高数数学-D11_习题课ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 习题课一、一、 曲线积分的计算法曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法 线面积分的计算 第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、曲线积分的计算法一、曲线积分的计算法1. 根本方法曲线积分第一类 ( 对弧长 )第二类 ( 对坐标 )(1) 选择积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2) 确定积分上下限第一类: 下小上大第二类: 下始上终练习题: P244 题 3 (1), (3), (6)目录 上页 下页 返回 结束 解答提示解答提示: 计算,d22syxL其中L为圆周.22xayx提示提示: 利用极坐标利用极坐标 ,)22(

2、cos:arLdd22rrs原式 =sxaLd22dcos22aa22a阐明阐明: 假设用参数方程计假设用参数方程计算算,:L)20(tOxayrda)cos1 (2txatyasin2t那么tyxsdd22 tad2P244 3 (1)目录 上页 下页 返回 结束 ttad)cos1 ( P244 3(3). 计算,dd)2(Lyxxya其中L为摆线, )sin(ttax)cos1 (tay上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.提示提示:202dsinttta原式202sincosttta22 a)cos1 (tattattadsin)sin(yxxyadd)2(tttadsin2目录 上页

3、 下页 返回 结束 zyx1OP244 3(6). 计算其中 由平面 y = z 截球面22yx 提示提示: 因在因在 上有上有,1222yx故:原式 = tttdsincos2022221tttd2022221)cos1 (cos4221432212162txcostysin21 sin21tz )20( t,dzzyx从 z 轴正向看沿逆时针方向.,12所得 z目录 上页 下页 返回 结束 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;(2) 利用积分与途径无关的等价条件;(3) 利用格林公式 (留意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ;(5) 利用两类曲线积分的联络公式 .2. 根

4、本技巧根本技巧目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算计算,d)(22szyxI其中 为曲线02222zyxazyx解解: 利用轮换对称性利用轮换对称性 , 有有szsysxddd222利用重心公式知sysydd0szyxId)(32222sad322334azyxO( 的重心在原点) 目录 上页 下页 返回 结束 CyxABLO例例2. 计算计算,d)(d)(22LyxyxyxI其中L 是沿逆时针方向以原点为中心、解法解法1 令令,22xyQyxP那么xQ这阐明积分与途径无关, 故yxyxyxIABd)(d)(22aaxx d2332a1yPa 为半径的上半圆周.目录 上页 下页 返回

5、结束 解法解法2 ,BA它与L所围区域为D,Dyxdd0yxyxyxBAd)(d)(22xxaad2D(利用格林公式)思索思索:(2) 假设 L 同例2 , 如何计算下述积分:LyxyxyxId)(d) (2222yLyxyxyxId)(d)(2213332a(1) 假设L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:BALyxyxyxId)(d)(22那么添加辅助线段CyxABLO目录 上页 下页 返回 结束 思索题解答思索题解答:LyxyxyxId)(d)(2213(1)ABABLDyxdd2)32(2aaLyxyxyxId)(d) (2222y(2)Lyxyxyxd)(d)(22Lxy d2tta

6、dsin303,sin,cos:taytaxL332a13223 a32a0:t332aIDCyxABLO目录 上页 下页 返回 结束 ),(),(2yxftytxtf证证: :把把例例3. 设在上半平面设在上半平面0),(yyxD内函数),(yxf具有延续偏导数, 且对恣意 t 0 都有证明对D内恣意分段光滑的闭曲线L, 都有0d),(d),(yyxfxxyxfyL),(),(2yxftytxtf两边对t求导, 得:),(2),(),(321yxftytxtfyytxtfx得，令1t),(2),(),(21yxfyxfyyxfx),(),(yxfxQyxfyP再令那么有0),(),(),(2

7、21yxfyyxfxyxfyPxQ，即yPxQ因此结论成立.(2019考研)目录 上页 下页 返回 结束 DayLxOBA计算,d)2cose (d)2sin(eLxxyyxyyI其中L为上半圆周, 0,)(222yayax提示提示: :2cose,2sineyQyyPxxyxQyyPxxcose, 2coseyxDdd202a沿逆时针方向.ABABLI练习题练习题: P244 题题 3(5) ; P245 题题 6; 11. 3(5).用格林公式: 目录 上页 下页 返回 结束 P245 6 . 设在右半平面 x 0 内, 力构成力场,其中k 为常数, ,22yx 证明在此力场中场力所作的功

8、与所取的途径无关.提示提示:)dd(3yyxxkWL令33,ykQxkP易证53yxkyPxQ)0(x),(3yxkFF 沿右半平面内恣意有向途径 L 所作的功为目录 上页 下页 返回 结束 P245 11. 求力沿有向闭曲线 所作的其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三提示提示: BAzyxCOzxyzxyWdddABzxyzxyddd3ABzxd310d)1 (3zz23方法方法1从 z 轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形的整个边境,),(xzyF 功,目录 上页 下页 返回 结束 OBAzyxC设三角形区域为 , 方向向上, 那么zxyzxyWdddzyxSd

