，于是q2.n-11 nana1q(2) .(6分)1 n(2)bn anlog2an n(2) ，11 21 n11 nT 1×22×(2) (n1)(2) n× (2)n1121 n1 n 1于是 Tn 1×() (n 1)() n×( ) (8 分 )222211 n两式相减，得11121

8、n1n12×122Tn () () n× () 1222212n×(12)n1.1 nTn(n 2)(2) 2，6已知首项都是 1 的两个数列 an ， bn( bn0，nN* )满足 an bn 1an 1bn 2bn 1bn0.an(1)令 cnbn，求数列 cn 的通项公式；(2)若 bn3n-1，求数列 an 的前 n 项和 Sn.解析(1)因为 anbn1an1bn2bn1bn0，bn 0(nN* )，an1an所以 bn1bn 2，即 cn1cn2.(4 分)所以数列 cn 是以首项 c11，公差 d2 的等差数列，故cn2n 1.(2)由 b 3n1

9、，知 an1.c b (2n1)3nnnn于是数列 an 的前 n 项和012n 1S 1·3 3·3 5·3 (2n1) ·3，n12n1n3S 1·33·3 (2n 3) ·3(2n1) ·3，n相减得2Sn12·(3132n 1nn 3 )(2n1) ·32 (2n 2)3 .nn所以 S (n 1)3 1.n2，a4 是方程 x25x60 的根7已知 a 是递增的等差数列， a(1)求 an 的通项公式；na(2)求数列2n 的前 n 项和解析 (1)方程 x25x 0的两根为，由题意得

10、a2，4362,32 a13设数列 an 的公差为 d，则 a4 a22d，故 d2，从而 a1 2.1所以 an 的通项公式为 an2n1.(2)设anann2n的前 n 项和为 Sn，由 (1)知 n2n1，则2234n 1n 2Sn2223 2n 2n1，134n1n22Sn2324 2n1 2n2 .两式相减，得13 11n23 11n 2Sn ( 3 2n1)(1).24 22n24 42n 12n2n4所以 Sn2 n1 .2 n1 2 2，a3·432.8已知 a 是各项均为正数的等比数列，且a·aa(1)求数列 a 的通项公式；n(2)设数列 bn 满足 b

11、1b2b3 bn an 1 1(n N*) ，求数列 bn 的1 352n1前 n 项和解析(1)设等比数列 an的公比为 ，q2a q 2，1由已知得52a q32.11又a1>0， q>0，a 1，q2.an2n1.(2)由题意，可得 b1 b2b3 bn 2n 1.1352n 12n11 bn2n1(n2)， bn2n1.2n12n1bn(2n1)2n1(n2)当 n 1 时， b1 1，符合上式，n1*)bn(2n1) ·2 (nN12n 1设 Tn13×25×2 (2n1) ·2，23n1n2T 1×23×2 5

12、×2 (2n3) ·2 (2n 1)·2，n两式相减，得 Tn 12n 1nn3.2(2 2 2 ) (2n1) ·2 (2n3) ·2Tn(2n3)2n 3.已知数列n是31 ，公比 q1的等比数列设bn23log1n 9 a a6444a (n*nn an nN)，数列 c 满足 cb .(1)求证：数列 bn 是等差数列；(2)求数列 cn 的前 n 项和 Sn.解析(1)证明：由已知，可得ana3qn3 (14)n.1 1 n则 bn23log4(4) 3n，bn3n 2.bn1bn 3， bn 为等差数列1 n(2)由 (1)知 cnanbn (3n 2)(4) ，112131 nSn1×44×(4) 7×(4) (3n2)× (4)， 112131 41 n1 n 1.Sn1×( ) 4×( ) 7