线性代数电子教案ppt课件

1、学习线性代数的详细要求、重点和难点学习线性代数的详细要求、重点和难点1 1、行列式、行列式(1)(1)掌握掌握n n阶行列式的概念；阶行列式的概念；(2)(2)会运用行列式性质降阶和三角化并能综合运会运用行列式性质降阶和三角化并能综合运用，熟练地计算数字行列式，并初步掌握计算字用，熟练地计算数字行列式，并初步掌握计算字母行列式；母行列式；(3)(3)掌握克莱姆法那么，并会用它们来解线性方掌握克莱姆法那么，并会用它们来解线性方程组。程组。 重点是行列式的性质与计算。难点是重点是行列式的性质与计算。难点是n n阶字阶字母行列式的计算。母行列式的计算。2、矩、矩 阵阵(1)熟练掌握矩阵的代数运算及性

2、质；熟练掌握矩阵的代数运算及性质；(2)掌握可逆矩阵的概念及其判别条件；掌握可逆矩阵的概念及其判别条件；(3)掌握矩阵乘积行列式与秩的定理；掌握矩阵乘积行列式与秩的定理；(4)掌握初等矩阵的概念及其与初等变换的关系，初等掌握初等矩阵的概念及其与初等变换的关系，初等矩阵与可逆矩阵的关系及其用初等变换求逆矩阵的实矩阵与可逆矩阵的关系及其用初等变换求逆矩阵的实际与方法。际与方法。重点是矩阵的乘积运算及求逆矩阵。重点是矩阵的乘积运算及求逆矩阵。学习线性代数的详细要求、重点和难点学习线性代数的详细要求、重点和难点3、n维向量及其线性相关性维向量及其线性相关性学习线性代数的详细要求、重点和难点学习线性代数

3、的详细要求、重点和难点1了解了解n维向量的概念及运算规那么，清楚了解向量组的维向量的概念及运算规那么，清楚了解向量组的线性相关性的定义，会判别向量组的线性相关性，准确了解线性相关性的定义，会判别向量组的线性相关性，准确了解向量组的极大线性无关向量组和向量组的秩的概念，会求向向量组的极大线性无关向量组和向量组的秩的概念，会求向量组的最大线性无关向量组和向量组的秩；量组的最大线性无关向量组和向量组的秩；2掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件，非齐次线掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件，非齐次线性方程组有解的充要条件，了解齐次线性方程组的根底解系性方程组有解的充要条件，了解齐次线性方程组的根底解系

4、的概念，正确了解并掌握线性代数方程组解的性质及解的构的概念，正确了解并掌握线性代数方程组解的性质及解的构造，可以利用初等变换方法求出线性代数方程组的通解。造，可以利用初等变换方法求出线性代数方程组的通解。学习线性代数的详细要求、重点和难点学习线性代数的详细要求、重点和难点3了解向量空间的定义，了解向量空间的基、维数的了解向量空间的定义，了解向量空间的基、维数的概念，掌握内积的概念。概念，掌握内积的概念。 重点是利用初等变换方法求出线性代数方程重点是利用初等变换方法求出线性代数方程组的通解。难点是判别向量组的线性相关性和如组的通解。难点是判别向量组的线性相关性和如何求向量组的极大线性无关向量组和

5、向量组的秩。何求向量组的极大线性无关向量组和向量组的秩。4、线性方程组、线性方程组(1)(1)真实了解消去法和矩阵的初等变换的关系，熟习高斯消真实了解消去法和矩阵的初等变换的关系，熟习高斯消去法；去法；(2)(2)了解和掌握矩阵的秩，会用初等变换及行列式来求秩；了解和掌握矩阵的秩，会用初等变换及行列式来求秩；(3)(3)结实掌握线性方程组有解的判别定理；结实掌握线性方程组有解的判别定理；(4)(4)正确了解和掌握齐次及非齐次线性方程组解的构造；正确了解和掌握齐次及非齐次线性方程组解的构造； 重点是矩阵的初等变换、线性方程组的解法重点是矩阵的初等变换、线性方程组的解法及有解断定法。及有解断定法。

6、学习线性代数的详细要求、重点和难点学习线性代数的详细要求、重点和难点4、对称矩阵与二次型、对称矩阵与二次型(1)(1)掌握二次型的概念及二次型与对称矩阵之间的一一对应关系；掌握二次型的概念及二次型与对称矩阵之间的一一对应关系；(2)(2)掌握二次型经非退化线性变换后仍为二次型；掌握二次型经非退化线性变换后仍为二次型；(3)(3)了解二次型的规范形及掌握化二次型为规范形的方法；了解二次型的规范形及掌握化二次型为规范形的方法；(4)(4)了解实数域上二次型的规范形规范形独一性及意义；了解实数域上二次型的规范形规范形独一性及意义；(5)(5)掌握正定二次型的概念，并掌握其判别法；掌握正定二次型的概念