9、313131yzx1:zyxSd)3(31) 1, 1, 1 (31n方法方法223yxDyxdd33公式 n目录 上页 下页 返回 结束 DxzyO例例4.zyxyxzxzyILd)3(d)2(d)(222222设L 是平面与柱面1 yx的交线从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解解: 记记 为平面为平面2zyx上 L 所围部分的上侧, D为 在 xOy 面上的投影.I3131312zyx223yx Szyxd)324(3222zy 222xz SzyxdL公式 目录 上页 下页 返回 结束 Dyxyxdd)6(2D 的形心0 yxDyxdd1224SzyxId)324(32Dy

10、xzyx),(, 2:1: yxDDxy11O目录 上页 下页 返回 结束 二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法1. 根本方法曲面积分第一类( 对面积 )第二类( 对坐标 )转化二重积分(1) 选择积分变量 代入曲面方程(2) 积分元素投影第一类: 一直非负第二类: 有向投影(3) 确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面目录 上页 下页 返回 结束 思思 考考 题题1) 二重积分是哪一类积分? 答答: 第一类曲面积分的特例第一类曲面积分的特例.2) 设曲面,),( ,0:Dyxz问以下等式能否成立?DyxyxfSzyxfdd)0 ,(d),( 不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关 Dy

11、xyxfyxzyxfdd)0 ,(dd),(目录 上页 下页 返回 结束 2. 根本技巧根本技巧(1) 利用对称性及重心公式简化计算(2) 利用高斯公式留意公式运用条件添加辅助面的技巧(辅助面普通取平行坐标面的平面)(3) 两类曲面积分的转化目录 上页 下页 返回 结束 zyxO练习练习:P244 题题4(3) ,ddddddyxzxzyzyx其中 为半球面222yxRz的上侧.且取下侧 , 原式 =3323R032 RP244 题题4(2) , P245 题题 10 同样可利用高斯公式计算同样可利用高斯公式计算.0zyxddd30ddddddyxzxzyzyx记半球域为 ,高斯公式有计算提示

12、提示: 以半球底面以半球底面0为辅助面, 利用目录 上页 下页 返回 结束 例例5.证明证明: 设设(常向量)那么单位外法向向量, 试证Sdcoscoscoscoscoscos0vzyxd)cos()cos()cos(zyddcosxzddcosyxddcos设 为简单闭曲面, a 为恣意固定向量,n为 的 . 0d)cos(Sa,nSand)cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos0aSa ,nd)cos(目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 计算曲面积分计算曲面积分yxrzxzryzyrxIdddddd333其中,222zyxr.:2222取外侧Rzyx解解:yxzxzyzy

13、xRIdddddd13zyxRddd3134思索思索: 此题此题 改为椭球面改为椭球面1222222czbyax时, 应如何计算 ?提示提示: 在椭球面内作辅助小球面取2222zyx内侧, 然后用高斯公式 .目录 上页 下页 返回 结束 2121I例例7. 设设 是曲面是曲面9) 1(16)2(5122yxz23222)(dddddzyxyxzxzyzyxId2221:yxz解解: 取足够小的正数取足够小的正数 , 作曲作曲面面取下侧使其包在 内, 2为 xOy 平面上夹于之间的部分, 且取下侧 ,1与21取上侧, 计算, )0( z那么Ozyx目录 上页 下页 返回 结束 )2(133I21

14、21Ivd01dddddd13yxzxzyzyx22322)(dd0yxyx2第二项添加辅助面, 再用高斯公式, 21Ozyx23222)(dddddzyxyxzxzyzyxId1zyxO留意曲面的方向 !得目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 计算曲面积分计算曲面积分其,d2)(22SzyzyxI中 是球面.22222zxzyx解解: Szxd)22(32SzyxId )(222zyyx22Syzxd)(2Szxd)(20利用对称性用重心公式目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P244 3 (2) , (4) ; 4 (2) 5 ; 9目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 知

15、平面区域知平面区域L为D 的边境, 试证,0, 0),(yxyxDxyyxxyyxxyLxyLdededede) 1 (sinsinsinsin2sinsin2dede)2(xyyxxyL证证: (1) 根据格林公式根据格林公式d)ee(dedesinsinsinsinxyDxyLxyyxd)ee(dedesinsinsinsinxyDxyLxyyx所以相等, 从而左端相等, 即(1)成立.(2019 考研)OyxD因、两式右端积分具有轮换对称性,目录 上页 下页 返回 结束 (2) 由式d)ee(dedesinsinsinsinxyDxyLxyyxdedesinsinxDyDd2D22d)e

16、e(sinsinxxD由轮换对称性OyxD)2ee(tt易证目录 上页 下页 返回 结束 (1) 在任一固定时辰 , 此卫星能监视的地球外表积是 2. 地球的一个侦查卫星携带的广角高分辨率摄象机地球的一个侦查卫星携带的广角高分辨率摄象机能监视其视野所及地球外表的每一处的景象并摄像, 假设地球半径为R , 卫星距地球外表高度为 H =0.25 R ,卫星绕地球一周的时间为 T , 试求(2) 在解解: 如图建立坐标系如图建立坐标系.,54cos8 . 0arccosR25. 1R3T的时间内 , 卫星监视的地球外表积是多少 ?多少 ? yzxO设卫星绕 y 轴旋转目录 上页 下页 返回 结束 (1) 利用球坐标, 任一固定时辰监视的地球外表积为02201dsinRSd)cos1 (22R252R(2) 在2S2025234RSR3T时间内监视的地球外表积为54cos点击图片恣意处点击图片恣意处播放开场或暂停播放开场或