一、函数与映射的基本概念

1、、函数与映射的基本概念、基本概念1.函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合 A中的每一个元素 x,在集合B中都有唯一的元素 y和它对应，那么就称这样的对应 “f:A-B”为从集合A到B的一个函数， 记作y=f ( x), xC A,其中x叫做自变量.x的取值范围 A叫做函数的定义域；与 x的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合C= y|y = f (x) ,xC A叫做函数的值域(C=B).函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，或简记为f(x).这里的“ f”即对应法则，它确定了 y与x的 对应关系.从函数概念看，“定义域、值域和对应法则”是构成函数

2、的三个要素，其中，“定义域和对应法则”是两个关键性要素，定义域和对应法则一旦确定，函数的值域也随之确定.2、对应法则是指y与x的对应关系，它含有两层意思，一是对应的过程(形式)，即由x求出y的运算过程, 一般体现在函数的解析表达式中；二是运算的结果(本质)，即y的值，两个对应法则是否相同，要看对于同一个自变量的值所得到的函数值是否相同，有时形式上不同的对应法则本质上是相同 的。例如：y =x +1与y =sin2x +cos2 x + x的对应法则是相同的。3、同一个函数同一个函数，而值域相同是两函数两个函数当且仅当定义域和对应法则二者均相同时才表示 为同一函数的必要非充分条件.4、变换字母在

3、函数的定义域及对应法则不变的条件下，用不同的字母表示自变量及对应法则，这对于函数 本身并无影响，比如f (x) =x2+l, g (t) = t2+l,都表示同一函数.5、区间及其表示方法.区间是数学中常用的表示数集的术语与符号.设a、bWR,a<b,规定闭区间：a, b= x | a < x < b 1,开区间：(a, b) =x|a<x<b, 半开半闭区间：(a, b= (x | a < x < bl, a, b) =(x | a < x < bl.其中a、b分别为区间的左端点、右端点， b-a为区间长度.符号+8读作正无穷大，-8读作

4、负无穷大，它们都不是一个具体的数.用+8或-8作为区间的端点，表示 无穷区间，并且只能用开区间的形式.如：(a,y) =&| x >a, (-,b) = x | x < b , (-0o,y) = R6.映射的概念：映射是两个集合间的一种特殊的对应关系，即若按照某种对应法则 f,对于集合A中的任一元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应(包括集合A、B和对应法则f)就叫做集合A到集合B的映射，记作f: A-B.在映射f: A-B中，若A中元素a与B中元素b对应， 则b叫做a的象，a叫做b的原象.因而，映射可以理解为“使A中任一元素在 B中都有唯一象”的特殊对应

5、(即单值对应).如果映射f: A-B满足A中不同元素在 B中有不同的象；B中任 一元素均有原象，那么这个映射就是A到B上的一一映射.7、映射与函数的关系函数是映射，但映射不一定是函数。由映射的概念可知，函数本质上是定义在两个非空数集上的一类特殊的映射：当 A、B是两个非空数集，那么 A至ij B的映射f: A-B就叫做A至ij B的函 数，并记作y=f(x),其中xC A, yC B.原象的集合 A叫做函数的定义域，象的集合 C叫做函数的 值域，显然C0.8、函数的三种表示法及其优缺点(1)、解析法用一个含有这两个变量及数学运算符号的等式表示两个变量间的函数关系，这种表示法叫做解析法.例如，代

6、数式，y=-2x-1, y = x2+x2, y =- , y=WX。等等都是函数x解析式.一般的可表示为 y= f(x)。解析法简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的相依关系，即给出了由x求y的方法，但求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的函数关系不一定能用解析式表达出来.(2)、列表法把自变量x的一系列值和函数 y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法.如平方表、平方根表等.列表法一目了然，表格中已有自变量的每一个值，不需计 算就可以直接查出与它对应的函数值，使用起来很方便，但列表法有局限性，因为列出的 对应值是有限的，而且在表格中也不容易