7、，并掌握其判别法；(6)(6)深化了解矩阵的类似、特征值、特征向量的概念，并掌握求矩深化了解矩阵的类似、特征值、特征向量的概念，并掌握求矩阵特征多项式、特征值、特征向量的实际步骤和方法以及可对角阵特征多项式、特征值、特征向量的实际步骤和方法以及可对角化的条件。化的条件。学习线性代数的详细要求、重点和难点学习线性代数的详细要求、重点和难点重点是化二次型为规范形和正定二次型的性质。重点是化二次型为规范形和正定二次型的性质。难点是惯性定理及正交法。难点是惯性定理及正交法。学习线性代数的详细要求、重点和难点学习线性代数的详细要求、重点和难点线性代数的学习方法线性代数的学习方法1、攻克、攻克“笼统化堡垒

8、笼统化堡垒2、占领、占领“普通性阵地普通性阵地3、加强论证才干、加强论证才干4、掌握全局和部分的关系、掌握全局和部分的关系第一章第一章 行行 列列 式式1.1行列式及其性质行列式及其性质1.3克莱姆法那么克莱姆法那么1.2行列式的计算行列式的计算 教学目的教学目的: 重重 点点: 难难 点点 ： 学时数学时数 ： 经过本章的学习经过本章的学习, ,要求学生准确了解行列式的要求学生准确了解行列式的概念及其性质概念及其性质, ,并能熟练地运用克莱姆法那么解并能熟练地运用克莱姆法那么解 线性方程组线性方程组. .行列式性质的运用、克莱姆法那么的运用。行列式性质的运用、克莱姆法那么的运用。高阶行列式及

9、字母行列式的计算。高阶行列式及字母行列式的计算。4-6学时学时第一章第一章 行行 列列 式式一、一、2 2、3 3阶行列式的定义：阶行列式的定义：引进符号：引进符号：并称之为二阶行列式。其中并称之为二阶行列式。其中1221221122211211aaaaaaaa元素)2 , 1; 2 , 1(jiaij1.1 1.1 行列式及其性质行列式及其性质列标行标， ji第一章第一章 行行 列列 式式同理，符号：同理，符号：122133113223312213312312133221332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa称为三阶行列式。称为

10、三阶行列式。第一章第一章 行行 列列 式式二、二、2 2 、3 3阶行列式与线性方程组的关系阶行列式与线性方程组的关系 设有两个未知数的线性方程组：设有两个未知数的线性方程组： 其变量的系数可以构成一个其变量的系数可以构成一个2 2阶行列式，称为该阶行列式，称为该线性方程组的系数行列式，记为线性方程组的系数行列式，记为D D22221211212111bxaxabxaxa(1.1)第一章第一章 行行 列列 式式即：即：22211211aaaaD 又记：又记：22111122221211,babaDababD利用消元法解利用消元法解(1.1)得：得：DDaaaaabbaxDDaaaabaabx2

11、2112221121121121211222112122211第一章第一章 行行 列列 式式三、三、n n阶行列式的定义阶行列式的定义nnnnnnaaaaaaaaa212222111211列的算式列的算式行行排成排成个数个数设有设有定义定义nnnjnianij)2 , 1,2 , 1(2)det(ijnaDn或阶行列式，记为称为排为行，纵排位列。称为行列式的元素，横数ija的余子式为：元素ijaijijnMnaD阶行列式，记为构成的素（位置不变）所在的行和列，剩下元中去掉在1的代数余子式为：元素ijaijjiijMA) 1(第一章第一章 行行 列列 式式nnnnnnaaaaaaaaa21222

12、2111211阶行列式的值为定义nnnnnnnaaaaa, 12, 111211) 1(nnnnaaaaa22221111) 1(nnnnaaaaa21122112) 1(1111) 1(iniiiManiiiAa11111121211211112) 1() 1() 1(nnnnMaMaMaD即1121211111nnnAaAaAaD或第一章第一章 行行 列列 式式njjjnnnAaAaAaAaDn11111121211111之之和和，即即相相应应的的代代数数余余子子式式乘乘积积第第一一行行的的每每个个元元素素与与其其阶阶行行列列式式的的值值等等于于它它的的定定理理证明：用数归纳法证明：用数归

13、纳法1n=2时，显然成立时，显然成立2设设n=k-1时命题成立，现证时命题成立，现证n=k时，命题也成立。时，命题也成立。(*)1(11211111111iikiikiiinMaMaAaD其中其中Mi1是是k-1阶行列式，那么由归纳假设有：阶行列式，那么由归纳假设有：*可以证明：可以证明：Dn按第一行展开与按第一列展开的结果一样。即按第一行展开与按第一列展开的结果一样。即第一章第一章 行行 列列 式式kjjijjjjikjjkkkkkiiikiiikkiMaMaaaaaaaaaaaaaaaaM2111)1(1112132, 13, 12, 1, 13, 12, 122322113121)()1

14、()1()(第一章第一章 行行 列列 式式代入代入*得：得： kjjjkjjjjijikiikjjjijkikjjijikikjjijiinAaMaMaMaaMaMaaMaMaaMaD11121111111111221111111122111111122111111111)1()()1()1()()1()()1(第一章第一章 行行 列列 式式四、行列式的性质四、行列式的性质设设nnnnnnTaaaaaaaaaDD212221212111的转置那那么么DDTnnnnnnaaaaaaaaaD212222111211性质性质1：行列式转置后，其值不变。：行列式转置后，其值不变。性质1阐明：行列式对行

