3[1]21复数代数形式的加减运算及其几何意义

1、3.2.1复数代数形式的加减运算复数代数形式的加减运算及其几何意义及其几何意义 知识回顾知识回顾(4) 复数的几何意义复数的几何意义(1) 虚数单位虚数单位i(2) 复数的分类复数的分类(3) 复数相等的等价条件复数相等的等价条件(5) 复数的模复数的模认识新知认识新知1、复数的加法法则：设、复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di (a、b、c、dR)是任意两复数，那么它们的和：是任意两复数，那么它们的和：（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i说明说明:（1）复数的加法运算法则是一种规定。复数的加法运算法则是一种规定。当当b=0，d=0时时与实数加法法则保持一致与实数加

2、法法则保持一致（2）很明显，两个复数的和仍然是一个复数）很明显，两个复数的和仍然是一个复数,对于复数对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。的加法可以推广到多个复数相加的情形。证：证：设设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i (a1，a2，a3，b1，b2，b3R)则则z1+z2=（a1+a2)+(b1+b2)i，z2+z1=（a2+a1)+(b2+b1)i显然显然 z1+z2=z2+z1同理可得同理可得 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)点评点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中中 依然成立。依然成立。探究一探究

3、一? ?复数的加法满足交换律，结合律吗？复数的加法满足交换律，结合律吗？z1+z2=z2+z1(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)复数的加法满足交换律、结合律，即对任复数的加法满足交换律、结合律，即对任意意z1C，z2C，z3C),(2dcZ),(1baZZyxO 设设 及及 分别与复数分别与复数 及复数及复数 对应，则对应，则 , 1OZ2OZ abi+cdi+1( , )OZa b=2( , )OZc d= 向量向量 就是与复数就是与复数 OZ () ()a cb d i+对应的向量对应的向量.复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过向复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我

4、们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？义吗？12( , )( , )(,)OZOZOZa bc dac bd=+=+=+ 探究二探究二? ?复数是否有减法？如何理解复数的减法？复数是否有减法？如何理解复数的减法？复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足 （c+di）+（x+yi）= a+bi 的复数的复数x+yi 叫做复数叫做复数a+bi减去复减去复数数c+di的的差差，记作，记作 （a+bi）（）（c+di）请同学们推导复数的减法法则。请同学们推导复数的减法法则。 事实上，由复数

5、相等的定义，有：事实上，由复数相等的定义，有：c+x=a， d+y=b由此，得由此，得 x=a c， y=b d所以所以 x+yi=(a c)+(b d)i即：即：（a+bi） （c+di）= (a c)+(b d)i点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。 两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减，两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减，即即()()()()abicdiacbd i+-+=-+-思考思考? ?类比复数加法的几何意义，请指出复数减法

6、的几何意义？类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？yxO1Z2Z探究三探究三? ? 设设 及及 分别与复数分别与复数 及复数及复数 对应，则对应，则 , 1OZ2OZ abi+cdi+1( , )OZa b=2( , )OZc d= d)-bc,-(a d)(c,-b)(a, 2112OZOZZZ向量向量 就是与复数就是与复数 对应的向量对应的向量.12ZZidbca)()(例例1(56 )( 2)(34 )iii 计算5-6 )( 2)(34 )(523)( 614)11iiiii 解：（典型例题典型例题 2112122 ,3( ,)56 ,xiyi x yRizzzzzz例2：

7、 且求12121212(2 )(3)(3)(2)56 ,2235226838(22 )(38 )1 10ZZxiyixy iZZiZixxyyZiZZiii 解：且解得324,()(3)(3)(3)3212314yaiaRyy iaiai iaaixaxaayi 解:设解得,(21)(3)_,_xR yxiyy ixy变式：已知为纯虚数，且则解：由题意可知：解：由题意可知：A（0，3），），B（2，-1），），C（4，2），设），设D点的坐标为（点的坐标为（x,y），则），则四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，即点即点D的坐标为（的坐标为（6，-2），所以点），所以点D对应的复对应

8、的复数数为为6-2i。)2, 4(),4, 2(yxDCAB264224,yxyxDCAB解得即例例3：若平行四边形：若平行四边形ABCD的三个顶的三个顶点点A,B,C分别对应复数分别对应复数3i,2-i,4+2i,求求第四个顶点第四个顶点D对应的复数对应的复数?|23 | 1zziz 已知复数 满足，试求出复数 所对应点的轨迹方程.例例4：为半径的圆。为原点，是以（复数即则解：设复数1)32Z1)3()2(1)3()2(|)3()2(|32|32|,Z2222yxyxiyxiyixizyix（实际我们可以看做是到点（实际我们可以看做是到点（2,3）的距离为）的距离为1的圆。）的圆。）练习练习| |3 4 |zizi z1,满足条件满足条件的复数的复数A.一条直线一条直线 B.两条直线两条直线C.圆圆 D.其它其它在复平面上对应点在复平面上对应点的轨迹是的轨迹是( )z|33 |3zi