高等数学-四 微分学导数概念部分ppt课件

1、第一节第一节 导数的概念导数的概念第二节导数的运算第二节导数的运算第三节第三节 导数的运用导数的运用第四节第四节 微分及其运用微分及其运用 s tts tstt例1 求变速直线运动的瞬时速度解 设一物体作变速直线运动，其路程函数为 求该物体在 时辰的瞬时速度。t()( )ss tts t ttt( )ss t就是物体在 这段时间内的平均速度 t假定在 时辰物体所走的路程为 当经过 时，物体所走的路程为t( )s ttt()s tt 00limlim.tts tts tsvtt 越小，这个平均值越接近 时的瞬时速度，所以当 时的极限就是物体在 的瞬时速度即： tt0t t 就是说，物体运动的瞬时

2、速度是路程函数的增量和时间就是说，物体运动的瞬时速度是路程函数的增量和时间的增量之比当时间增量趋于零时的极限的增量之比当时间增量趋于零时的极限. . 越小，这个平均值越接近 时的瞬时速度，所以当 时的极限就是物体在 的瞬时速度即： tt0t t导数定义：导数定义： 设函数 在点 的某一邻域内有定义，当自变量 在 处有增量 仍在该邻域内)时，相应地函数 有增量 ， 假设比值的极限存在，那么称这个级限值为函数 在 的导数，并记为( )yf x0 xx0 x0(xx xyy00()()yfxxfx ( )f x0 x000()dyfxyxxxxdx或或或或1、求、求0 xxx 要据导数的定义知求一个

3、函数在某点的导数要据导数的定义知求一个函数在某点的导数经过三个步骤：经过三个步骤：y2、求、求yx3、求、求0limxyx 00()()(3)(3)yf xxf xfxf 例例 求求 在在 处的导数处的导数2yx解解 3x 1222(3)3x266yxxxxx 300limlim(6)6xxyxx (3)6f 26 xx 假设函数假设函数 在区间在区间 任一点任一点 导数都存在，那么对应于区间导数都存在，那么对应于区间 上每一点上每一点 就有一个导数值，这就构成了一个新的函数，这就有一个导数值，这就构成了一个新的函数，这个新的函数就叫做函数个新的函数就叫做函数 的导函数，但为的导函数，但为简单

4、起见习惯上把导函数叫做导数。并记为：简单起见习惯上把导函数叫做导数。并记为：( )xdyyfxdx00()( )( )limlimxxyf xxf xfxxx 即即 ( )yf x( , )a bx( , )a b( )yf x例例 求求 的导函数的导函数2yx22yxxx300limlim(2)2xxyxxxx ( )2fxx22()( )()yf xxf xxxx 解解 122x xx 显然，函数 在点 处的导数 ，就是导函数 在点 处的函数值，即 .( )yf x0 x0()fx( )fx0 x0()( )0fxfxx0 x 二、导数的几何意义二、导数的几何意义 0 x0 xxxyyxA

5、B0tgtg1、曲线的切线 当 点沿着曲线趋B 向与 点时，割线的极限位置就叫做曲线 在 点的切线。A( )yf x( )yf xA2、导数的几何意义 00()limxyfxx ytgx,时，时， ,BA割线割线 切线切线, 000()limlimxxyfxtgtgx 当当 例 求过曲线 在点 处的切线方程。212yx1(1, )2解解 2211()( )()22yf xxf xxxx 22xx x 2yxxx0( )lim()2xxfxxx (1)1f 11 (1)2yx 2210yx 三、函数的延续性与可导性的关系定理：定理： 在某点可导的函数，那么在该点函数在某点可导的函数，那么在该点函

6、数一定延续；在某点延续的函数，那么在该点函一定延续；在某点延续的函数，那么在该点函数不一定可导。数不一定可导。证明定理的前部分设证明定理的前部分设 在在 可导可导( )yf x0 x即即 00()limxyfxx yyxx 0limxy 所以函数所以函数 在在 点延续。点延续。 0 x( )f x00limlimxxyxx 0limxyxx 0() 00fx13yx证明定理的第二部分，举例阐明就可以了证明定理的第二部分，举例阐明就可以了 例例 由于由于 是初等函数，它在是初等函数，它在 (,) 上是延续函数，但上是延续函数，但 233211133yxx 在在 处导数不存在。处导数不存在。0 x