15、满足的性质对列同样满足，反之亦然。第一章第一章 行行 列列 式式性质性质 2：推论推论 ：行列式：行列式D D中有两行列的对应元素完全一中有两行列的对应元素完全一样，那么这个行列式的值为零。样，那么这个行列式的值为零。 互换一个行列式的两行或两列，行列式的值变号。jirrji两行可表示为：互换 ,jiccji两列可表示为：互换 ,第一章第一章 行行 列列 式式推论推论 1 1：假设行列式有一行列的元素全为零，：假设行列式有一行列的元素全为零，那么这个行列式的值为零。那么这个行列式的值为零。性质性质 3：行列式中某一行列一切元素的公因子，：行列式中某一行列一切元素的公因子，可以提到行列式符号外。

16、可以提到行列式符号外。 )(kckrkiii可表示为：行（列）乘以第推论推论 2：假设行列式有两行列的元素对应成比例，：假设行列式有两行列的元素对应成比例， 那么行列式的值为零。那么行列式的值为零。第一章第一章 行行 列列 式式nnnnjnnnjnjabaaaabaaaabaaaD2122222211111211nnnjnnnjnjaaaaaaaaaaaa21222221111211nnnnnnnabaaabaaabaa21222221111211性质性质4 4：假设行列式的某一行列的元素都是两项之和，：假设行列式的某一行列的元素都是两项之和，那么可以把这个行列式化为两个行列式的和。这两个行列

17、式那么可以把这个行列式化为两个行列式的和。这两个行列式的该行列的元素分别是原行列式中相应位置的两项的第的该行列的元素分别是原行列式中相应位置的两项的第1 1项、第项、第2 2项，其它位置的元素不变。项，其它位置的元素不变。第一章第一章 行行 列列 式式性质性质 5：假设行列式某一行列的元素乘以同一个数后，：假设行列式某一行列的元素乘以同一个数后，加到另一行列相应元素上，那么该行列式的值不变。加到另一行列相应元素上，那么该行列式的值不变。jikrrijk行上，记为行加到第乘以第以jikccijk列上，记为列加到第乘以第以jikrrnnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaaD2121211

18、1211nnnnjnjjjninjijinaaaaaakaakaakaaaaa2121221111211第一章第一章 行行 列列 式式性质性质6：行列式的值等于它恣意一行列的元素：行列式的值等于它恣意一行列的元素与它的代数余子式的乘积之和。与它的代数余子式的乘积之和。nnnnnnaaaaaaaaa212222111211)2 , 1(1njAaijniij)2 , 1(1niAaijnjij第一章第一章 行行 列列 式式性质性质7：行列式某一行列的元素与另一行列：行列式某一行列的元素与另一行列对应元素的代数余子的乘积子和为零。对应元素的代数余子的乘积子和为零。nkjkikAa1jninjiji

19、AaAaAa2211nkkjkiAa1njnijiiAaAaAa22j1100第一章第一章 行行 列列 式式例例1：计算下三角行列式：计算下三角行列式nnnnaaaaaaD21222111000的值。的值。1.2 1.2 行列式的计算行列式的计算一、运用举例一、运用举例第一章第一章 行行 列列 式式解：按第一行展开得：解：按第一行展开得：nnnnaaaaaaaD3233322211000nnaaa2211第一章第一章 行行 列列 式式例例2：计算：计算abbbabaabababbbaD 的值。的值。第一章第一章 行行 列列 式式解：第解：第2行加上第行加上第1行的行的-1倍、第倍、第4行加上第

20、行加上第3行的行的-1倍得：倍得：0000034)1(abababaababbbarr011111)(2,bbaaababa第三行提出第二行提出3)(abaabbbabaababbbaDrr00012)1(0)() 1(32ababaaabbaba第二行展011100)(2)1(32bbaaabrr11)(2baaab第二行展第一章第一章 行行 列列 式式例例3：计算：计算1543251432541325431254321D的值的值第一章第一章 行行 列列 式式解：从第二列起，以后各列乘解：从第二列起，以后各列乘1加到第一列上得：加到第一列上得：154315514315541315543115

21、543215D第一章第一章 行行 列列 式式154315143154131543115432115411100311000210000105432115第一章第一章 行行 列列 式式411103110021000115360!415)4)(3)(2)(1(15第一章第一章 行行 列列 式式例例4：计算：计算107825513713913152D的值。的值。第一章第一章 行行 列列 式式NoImage2433261634261725131第一列展10171816131）（第一列展24332601634260713911725130242321) 2() 3(2rrrrrrD10170181601

22、725131131222rrrr2080解：第一章第一章 行行 列列 式式例例5： 证明证明n阶行列式阶行列式:)(100000000000010000011112321xfaxaxaxaaaaaxxxxnnnnnnn第一章第一章 行行 列列 式式证证: 等式左边第等式左边第n列乘列乘x加到第加到第n-1列列,(所得结果的所得结果的)第第n-1列乘列乘x加到第加到第n-2列列, , 第第2列乘列乘x加到第加到第1列得列得:第一章第一章 行行 列列 式式1212321100000000000001000001axaxaxaaaaxxxnnn左左12123221321100000000000001