7、看出自变量与函数之间的对应规律.而且是近似 值(3)、图象法用平面直角坐标系中的曲线表示函数关系的方法叫做图象法.图象法形象直观，通过函数的图象，可以直接、形象地把函数关系表示出来，能够直观地研究函数的一些性质，例如 函数有没有最大值(或最小值)?最大(小)值是多少？函数值是随自变量增大而增大，还是 随自变量的增大而减小等等，函数图象是研究函数性质的有力工具.但是，由图象观察只 能由x的值量出y的近似值使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做函数的自变量的取值范围.注意：(1)当函数是由一个解析式表示时，欲求函数值，实质就是求代数式的值.(2)当已知函数解析式，又给出函数值，欲求相应的自变量的值

8、时，实质就是解方程.(3)当已知函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式.9、分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式例：求分段函数的函数值已知函数2# (x <log 1 工(X > 1).求 fff(a) (a<0)的值。分析求此函数值关键是由内到外瓷一求值，即由a<0, f(a)=2a,又 0<2a<i, /。>亚又柩1,人亚愧淖 T= -1手 j ,所以，2。注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段的表达式.二、典型例题解析例1在对应法

9、则“ f”下，给出下列从集合 A到集合B的对应：1（1） A= N, B=R , f: x y=；xx（2） A= N, B=Z , f: xy= （-1）;（3） A=x I x是平面内的三角形, B=y I y是平面内的圆, f: x-y是x的外接圆. 其中能构成映射的是（）A. （1）、（2）B. （1）、（3） C. （2）、（3） D. （2）分析 判断一个对应是不是映射，应紧扣映射的定义，即在对应法则f下，对于集合A中的任二元素在B中是否都有唯二.的象.解：在（1）中，元素“ 0”在B中没有象，不满足“任意性”，故不能构成映射.在（2）中，当x为偶数时，其象为1;当x为奇数时，其象

10、为-1,而1, -1 C B,即A中任一 元素在B中都有唯一的象.在（3）中，因为任一三角形都有唯一的外接圆，所以（2）、（3）能构成映射.答案选 C.点评 判断一个对应是否能构成映射，应紧扣映射定义.在课本中，已规定0是自然数，忽视了这一点，将误认为对应（1）是映射.在映射 f: A-B中，A、B的地位是不对等的，它并 不要求B中元素均有原象，或有原象也未必唯一.一般地，若 A中元素的象的集合为 C,则 C£B.如（2）中除1, -1以外的任何元素均无原象，（3）中任一圆的内接三角形都有无数个.映射中的集合元素的对象是任意的，可以是数集、点集或其他任意对象，如（3）中的集合对象是几

11、何图形.变题 设集合A=x I x是平面内的圆, B= y I y是平面内的矩形, f: xy是x的内接矩形.试问 它能否构成映射？答案：不能。因为圆的内接矩形有很多个，与映射要求的通过对应关系只有唯一的元满足关系不符例2已知映射f: A-B,其中集合 A=-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,集合B中的元素都是 A中元素在映 射f下的象，且对任意 aC A,在B中和它们对应的元素是 回，则集合B中元素的个数是（）A. 4 B. 5 C. 6D. 7分析 本题主要考查映射的概念及对对应概念的理解.解本题应抓住：对应法则f是什么？集合 B中的具体元素是什么？而的解决由来决定.解：依题意，

12、由A-B的对应法则为f: a-|a|.于是，将集合 A中的7个不同元素分别取绝对值后 依次得3, 2, 1, 1, 2, 3, 4.由集合元素的互异性可知，B=1 , 2, 3, 4,它有4个元素，答案选A.点评 准确理解题目本身所给的信息，捕捉对解题有用的成份，是解决问题的关键.不能忽视集合元素的三大特性在解题中的应用.本题中如果忽视集合元素的互异性，将导致错选D.例3 设人=，y） I x R , yC R .如果由A到A的一一映射，使象集合中的元素 （y-1 , x+2）和原象集合中的元素（x, y）对应，那么象（3, -4）的原象是（）A. （-5, 5）B. （4, -6）C. （2

