函数的单调性

1、授课人：周丽红授课人：周丽红一、函数单调性定义一、函数单调性定义 一般地，设函数一般地，设函数 f(x) 的定义域为的定义域为 i： 如果对于定义域如果对于定义域 i 内某个内某个区间区间 d 上的上的任任意意两个自变量的值两个自变量的值 x1，x2，当，当 x1x2 时，都时，都有有f(x1)f(x2) ，那么就说，那么就说 f(x) 在区间在区间 d 上上是增函数是增函数 1增函数增函数返回一、函数单调性定义一、函数单调性定义 一般地，设函数一般地，设函数 f(x) 的定义域为的定义域为 i： 如果对于定义域如果对于定义域 i 内某个内某个区间区间 d 上的上的任任意意两个自变量的值两个自

2、变量的值 x1，x2，当，当 x1f(x2) ，那么就说，那么就说 f(x) 在区间在区间 d 上上是减函数是减函数 2减函数减函数一、函数单调性定义一、函数单调性定义 如果函数如果函数 y = f (x) 在某个区间上是增在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数函数或是减函数，那么就说函数 y = f (x) 在这一区间具有（严格的）在这一区间具有（严格的）单调性单调性，区间，区间 d 叫做叫做 y = f (x) 的的单调区间单调区间. 2、函数的单调性是在定义域内的某个函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的区间上的性质，是函数的局部性质局部性质； 3 、必须是对于区间必

3、须是对于区间 d 上的上的任意任意两个两个自变量自变量 x1，x2 ，当，当 x1 x2 时，时，都有都有f(x1)f(x2) 是增函数，而当是增函数，而当 x1f(x2) 是减函数。是减函数。注意：注意：1、函数的单调性也叫函数的增减性；、函数的单调性也叫函数的增减性；解：函数解：函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5 其中其中y=f(x)在区间在区间-5,-2), 1,3)是减函数，是减函数， 在区间在区间-2,1), 3,5 上是增函数。上是增函数。 下图是定义在区间下图是定义在区间-5，5上的函数上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调

4、区间，以，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？及在每个区间上，它是增函数还是减函数？例例1、.23)().()(, 0)()(, 0,).(3)23()23()()(,212121212121212121上是增函数在所以，即于是得由则且上的任意两个实数是证明：设rxxfxfxfxfxfxxxxxxxxxfxfxxrxx 例例2、证明函数证明函数f(x)=3x+2在在r上是增函数上是增函数返回 二、判断函数单调性的方法步骤二、判断函数单调性的方法步骤 1 任取任取x1，x2d，且，且x1x2；2 作差作差f(x1)f(x2) 化简化简 变形变形；3 定符号（即判断差定符号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）的正负）4 下结论（即指出函数下结论（即指出函数 f(x) 在给定的某个在给定的某个 区间区间d上的单调性）。上的单调性）。 利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)在