23、000001axaxaxaxaxaxaaaxxxnnn第一章第一章 行行 列列 式式)()()()()(100000000000100000101221xfxfxfxfxfnnn1001)(11xfnn）（按按第第一一列列展展)() 1() 1)(11xfxfnnnn第一章第一章 行行 列列 式式例例6 6 证明范德蒙行列式证明范德蒙行列式(n2)(n2),(1111111312112232221321jinijnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxV第一章第一章 行行 列列 式式结论成立。时，）（,112112212xxxxVn归纳证明用数学归纳法对n阶也成立。阶成立，现证对）假设对（

24、nn 12第一章第一章 行行 列列 式式nirxrnnnnnnnniixxxxxxxxxxxxV3 , 2)(11312112232221321111111)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn第一章第一章 行行 列列 式式)()()()()()(1213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn第一列展22322321131212, 1111)()(1nnnnnnnjxxjxxxxxxxxxxxxjj列提出第n-1阶范德阶范德蒙

25、行列式蒙行列式第一章第一章 行行 列列 式式nijjinijjinnxxxxxxxxxxV1211312)()()()(第一章第一章 行行 列列 式式例例7 7：利用范德蒙行列式计算：利用范德蒙行列式计算: :11111111121)() 2() 1()() 2() 1(nnnnnnnnnnaaaanaaaanaaaa解：解：次），交换行依次换到第一行（共将第nn1次），交换行依次换到第二行（共然后将新矩阵的第11nn次共交换了2) 1( nn第一章第一章 行行 列列 式式原式原式=111112) 1()() 1() 1()() 1() 1() 1(11111) 1(nnnnnnnnnnnna

26、naaananaaananaaanijnnjaia02)1()()() 1(!2)!1( !)1(2)1(nnnn第一章第一章 行行 列列 式式例例8：计算以下：计算以下n阶行列式阶行列式:xaaaxaaax第一章第一章 行行 列列 式式解解:从第二列起从第二列起,以后各列加到第一列得以后各列加到第一列得:xaaxaaanx111)1(原式原式=axaaxaanx00001) 1(1)() 1(naxanxxaanxaxanxaaanx) 1() 1() 1(第一章第一章 行行 列列 式式例例9 9 计算计算nnnnnaaaaaaaaaD111212121解：解： 加边法加边法第一章第一章 行

27、行 列列 式式）（1212121211010101nnnnnnaaaaaaaaaaaaD)1(2113,21-10010101001111nnnirraaai）（第一章第一章 行行 列列 式式）（第一列全加到列起，从第二12111000010000101nnniiaaaa niia11第一章第一章 行行 列列 式式* *二、拉普拉斯定理二、拉普拉斯定理1、行列式、行列式D的的k阶子式阶子式M： 任选任选D中中k行行k列，位于其交叉点元素按原来顺序列，位于其交叉点元素按原来顺序陈列成的一个陈列成的一个k阶行列式叫做阶行列式叫做D的一个的一个k阶子式阶子式,记为记为Mnnnnnnaaaaaaaaa

28、D212222111211设第一章第一章 行行 列列 式式3、M的代数余子式的代数余子式A：在在 N 之前冠以一个符号，符号由下式决议之前冠以一个符号，符号由下式决议)()(21121) 1(kkjjjiii其中其中),(21,21kkjjjiii表示表示 M 在在D中的行标和列标。中的行标和列标。2、M的余子式的余子式N： 划去划去k k行、行、k k列后，余下的元素按原来顺序排成列后，余下的元素按原来顺序排成的一个的一个n-kn-k阶行列式阶行列式, ,记为记为N N第一章第一章 行行 列列 式式如：如：44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaa

29、aaaaaD33312321aaaaMD的一个二阶子式：44421412aaaaNM的余子式为：NAM)31()32() 1(的代数余子式为：第一章第一章 行行 列列 式式定理定理1拉普拉斯定理拉普拉斯定理 在在n n阶行列式阶行列式D D中，恣意取定中，恣意取定k k行行( (列列) )后，由这后，由这k k行行( (列列) )元素所组成的一切元素所组成的一切k k阶子式与它的代数余阶子式与它的代数余子式的乘积之和等于行列式子式的乘积之和等于行列式D D的值。的值。第一章第一章 行行 列列 式式 例1 计算 1111021220121101010120102D 解： 按按1，2行展开，不为零

30、的二阶子式为行展开，不为零的二阶子式为 1121111221MM第一章第一章 行行 列列 式式1111021220121101010120102D011121212111NM 的余子式0) 1(1311111NAM 的代数余子式011012021022NM 的余子式0) 1(2531122NAM 的代数余子式由拉普拉斯定理由拉普拉斯定理0221. 1AMAMD第一章第一章 行行 列列 式式*行列式乘法行列式乘法Th1.3 设设nnnnnnnnnnnnbbbbbbbbbDaaaaaaaaaD21222211121122122221112111,第一章第一章 行行 列列 式式那么那么nkkjiki

31、jnnnnnnbaccccccccccCDD121222211121121,第一章第一章 行行 列列 式式1.3 1.3 克莱姆法那么克莱姆法那么设设n个未知数、个未知数、n个方程的线性方程组为：个方程的线性方程组为：nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111I第一章第一章 行行 列列 式式记系数行列式为记系数行列式为nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211另外记另外记),.2 , 1( ,1,1,121, 221, 22111, 111, 111njaabaaaabaaaabaaDnnjnnjnnnjjnjjj第一章