13、, -2）D. （-6, 4）分析 由象与原象的概念可知，本题中的对应法则是f： （x, y）一（y-1, x+2）,问题即：当点（y-1, x+2）是（3,-4）时，对应的x, y的值分别是多少？于是由y1=3x = 一6 r 一一 .口1 ，即象（-3, 4）的原象是（-6, 4）,选D.、x + 2 = YJ = 4点评 已知原象要求象，只需根据对应法则直接代入计算；已知象元素，反求原象，需逆向思考，通常借助方程思想，通过解方程组来解决.在映射 f: A-B中，A是原象集合，B是象的集 合，对应法则是f:原象一象，二者顺序不能颠倒，否则将误选A;点（x, y）是有序数对，x,y的顺序不能

14、搞错，否则将误选B.例4 设A= x I 0< xw 2, B= y I 1 < y< 2,图1中表示A到B的函数是(分析 可根据映射观点下的函数定义直接求解.首先 C图中，A中同一个元素x (除x=2)与B中两个 元素对应，它不是映射，当然更不是函数；其次， A、B两图中，A所对应的“象”的集合均为 y I 0WyW2,而yl 0<y< 2<Z B= y I 1<y<2,故它们均不能构成函数.从而答案选D.点评 函数首先必须是映射，是当集合 A与B均为非空数集时的映射.因此，判断一个对应是否能构 成函数，应判断：集合 A与B是否为非空数集；f:

15、 A-B能否为一个映射.另外，函数 f: A-B中，象的集合 M叫函数的值域，且 M=B.变题已知函数 y=f(x),集合 A=( x, y) I y=f(x) , B=(x, y) I x=a, yC R,其中 a 为常数，则集合APB的元素有(C )A. 0个 B. 1个 C,至多1个 D,至少1个提示 设函数y=f(x)的定义域为D,则当aCD时，AAB中恰有1个元素；当aQ D时，AAB中没有 元素.例5集合A=3 , 4, B=5 , 6, 7,那么可建立从 A至U B的映射个数是 ,从B到A的映射 个数是.剖析：从A到B可分两步进行：第一步 A中的元素3可有3种对应方法(可对应 5

16、或6或7),第 二步A中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数 N1=3X3 = 9.反之从B到A, 道理相同，有 N2= 2X2X2= 8种不同映射.答案：9 , 8例6、某蔬菜基地种植西红柿， 由历年市场行情得知， 从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市 时 间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.P = f(t)；(1)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式，一 r 12由图二可得种植成本与时间的函数关系为g(t) =，(t 150)2 +100,0 MtM30020例7、若f :y=3x+1是从集合A=1 , 2, 3

17、, k到集合B=4 , 7, a4, a2+3a的一个映射，求自然数 a、k 的值及集合A、B.解：f (1) =3X1 + 1=4, f (2) =3 X 2+1=7, f (3) =3X3+1=10, f (k) =3k+1 ,由映射的定义知 r 4 一一 2 一 一a =10,T / c、 a +3a=10,(1)或(2) J24a2 +3a =3k +1,a4 =3k+1.Ja N, 方程组(1)无解.解方程组(2),得 a=2 或 a= 5 (舍)，3k+1=16 , 3k=15, k=5. A=1 , 2, 3, 5 , B=4 , 7, 10, 16.三、基本概念练习题1 .对于

18、映射f: AfB,下列说法正确的是A. A中某一元素的象可以不止一个C. A中两个不同元素的象必不相同()B. B中某一元素的原象可以不止一个D. B中两个不同元素的原象可能相同2 .设集合 A= a, b, c, B=m,3 .已知 A=B=R, x A, yC B,且 象为 .4 .下列函数中，表示同一函数的是n,f:p,那么从集合 A到B可以建立xfy=ax+b,若5和20的原象分别是 5和一映射.10,则7在f下的A . f(x)=1 , g(x)=x°B.C. f(x)=收，g(x)=|x| D,x2-1 f(x)=x+1, g(x)=三彳 f(x)=x, g(x)=h/x

