三角恒等变换知识总结

1、三角恒等变换知识点总结2014/10/24一、基本内容串讲1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：sin()sincoscossin;cos()coscosmsinsin;tantantan()1 mtantan对其变形：tan tan =tan( +)(1-tan tan ) ，有时应用该公式比较方便。2 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：sin 2sincos .cos2cos2sin 22cos21 1 2sin 2.2 tan.tan 2tan21要熟悉余弦 “倍角 ”与“ 二次 ” 的关系（升角 降次，降角 升次）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形，cos21cos 2 ,s

2、in 21 cos 2这两个形式22常用。3. 辅助角公式： sin xcos x2 sin x;3sin xcos x 2sinx46a sin x b cos xa2b2 sin x.4. 简单的三角恒等变换（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。5. 常用知识点：（1）基本恒等式： sin 2cos21, sintan（注意变形使用，尤其 1 的灵活应cos用，求函

3、数值时注意角的范围） ；（2）三角形中的角： AB C， sinAsin(B C),cosAcos(B C) ；r rr rr r（3）向量的数量积： agba b cos a, b ，r rrrrragbx1x2 y1 y2 ， abx1x2y1 y2 0 a / /bx1 y2 x2 y10；二、考点阐述1考点 1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、 sin 20o cos40ocos20o sin40o 的值等于（）2、若 tan3 ， tan4 ，则 tan() 等于（）333、若, 则 (1 tan )(1 tan) 的值是 _44、 (1 tan1)(1tan 2 )(1tan

4、3 )L (1tan 44 )(1tan 45 )_.考点 2 二倍角的正弦、余弦、正切公式5、coscos 2的值等于（）(提示 : 构造分子分母 )556、 cos20o cos40o cos60o cos80o（）7、 已知 3A2，且 cos A3 ，那么 sin 2 A 等于（）25考点 3 运用相关公式进行简单的三角恒等变换8、已知 tan()2, tan()1 , 则 tan() 的值等于（）54449、已知 sinsin1 ,coscos1, 则 cos() 值等于（）2310、函数 f ( x)cos2 ( x)sin 2 ( x)1 是（）1212（ A）周期为 2 的奇函

5、数 （B）周期为 2 的偶函数（ C）周期为 的奇函数 （D）周期为 的偶函数4、常见题型及解题技巧（另外总结）（一）关于辅助角公式： a sin xb cos xa2b2 sin x.其中 cosa,sinb（可以通过 a2b2来判断最大最小值）a2b2a2b2如： 1. 若方程 sin x3cos xc 有实数解，则 c 的取值范围是 _.2. y 2cos x3sin x2 的最大值与最小值之和为 _.7若 tan()2, 则 tan_.45（二）三角函数式的化简与求值例 1 1.cos150sin150；2. sin 500 (13 tan100 ) ;cos150sin15 023.

6、 求 tan 70otan50o3 tan 70o tan50o 值 ;4.ABC 不是直角三角形，求证 ： tan Atan Btan Ctan Atan B tanC（三）三角函数给值求值问题471.已知 cos( 6) sin 5 3，则 sin( 6 )的值是 _;2.已知 cos()5 ,cos4 , , 均为锐角，求 si n的值。13503,cos335,sin13 ，求 sin3.44454的值（四）三角函数给值求角问题1.若 sinA=5,sinB=10 , 且 A,B 均为钝角 , 求 A+B的值 .5102.已知,(2, ) ，且 tan, tan是方程 x233x 40

7、 的两个根，求23.已知，均为锐角，且 tan11， tan1的值（）， tan5，则 +28 564344.已知 tan1 ,tan1,并且 ,均为锐角，求2的值 .73（五）综合问题（求周期，最值，对称轴，增减区间等）1.(2010 · 北京 ) 已知函数 f ( x)2cos 2x sin2 x .(1) 求 f ( ) 的值； (2) 求 f (x) 的最大值和最小值32. 已知函数f ( x)2sin(x) cos x .(1) 求 f ( x) 的最小正周期；(2) 求 f ( x) 在区间 , 上的最大值和最小值；（3）求函数在62(,) 的单调区间。三、解题方法分析1