32、第一章 行行 列列 式式DDxDDxDDxnn,2211证明：证明：分别用分别用njjjAAA,21乘方程组乘方程组I的第的第1、第、第2、第第n个方程，然后个方程，然后相加得：相加得：）有唯一解，且则方程组（的系数行列式的值方程组定理（克莱姆法则）若0)(D第一章第一章 行行 列列 式式）（njnjjnnjnnjnjnjnjnjjjjjnjnjjAbAbAbxAaAaAaxAaAaAaxAaAaAa22112211221111221111)()()(据性质据性质6，7有：有：DDxDxDjjjjj=1，2，,n 因因(I)(I)的解必是的解必是(II)(II)的解，而的解，而(II)(II)

33、仅有独一解仅有独一解xj=Dj/D, xj=Dj/D, 将其独一解代入将其独一解代入(I)(I)验证也是验证也是(I)(I)的解。所的解。所以原方程有独一解。以原方程有独一解。第一章第一章 行行 列列 式式例例 1：用克莱姆法那么解以下线性方程组：用克莱姆法那么解以下线性方程组067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解:方程组的系数行列式为方程组的系数行列式为6741212060311512D1277021206031135702712772121357第一章第一章 行行 列列 式式8167402125603915181D27,27108432DDD

34、，由克莱姆法那么由克莱姆法那么1, 1, 4, 344332211DDxDDxDDxDDx第一章第一章 行行 列列 式式例例2：问线性方程组：问线性方程组23222123213211dxcxbxadcxbxaxxxx其中其中 满足什么条件时，才可以用克莱姆法满足什么条件时，才可以用克莱姆法求解？并解之。求解？并解之。cba,第一章第一章 行行 列列 式式解：解：222111cbacbaDcbacab11)(accabbacab2200111accabbacab22)()(bcacab第一章第一章 行行 列列 式式 才干用克莱姆法那么求解，且：才干用克莱姆法那么求解，且：)()(111)()(1

35、1122232222bdabaddbadbaDaddcaccdacdaD, cbaD时，即当2221111cbdcbdD )()(bcdcdb第一章第一章 行行 列列 式式那么那么)()()()()()(332211bcacdbdaDDxbcbadadcDDxacabdcdbDDx第一章第一章 行行 列列 式式第二章第二章 矩矩 阵阵2.1 矩阵的概念矩阵的概念2.2 矩阵的运算矩阵的运算2.3 逆方阵逆方阵2.4 分块矩阵分块矩阵第二章第二章 矩矩 阵阵教学目的教学目的：经过对本章的学习，要求学生掌握矩阵的经过对本章的学习，要求学生掌握矩阵的概念及一系列的运算，为以后各章打下坚概念及一系列的

36、运算，为以后各章打下坚实的根底。实的根底。教学重点教学重点：矩阵概念及矩阵的初等变换。矩阵概念及矩阵的初等变换。难难 点点： 有关定理的证明可不重点要求有关定理的证明可不重点要求第二章第二章 矩矩 阵阵2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念一、矩阵的定义一、矩阵的定义mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211称为称为mn矩阵矩阵.nmijanmijaA)(定义定义1 由由 个数个数 i=1,2,m;j=1,2,n)所排成数表所排成数表:记为记为:nmijAaA),(第二章第二章 矩矩 阵阵几种常见的特殊矩阵几种常见的特殊矩阵:2.行矩阵行矩阵n维行向量，即维行向量，即m=1时：时：

37、)(11211naaaA1.零矩阵零矩阵 0mn0000000000第二章第二章 矩矩 阵阵3.列矩阵列矩阵m维列向量，即维列向量，即n=1时：时：nnnnnnaaaaaaaaaA21222211121112111maaaA4.n阶方阵，即阶方阵，即m=n时时第二章第二章 矩矩 阵阵5.对角矩阵对角矩阵(也是也是n阶方阵阶方阵)nnaaa0000002211nnaaadiag2211jijiijnij, 0, 1,)(100010001特别地：特别地：叫做单位矩阵，记为叫做单位矩阵，记为E第二章第二章 矩矩 阵阵6.n阶数量矩阵阶数量矩阵kE0,000000kkkkkE第二章第二章 矩矩 阵阵

38、7.上三角矩阵上三角矩阵nnnnaaaaaaA00022211211nnnnaaaaaaA212221110008.下三角矩阵下三角矩阵9.同型矩阵：指行数与列数一样的两个矩阵同型矩阵：指行数与列数一样的两个矩阵第二章第二章 矩矩 阵阵2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的相等矩阵的相等设设 nmijnmijbBaA)(,)(假假设设)2 , 1;, 2 , 1( ,njmibaijij那么称那么称A与与B相等。记为相等。记为 A=B第二章第二章 矩矩 阵阵一一 、矩阵的线性运算、矩阵的线性运算定义定义1 nmijijbaBA)(即加法运算律：加法运算律：AACBACBAABBA0)()(