19、)2供参考5 .函数y=x-1, xC Z且xC -1, 5 ,则函数的值域为 6 .给出三个命题：映射f: A-B是函数，则 A叫做函数的定义域，B叫做函数的值域; f (x) = Jx -4 + 33 -X 是函数；函数y=3x (xC Z)的图象是一条直线.二0,其中正确的有A . 0个 B. 1个 C. 2个7、集合 M=a, b, c, N=-1, 0, 1,那么映射f:M - N的个数是多少？D. 3个映射 f:M - N 满足 f (a) +f (b) +f (c)参考答案1. B2. 63. 114. C5. -2 , -1 , 0, 1, 2, 3, 46. A (定义域对，

20、值域不一定对，值域是B的真子，第二个定义域空，第三是点)7、解：,f (a) C N, f (b) N, f (c) C N,且 f (a) +f (b) +f (c) =0,.有 0+0+0=0+1+ (1) =0.当f (a) =f (b)=f (c) =0时，只有一个映射；当f (a)、f (b)、f (c)中恰有一个为0,而另两个分别为1, 1时，共有3*2=6个映射.因此所求的映射的个数为1+6=7.评述：本题考查了映射的概念和分类讨论的思想四、小结1 .理解映射的概念，应紧紧抓住映射的两个特性：任意性；唯一性.2 .判断一个对应是不是映射或一一映射，应“回到定义去”；说明一个对应不

21、是映射或一一映射，只须找出一个反例.3 .深化对函数概念的理解，能从函数三要素(定义域、值域与对应法则)的整体上去把握函数概 念.在函数三要素中，定义域和对应法则是函数的两大要素，对应法则是核心。五、检测题： 选择题：在映射f: A-B ）A .充分非必要条件C.充分必要条件中，“ B中每一元素在A中都有原象”是“该映射为B.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件映射”的2.卜列各图形中，是函数的图象的是卜列对应能构成映射的是3.A.B.C.D.x-y=x2-2x+2A=N, B= N + , f： x- I A=N, B=N + , f： x- I A=x I x>2, xC N ,

22、A=x I x>0, xC R ,x Ix-3 IB=y I y>0, yC Z , f：B= R, f: x一y=±4x4.设f、g都是由A到A的映射（其中A=1 , 2, 3）,其对应法则（从上到下）如下表:映射f的对应法则映射g的对应法则原象123原象123象231象213,则a、b、c的关系正确的为C. b=ga设 a=gf(3), b=gg(2), c=fgf(1)B. a=b=cD.:)c=aw b5、已知集合 M=a, b, A.4 个 B.6c, N=-1 , 0,C. 71,若 f 是MR N勺映射,且 f(a)=f(b)+f(c)个 D.27 个,则这

23、样的映射共有M到N的函数关系的有6、M Ux0MxM2>, N =；y0My M2）给出的四个图形，其中能表示集合2100A、 0个B、1个210C、2个y3填空题：7.已知集合 A=x I 0WxW4, B=y I 0WyW2,下列从 A到B的对应f:一1一1一2一12 f ：x- y= xf：x- y= - xf：x-y=xf：x- y= x2338(1)其中不是映射的是 ;(2)其中是映射的是 .8 .映射f: A-B,其中A=三角形, B=R, f是使三角形对应到它的外接圆半径.则边长为J3的正三角形的象是.9 .已知 f: A-B 是映射，其中 A=1 , 2, 3, 4, 5

24、 , B=0 , 7, 26, 63, 124, 则对应法则f: x y= .1 1、，一10 .给7E映射 f :(x, y)T (2x + y,xy),点(一，一一)的原象是.66x-3,(x -10)一11,设函数 f(x) = W，则 f (5)=.f(f(x 5),(x；10)解答题：12 .已知集合 A=1 , 2, 3, k, B=4 , 7, a3, a2+3a,且 aCZ, kCZ.映射 f： x-y=3x+1, xCA, y C B,求实数a、k的值.13 .已知映射 f: A-B 中，A=B=(x, y) I xC R, yCR , f： (x, y) 一(x+2y+2, 4x+y).(1)求A中元素(5, 5)的象；(2)求B中元素(5, 5)的原象；(3)是否存在这样的元素(a, b),使它的象仍是自己？若有，求出这个元素.2,(x >0) 3