8、熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。3例 1 设 a1 cos6o3 sin 6o, b2 tan13o, csin 50o, 则有（）221 tan 2 13o2cos 25o【点评】：本题属于 “理解 ”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。例如：sincos=1 sin 2 ，cos= sin2， cos2sin 2cos2 ，2tantan 2 ，22sin1 - tan21 2 sincos(sincos

9、)2 ，1cos22 cos2，1 cos22 sin 2，cos21 cos 2 ,sin 21 cos 2， tan tan =tan( +)(1-tan tan )22等。另外，三角函数式asinx+bcosx 是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为a 2b2 sin( x) 即 asinx+bcosx=a 2b 2sin( x) （其中 tanb ）是常用转化手段。a特别是与特殊角有关的sin ±cosx ， ±sinx ±3 cosx ，要熟练掌握其变形结论。2明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口（1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变

10、换【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。例 2 已知 3， cos（）= 12， sin （+） = 3，求 sin2 的24135值（ 5665（本题属于 “ 理解 ”层次，解答的关键在于分析角的特点，2 =（ ） +（ +）例2解答：例 3化简： 2sin50°+sin10° （ 1+ 3 tan10° ） · sin2 80 【解析】：原式 =4= 3 【点评】：本题属于“ 理解 ”层次 ,解题的关键在于灵活运用“ 化切为弦

11、” 的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简化简时要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的尽量求出值来。（2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。例 4：已知 sin （+） = 2，sin （ ）= 3，求 tan() tantan的值。34tan2tan()【解析】tan() tantan= tan() tan(tan()(1 tantan )

12、= tan= 17tan2tan()tan2)tan【点评】：本题属于“ 理解 ”层次，考查学生对所学过的内容能进行理性分析，善于利用题中的条件运用方程思想达到求值的目的。（3）运用换元思想，实现三角恒等变换【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。例 5：若 sinsin2 , 求 coscos的取值范围。2【解析】：令 coscost ，则 (sinsin ) 2(coscos )2t21 ,2【点评】：本题属于“ 理解 ”层次，解题的关键是将要求的式子coscos看作一个整

13、体，通过5代数、三角变换等手段求出取值范围。3关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。r3, 1)rr r例 6：已知：向量 a (， b(sin 2x, cos2x) ，函数 f ( x) a b（1）若 f ( x)0 且 0x，求 x 的值；x或 7rr1212（2）求函数 f ( x) 取得最大值时，向量 a 与 b 的夹角rrcos2x【解析】： f ( x) ab 3sin 2x（2） 2sin(2 x)6rrrrr r

14、 f (x)max2 ，当 f ( x)2 时，由 ab| a | |b | cosa, b2rrr rrrr rra br1，Q 00得 cos a, ba, ba,b| a | | b |【点评】：本题属于 “理解 ”中综合应用层次，主要考查应用平面向量、三角函数知识的分析和计算能力 .四、课堂练习1sin165o= （）A 1B 3C62D2246 242sin14ocos16o+sin76ocos74o 的值是（）A3B 1C 3222D124 ，则 tan 2x3已知 x ( ,0) ， cos x（）A 7B7C 242524247D 24764化简 2sin （ x） ·

15、;sin （ +x），其结果是（）44 sin2x cos2x cos2x sin2x5sin 3 cos的值是 （）12125A0B 2C 2D 2 sin126 1tan 2 75的值为()tan 75A23 B23C 23 D2 3337若 cos3 ， sin24 ，则角的终边一定落在直线（）上。255A 7 x 24 y 0B 7x 24 y 0C 24 x 7 y 0 D 24 x 7 y 08 coscossinsin_ .9 1tan15o 1tan15o10 tan 20otan40o3 tan 20otan 40o 的值是.11求证：cos21sin 212已知 tan 21 ，求 tan的值cottan432213已知 0x,sin(x)5 , 求 cos 2x 的值。4413c