新北师大版_八年级下册数学_第一章_三角形的证明_：111等腰三角形

1、八年级数学（下）第一章 三角形的证明等腰三角形（一）等腰三角形（一）三角形全等三角形全等判定公理：三边对应相等的两个三角形全等（）判定公理：三边对应相等的两个三角形全等（） 公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)(SAS) 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)(ASA)性质公理：全等三角形的对应边、对应角相等。性质公理：全等三角形的对应边、对应角相等。你能用上面的公理证明下面的推论吗？你能用上面的公理证明下面的推论吗？推论：两角及其中一角的对应边相等推论：两角及其中一角的对应边相等

2、的两个三角形全等的两个三角形全等(AAS)命题的证明w推论推论: :两角及其一角的对边对应相等的两个三角两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（形全等（AASAAS）. .证明证明: : A=A,C=C（已知）（已知）B=B（三角形内角和定理）（三角形内角和定理） 在在ABCABC与与A AB BC C中中 A=A （已知）（已知）, AB=AB（已知）（已知）, B=B （已证）（已证）, ABCABCA AB BC C（ASA）.驶向胜利的彼岸ABCABC w已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC和和A AB BC C中中, A=A, C=C, AB=AB.w求证求证: :ABC

3、ABCA AB BC C. .几何的三种语言w推论推论: :w两角及其一角的对边对应相两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（等的两个三角形全等（AASAAS）. .在在ABCABC与与A AB BC C中中A=A C=C AB=AB ABCABCA AB BC C（AAS）.驶向胜利的彼岸ABCABC w证明后的结论,以后可以直接运用. 1.如图如图:已知在已知在ABCABC和和DEF 中中AC=DF,AB=DE,C=F=100C=F=100, ,则则ABC和和DEF会全等吗会全等吗?若能请证明若能请证明;若若不能请说明理由不能请说明理由.ABCDEF其它条件不变若其它条件不变若B=E=

4、B=E=70等腰三角形的等腰三角形的性质性质w你还记得我们探索过的等腰三角形你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗的性质吗? ?w推论推论: :w等腰三角形顶角的平分线等腰三角形顶角的平分线, ,底边上的中底边上的中线线 底边上的高互相重合底边上的高互相重合( (三线合一三线合一).).w你能利用已有的公理和定理证明这你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗些结论吗? ? 议一议议一议P2w定理定理: :w等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等( (等边对等角等边对等角).).ACB12ACBD定理定理 等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的两个底角相等。 这一定理可以简单叙述为：等边

5、对等角这一定理可以简单叙述为：等边对等角已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中，中，ABABACAC。求证：求证：B BC CACB证明：取证明：取BCBC的中点的中点D D，连接，连接ADAD。 DABABACAC，BDBDCDCD，ADADADAD，ABCABCACD (SSS)ACD (SSS)B=C (B=C (全等三角形的对应边角相等全等三角形的对应边角相等) )做做BAC的平分线，交的平分线，交BC边边于于D； 过点过点A做做ADBC。你还有其他证明你还有其他证明方法吗方法吗 与同与同伴进行交流。伴进行交流。命题的证明命题的证明 议一议议一议P2此时此时AD还是还是什么线什么线

6、?胜利属于敢胜利属于敢想敢干的人想敢干的人.定理定理: :等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等( (等边对等角等边对等角).).ACB已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中, AB=AC.求证求证: : B=C. .在在RtRtABDABD与与RtRtA ACD中中 AB=AC （已知）（已知）, AD=AD（公共边）（公共边）, ABDABDA ACD（HL）.D证明证明: :过点过点A作作ADBC,交交BC于点于点D. B=C（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）.几何的三种语言 议一议议一议P2定理定理: :等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角

7、相等( (等边对等角等边对等角).).ACB如图如图, ,在在ABCABC中中, , AB=AC(AB=AC(已知已知),),B=C(B=C(等边对等角等边对等角).).w证明后的结论证明后的结论, ,以后可以直接运用以后可以直接运用. . 推论推论: 等腰三角形顶角的平分等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的线、底边上的中线、底边上的高线互相重合高线互相重合( (三线合一三线合一).).ACBD12AB=AC, 1=2(AB=AC, 1=2(已知已知).).BD=CD,ADBCBD=CD,ADBC（等腰三角形等腰三角形三线合一）三线合一）. .AB=AC, BD=CD (AB=AC,

8、 BD=CD (已知已知).).1=2,ADBC1=2,ADBC（等腰三角形等腰三角形三线合一三线合一）AB=AC, ADBC(AB=AC, ADBC(已知已知).).BD=CD, 1=2BD=CD, 1=2（等腰三角形等腰三角形三线合一）三线合一）w轮换条件轮换条件1=2, ADBC,ADBC,BD=CD,BD=CD,可得可得三线合一三线合一的的三种不同形式的运用三种不同形式的运用. .知识的巩固知识的巩固证明一个命题的一般步骤证明一个命题的一般步骤: :(1)弄清题设和结论弄清题设和结论; (2)根据题意画出相应的图形根据题意画出相应的图形;(3)根据题设和结论写出已知根据题设和结论写出已

9、知,求证求证; (4)分析证明思路分析证明思路,写出证明过程写出证明过程.1.如图如图,在三角形在三角形ABD中中,C是是BD上的一点上的一点,且且AC垂直垂直BD,AC=BC=CD.(1) 求证求证:ABDABD是等腰三角形是等腰三角形(2)(2)求求ABDABD的度数的度数ABCD开拓思维开拓思维1.将下面证明中每一步的理由写在括号内将下面证明中每一步的理由写在括号内:已知已知:如图如图,AB=CD,AD=CB.求证求证:A=C.A=C.证明证明:连接连接BD,在在BADBAD和和DCB中中, AB=CD( ) AB=CD( ) AD=CB( ) AD=CB( ) BD=DB( ) BD=DB( ) BAD DCB( ) :A=C ( )ABCD2.已知已知:如图如图,点点B,E,C,F在同一条直线在同一条直线上上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证求证:A=DA=DABCDEF等腰三角形ABC,AB=AC,BDAC探索DBC与A之间关系?ABCD探索与拓展探索与拓展等腰三角形ABC,AB=AC, DEAC, DFAB, CHAB探索DE、DF、 CH的关系?ABCABCD等腰三角形底边上的点到两腰的距离和等于一腰上的高等腰三