7、 例例 0( )0 xxf xxxx在在 处能否连处能否连续，能否可导。续，能否可导。0 x 00()()(0)(0)yf xxf xfxf 解解1 给给 一个改动量一个改动量00 x x00limlim0 xxyx 所以该函数在所以该函数在 处延续。处延续。0 x ()(0)fxfx 00limlim1xxxxxx 00limlim1xxxxxx 0limxyx 不存在不存在 ，所以在，所以在 不可导。不可导。 即即 0 x 0(0)limxyfx 2 00limlimxxxyxx 该函数在该函数在 处延续，但在该点导数不存在。处延续，但在该点导数不存在。 0 x 1求增量 y( )yf x

8、()( )yf xxf x ()( )yf xxf xxx0limxyyx 求函数 的导数 的步骤 2求比值 2求比值的极限 四、初等函数的导数解 (1) 求增量：由于 即不论 取什么 值，总等于 ，所以 ycxc0y 0yx2算比值00limlim 00 xxyyx 3求极限即常数的导数等于零0c ()( )yf xxf x 2cos()sin.22xxx()()2cossin22xxxxxxy 解1求增量 2求比值2cos()sin22xxxyxxsin()sinxxxsin2cos()22xxxx00sin2limlim cos()22xxxyxxxx 00sin2lim cos()li

9、m22xxxxxx 3求极限即(sin )cosxx 用同样的方法可得(cos )sinxx cosxlog1axxlog ()logaayxxx log1axyxxxlogaxxx解1求增量解2求比值1log1xxaxxx001limlimlog1xxaxxyxxxx 11log elnaxxa1(log)lnaxxa 1(ln )xx 3求极限11log lim (1)xxaxxxxx即特别是当ae()nnyxxx 122(1)()()2!nnnn nnxxxxx 121(1)()2!nnnyn nnxxxxx 12100(1)limlim()2!nnnxxyn nnxxxxx 1nnx1

10、nnxnx第二节第二节 导数的运算导数的运算2( )uu vv uvv ( ),( )uu xvv x( ),( )u xv x()uvuv()()u vu vv ucucu()u v wu vwv uww uv 3ln sinyxxxlncos7yxx1(ln )(cos )7sinyxxxx23313lnsinsincoslnyxxxxxx xxx ytgx()ytgx222cossincosxxxsin()cosxx2(sin ) cos(cos ) sincosxxxxx221seccosxxyx1112211()22yxxx1yx12211( )()1yxxxx 1()2xx 211

11、( )xx 221()cscsinctgxxx dydy dudxdu dx( )uxxu( )yf x ( )yfxx( )( )( )xuxy xfuxyyuxuuyyuxuxxyyuxux000limlimlimxxxyyuxux x( )u xx0 x 0u 000limlimlimxuxyyuxux xuxyyucos2yxcos2yuuxxuxyy u (cos )sinuyuu 2sin2sin2xyux 2ln(1)yx221(1)1yxx(2 )2xux221xx3sinyx32sin3sincosyuuxyxx34(sin )yxx3334(sin ) (sin )yxxx

12、x3324(sin ) (3cos )xxxxxyalogaxylogxaxa(log)xaxa111log()()lnxxaxxeaaaaa()lnxxaaa ae()xxee yarctgxxtgytgarctgx211()cosarctgxarctgx21()secarctgxy 21()1arcctgxx 2sec()yarctgx 211 tg y211xarcsinyxsinsin(arcsin )xyx1cos(arcsin ) (arcsin )xx 11(arcsin )cos(arcsin )cosxxy 21(arcsin )1 sinxy 21(arcsin )1xx

13、21(arccos )1xx 22yax22221()2yaxax222222xxaxaxarcsinyx1()1yxx2111122xxxx2ln(32)yxx221(32)32yxxxx2212(3)3222xxxx2223232(2)xxx xx1arcytgx211( )11yxx331yx133(1) yx113331(1)(1)3xx2211()11xx211x 23 23(1)xx21arcsinxxxyeee21sin2xy arctgxye1ln1yarctgx23lnln (ln)yx1sin0 xyx0 x 0 x 0 x 21xxyee 21arcsinxxxyeee2

14、222 1xxxeee21xxee21sin2xy 21sin2ln2x21sin212ln2sin2xxx 21sin2xy ln221(sin)x112sin(sin)xx21sin1112ln2 2sincos( )( )xxxx21sin21112ln2 2sincos( )()xxxxarctgxye1112arctgxyexx 2(1)arctgxexx2211111(1)1 ()11yxarctgxx 1ln1yarctgx322331112ln(ln)3lnln (ln)lnyxxxxx 36ln ln(ln)xxx23lnln (ln)yx23231ln (ln)ln (ln)yxx33233112lnln(ln)ln (ln)lnyxx