39、1、矩阵的加法、矩阵的加法 我们把设nmijnmijbBaA)(,)(BABABA的和，记为与的矩阵称为对应元素相加，所得到与第二章第二章 矩矩 阵阵负矩阵负矩阵得到的新矩阵的全部元素改变符号后矩阵mnijaA)(mnijaAA)(,即记为的负矩阵，称为矩阵）（Aamnij矩阵的减法矩阵的减法mnijijbaBABA)()(0)(AA显然第二章第二章 矩矩 阵阵2、数与矩阵的乘法数乘法、数与矩阵的乘法数乘法RkkaAkkAnmij,)(其运算律为：其运算律为：0,1,1)()()()(AAAAAAAkllAklAkAAlkkBkABAk，即或的乘积，记为与矩阵称为数）所得的矩阵（的每个元素，乘

40、以矩阵为常数，用设定义AkkAAkkaAkkaAmnijmnij,)(2第二章第二章 矩矩 阵阵XBXABA求且设矩阵例,32,012401,3110251BXA32解：)2(31BAX）（0124013110252316304493121034343第二章第二章 矩矩 阵阵二、矩阵的乘法二、矩阵的乘法nsijsmijbBaA)(,)(3设定义nmijcABCnmBA)(列矩阵行的乘积是一个与则其中：其中：), 2 , 1;, 2 , 1(12211njmibabababackjskiksjisjijiij第二章第二章 矩矩 阵阵例例2：设：设432014311201,51024321BA求求

41、AB第二章第二章 矩矩 阵阵344243201431120151024321AB解：解：3232241616241719)( AB第二章第二章 矩矩 阵阵留意留意:矩阵乘法与数的乘法的区别矩阵乘法与数的乘法的区别BAAB 即可交换，则称特别地，如果BABAAB,0, 0, 0ABBA有可能即1.矩阵乘法不满足交换律，矩阵乘法不满足交换律，2.两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵，两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵，3.当当CBAACAB未必能推出，且, 0第二章第二章 矩矩 阵阵矩阵乘法运算律：矩阵乘法运算律：)()()()()()()(kBABkAABkACABCBABCACCBACABBCA右分配律

42、右分配律左分配律左分配律第二章第二章 矩矩 阵阵那么那么pmijijbaBA)()(nmijCBA)()(再设其中其中:)()()()()(22112211222111pjipjijipjipjiiipjipipjiijiiijcbcbcbcacacacbacbacbaBCACCBA)(*选证证明证明: 设设npijpmijpmijcCbBaA)(,)(,)(第二章第二章 矩矩 阵阵那那么么nmijijlkBCAC)(其中其中:pjipjijiijpjipjijiijcbcbcblcacacak21112211BCACCBAlkijijij)(nmijnmijlBCkAC)(,)(又设第二章第

43、二章 矩矩 阵阵例例3: 证明对恣意矩阵证明对恣意矩阵 Amn，有，有AE=A, EA=A证明证明: 设设nnnmijEaA,)(，那，那么么AaaaaaaaaaaaaaaaaaaAEmnmmnnmnmmnn212222111211212222111211100010001同理，设同理，设Emm , 有有EA=A第二章第二章 矩矩 阵阵三、三、n阶方阵的幂余方阵的多项式阶方阵的幂余方阵的多项式AAAAAAAAkk121,运算律运算律:kllklklkAAAAA)( ;留意留意:kkkBAAB)(的正整数次幂定义为：阶方阵，则为设矩阵定义AnA4第二章第二章 矩矩 阵阵则次多项式是一个若,)()

44、(0111bxbxbxbxgmxgmmmmEbAbAbAbAgmmmm0111)(次多项式。的称为方阵mA第二章第二章 矩矩 阵阵BAABBABABAnBA成立的充要条件是阶方阵，则等式均为例2222)(,42222)(BABABA证明：（必要性）)()(2BABABA）（而22BABBAAABBAABABBA2则222)(BABBAABA（充分性）BAAB 如果2222)(BABABA则第二章第二章 矩矩 阵阵四、矩阵的转置四、矩阵的转置定义定义5 设设nmijaA)(, 那么其转置定义为那么其转置定义为:)( ,)(jiijmnijTaaaA运算律运算律:TTTTTTTTTTABABkAk

45、ABABAAA)(;)()(;)(定义定义6 为对称矩阵则称阶方阵，若为设AAAnAT为反对称矩阵，则称阶方阵，若为设AAAnAT第二章第二章 矩矩 阵阵为对称矩阵对称矩阵）为（为反对称矩阵，证明为对称矩阵，设例BAABBBA)2(;152为反对称矩阵，）（B1BBT即证明：证明：22)()(BBBBBBBBTTTT）则（为对称矩阵说明2B为反对称矩阵，为对称矩阵，）（BA2BBAATT,即TTTBAABBAAB)()()(BAABBABABAABTTTT)(为对称矩阵说明BAAB第二章第二章 矩矩 阵阵五、方阵五、方阵A的行列式的行列式设设nnijaA)(,定义定义A的行列式为的行列式为:n

