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1、目录 上页 下页 返回 结束 ),(yxfy 可降为一阶的二阶微分方程的解法 第三节( )yf x ),(yyfy 第八章 目录 上页 下页 返回 结束 ( , ,)yf x y y本节考虑本节考虑二二阶微分方程阶微分方程中的如下的三种特殊类型中的如下的三种特殊类型: :),(yxfy ( )yf x ),(yyfy 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、)()(xfyn令,) 1( nyz)(ddnyxz则因此1d)(Cxxfz即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 ., )(xf21C

2、xC型的微分方程型的微分方程 特点：特点：右端仅含有自变量x。目录 上页 下页 返回 结束 例例1. .cose2xyx 求解解解: 12dcoseCxxyx 12sine21Cxxxy2e41xy2e811121CC此处xsin21xC32CxCxcos21CxC目录 上页 下页 返回 结束 ),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 设, )(xpy ,py 则原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分, 得原方程的通解21d),(CxCxy二、二、特点：特点：右端不含有变量y。目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求解yxyx 2)1(2,10

3、 xy3 0 xy解解: ),(xpy 设,py 则代入方程得pxpx2)1(2分离变量)1(d2d2xxxpp积分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解为目录 上页 下页 返回 结束 三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 则xyypddddyppdd故方程化为),(ddpyfypp设其通解为),(1Cyp即得),(1Cyy分离变量后积分, 得原方程的通解21),(dCxCyy特点：特点：右端不含有自变量x。目录 上

4、页 下页 返回 结束 例例3. 求解.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一阶线性齐次方程)故所求通解为xCCy1e2解解:),(ypy 设xpydd 则xyypddddyppdd目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结可降阶微分方程的解法 降阶法)(. 1)(xfyn逐次积分),(. 2yxfy 令, )(xpy xpydd 则),(. 3yyfy 令, )(ypy yppydd 则目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 方程)(yfy 如何代换求解 ?答答: 令)(xpy 或)(ypy 一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 . 例如,2)(eyy 2. 解二阶可降阶微

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