46、nnnnnaaaaaaaaaA212222111211|运算律运算律:| |;| |;|BABAAAAAnT第二章第二章 矩矩 阵阵2)(2ABATT2)(2, 1, 2,6ABABABATT计算均为四阶方阵，且设例24)(2ABATT）（解：解：24)(2ABATT）（2)(16ABAT2216ABA128第二章第二章 矩矩 阵阵2.3 2.3 逆方阵逆方阵问题问题: 当当Y=AX成立时成立时,在什么条件下可得到在什么条件下可得到X, 如何求出如何求出X?一、逆矩阵的概念一、逆矩阵的概念 定义定义1 1 设设A A为一为一n n阶方阵，假设有阶方阵，假设有n n阶方阵阶方阵B B存在，存在，

47、 使得使得: : AB = BA = E AB = BA = E 那么称那么称A A可逆，并称可逆，并称B B是是A A的逆方阵的逆方阵( (简称简称A A的逆的逆) )，记为，记为 1 AB第二章第二章 矩矩 阵阵由定义可得ABBABABA11,1互逆，即与的位置对称，故）由于（EE12它本身，即）单位矩阵的逆矩阵是（）怎么求逆矩阵？（的，其逆矩阵有几个？）如果一个方阵是可逆（）什么样的方阵可逆？问题：（321第二章第二章 矩矩 阵阵二、逆矩阵的个数是独一的二、逆矩阵的个数是独一的(商定记为商定记为A-1)定理定理1: 假设方阵假设方阵A是可逆的是可逆的,那么有独一的逆矩那么有独一的逆矩阵阵

48、. 证明证明: 设设B , C均为均为A的逆矩阵，的逆矩阵，B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C所以，所以，A的逆是独一的，记为的逆是独一的，记为A-1ECAACEBAAB,即第二章第二章 矩矩 阵阵三、三、A可逆的充要条件可逆的充要条件:的伴随矩阵。称为阶方阵为元素组成的的代数余子式，以中元素的行列式是方阵，设方阵定义AAAAAAAAAAAnAaAAAaAnnnnnnijijijnnij212221212111*)(2第二章第二章 矩矩 阵阵证明：必要性证明：必要性 |1| ,0| ,0|1|BABABAEAB则*|1, 0|21AAAAAn且可逆的充分必要条件为阶方阵定理EBAABB

49、A使得可逆，即存在方阵设, |A|0, EAaAAAAAAAkjnkik)(|1*|1*)|1(1同理可证同理可证:EAAA*)|1(第二章第二章 矩矩 阵阵充分性充分性*|11AAA第二章第二章 矩矩 阵阵|000|000|*212221212111212222111211AAAAAAAAAAAAaaaaaaaaaAAnnnnnnnnnnnn第二章第二章 矩矩 阵阵四、可逆矩阵的性质四、可逆矩阵的性质1. 假设矩阵假设矩阵A可逆可逆, 且且AB=E, 那么必有那么必有BA=E. 反之反之亦然亦然.AA11).(23. 假设假设A、B均可逆均可逆, 那么那么AB也可逆也可逆,且有且有:111)

50、(ABABTTAA)().(411111).(5AkkA注注: 假设假设A,B均可逆均可逆, 但但A+B未必可逆未必可逆!第二章第二章 矩矩 阵阵例例1: 设设011011,112111101BA且且AX=B, 求出求出X。解解: 01112111101|A所以所以A可逆可逆第二章第二章 矩矩 阵阵又由于又由于AX=B，两边同乘以，两边同乘以A-1得得:BAXBAAXA111)(而而1112131121*|11AAA022513011011111213112X第二章第二章 矩矩 阵阵例例2: 设矩阵设矩阵B可逆可逆, A与与B同阶且满足同阶且满足:022BABA证明证明: A和和A+B均可逆均

51、可逆.证证: 022BABA0| ,0|BAA故故A与与A+B均可逆均可逆.0|) 1(| )(|BBBBBBAAn22BABA则第二章第二章 矩矩 阵阵例例3: 3: 假设假设A A与与B B均为均为n n阶方阵阶方阵, , 且且E+ABE+AB可逆可逆. . 那么那么E+BAE+BA也也 可逆可逆, ,且且AABEBEBAE11)()(证明证明:EAABEBEBAE11)()()()(1AABEBEBAEAABEBABBAAABEBE11)()(AABEBABAABEABEBAABEBE111)()()(AABEBABAABEBABEBE11)()()(第二章第二章 矩矩 阵阵 2.4 2

52、.4 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵: 以分块子阵为元素的矩阵以分块子阵为元素的矩阵.分块矩阵的运算分块矩阵的运算都是同型矩阵，则其中，设)2 , 1;2 , 1(,212222111211212222111211sjriBABBBBBBBBBBAAAAAAAAAAijijsrrsrrsssrrsrrss分块矩阵的加法. 1第二章第二章 矩矩 阵阵srrsrsrrrrssssBABABABABABABABABABA221122222221211112121111数乘分块矩阵. 2的每一个子块，即乘等于用数乘分块矩阵用数设AkAkAAAAAAAAAAsrrsrrss,212222111211第

53、二章第二章 矩矩 阵阵srrsrrsskAkAkAkAkAkAkAkAkAkA212222111211第二章第二章 矩矩 阵阵3.3.分块矩阵的乘法分块矩阵的乘法rtrrttCCCCCCCCCAB212222111211的行数，则的列数分别等于自块，且子块设sjjjisiitsstssttsrrsrrssBBBAAABBBBBBBBBBAAAAAAAAAA,2121212222111211212222111211), 2 , 1;, 2 , 1( ,1tjriBACkjsjikij第二章第二章 矩矩 阵阵4.分块矩阵的转置分块矩阵的转置rsTrsTsTsTrTTTrTTTAAAAAAAAAA2

54、12221212111srrsrrssAAAAAAAAAA212222111211设第二章第二章 矩矩 阵阵5.可逆分块矩阵的逆矩阵可逆分块矩阵的逆矩阵为对角分块矩阵矩阵，定义阶为设ssijAAAAsiriA2211)1 (第二章第二章 矩矩 阵阵分块对角阵的运算律分块对角阵的运算律设设n阶矩阵阶矩阵A，B都是分块对角阵都是分块对角阵:ssssBBBBAAAA22112211,其中其中:)2, 1(,siBAiiii是同阶矩阵，那么是同阶矩阵，那么:第二章第二章 矩矩 阵阵sskAkAkAkA2211ssssBABABABA22221111第二章第二章 矩矩 阵阵ssssBABABAAB222

55、21111假设假设A可逆，那么可逆，那么有有:11221111ssAAAA第二章第二章 矩矩 阵阵的逆矩阵。求矩阵例14002900001200131A2100AAAA分块为将1429121321AA，其中解：解：9421,32111211AA而94002100003200110012111AAA第二章第二章 矩矩 阵阵1111100BCABABCADD11111002BCABADBCADsrBA可逆，且阶可逆矩阵，证明阶和分别为，例1111100BBCABBCAAA证明：证明：EEE00111110BCABAD说明第三章第三章 n维向量及其线性相关性维向量及其线性相关性3.1 n维向量及其运

56、算维向量及其运算3.2 向量的线性相关性向量的线性相关性 3.3 矩阵的秩与向量组的秩矩阵的秩与向量组的秩3.4 矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵 3.5 向量空间向量空间132P135P135P第三章第三章 n维向量及其线性相关性维向量及其线性相关性3.1 n3.1 n维向量及其运算维向量及其运算一、一、 n维向量的概念维向量的概念定义定义1 n个实数组成的有序数组称为个实数组成的有序数组称为n维维(实实)向量向量.记为记为:),(21naaa(n维行向量维行向量) 或或:naaa21(n维列向量维列向量)是实数，叫做分量其中)2 , 1(niai第三章第三章 n维向量及其线

57、性相关性维向量及其线性相关性二、二、n维向量的运算维向量的运算(可参看矩阵的运算可参看矩阵的运算)设设),(),(2121nnbbbaaa1.相等相等), 2 , 1( ,nibaii2.加法加法), 2, 1(),(nibaii3.数乘数乘)(ikak4.转置转置nTnTaaaaaa2121),(第三章第三章 n维向量及其线性相关性维向量及其线性相关性运算律运算律(满足以下八条性质构成的空间称为实满足以下八条性质构成的空间称为实n维向量空间维向量空间)1.交换律交换律2.结合律结合律)()(0)(.4，有对任意向量5.分配律分配律.kkk)(lklk )()()(kllk6.分配律分配律7.

58、结合律结合律8. 1 0.3，有对任意向量第三章第三章 n维向量及其线性相关性维向量及其线性相关性3.2 3.2 向量的线性相关性向量的线性相关性一、线性组合一、线性组合，维向量对于定义sn,121如果存在一组数sskkk2211线性表示，能由向量组或称向量，的一个线性组合，是向量组则称向量nn2121，使得skkk,21第三章第三章 n维向量及其线性相关性维向量及其线性相关性线性表示，由将设例nnnnaaa212121,00,010,001,1naaa000021显然解：解：的线性组合，表为任意向量组将例naaa2102解：解：任意向量线性表示由此可得，零向量可由nnnaaanaaa2211

59、2100010001显然定义定义2 设两个向量组设两个向量组 s,21）（ t,21）（ 假设假设I I中的每个向量均可以由中的每个向量均可以由IIII线性表示线性表示, , 那么那么称向量组称向量组I I可由向量组可由向量组IIII线性表示；线性表示；第三章第三章 n维向量及其线性相关性维向量及其线性相关性 假设假设I I与与IIII能相互线性表示能相互线性表示, ,那么称那么称I I与与IIII等价。等价。 记为记为IIIIII向量组等价的性质向量组等价的性质:1)自反性：自反性：I I 2)对称性：假设对称性：假设I II, 那么那么II I3)传送性：假设传送性：假设I II、II I

60、II, 那么那么I III第三章第三章 n维向量及其线性相关性维向量及其线性相关性第三章第三章 n维向量及其线性相关性维向量及其线性相关性 定义定义3 设给定设给定s 个个n 维向量维向量 , 假设存在假设存在s 个不全为零的常数个不全为零的常数 s,21skkk,2102211sskkk使得二、线性相关的概念二、线性相关的概念成立，那么称向量组成立，那么称向量组 是线性相关的是线性相关的.否那么称为线性无关否那么称为线性无关.s,2102211sskkk000221122221211212111snsnnssssakakakakakakakakak第三章第三章 n维向量及其线性相关性维向量及