状态空间平均法

1、状态空间平均法首先要了解到在 CCM模式下，变换器的工作模式分为开启状态，关闭状态。开启状态，时间为0, dTs可以写出的状态方程为：x(t)二 Ax(t) Be(t)(1)y(t)二Gx(t) Eiu(t)和B1分别为状态矩阵与输入矩阵;y(t)为输出其中：x(t)为状态向量；u(t)为输入向量；A1变量；C1和E1分别为输出矩阵和传递举证。关闭状态，时间为dTs, Ts可以写出的状态方程为：x(t) = A2x(t) - B2u(t)y(t) =C2X(t)E2U(t)其中：x(t)为状态向量；u(t)为输入向量；A2变量；C2和E2分别为输出矩阵和传递举证。E2的形式与上面(1)与(2)

2、不一样。为了消除纹波的影响需要在一个周期内对状态变量求平均，所以有1 t4Fsx(t) ts t x( )d Ts t同样的方法有1 t4Fsu(t) t t u( )d Ts t、1 t dTsy(t) ts t y( )dTs 1因此可以对平均状态变量对时间求导数：厂 1 fs .x(t) Tst x( )dTs tt1同时 x( )d二辛Ts因此可以得到等式：.1 t 柚.x(t) ts t x( )dTs t将(1)(3)代入(10)，可以得到：、1 t 出Ts .和B2分别为状态矩阵与输入矩阵； 由于此时为开关关闭状态，所以t Ts1tdx(“Tsx(tTs) xy(t)为输出A2、

3、B2、C2、(8)(9)(10)x(t)Ts =T；(t x( )d t二丄Tst TsdTsx( )d )t dTsAx(t)3u(t)dt Ts；dTsA2X(t) B2U(t)d状态变量与输入变量在一个周期内的平均值可以代替瞬时值，并且近似认为平均值在一个开关周期内维持恒值。则可以视u(t) Ts与x(t) Ts在一个开关周期内为常量。(11)t Ts；t dTsA2X( ) - B2U(.)d . ,1 J t *Tsx(t) Ts = A1X( )Biu( ) d .Ts t Ts:t -dTsA2 XC)Ts B2 u(.)Tsd(12)1； t dTsA x( ) TsBi u(

4、 ) Tsd.Ts *整理可以得到：X(t) Ts d(t)Ai d (t)A2 x(t) Ts d(t)Bi d (t)B2 u(t) ts(13)这就是CCM模式下的平均变量状态方程一般公式。用同样的方法可以求得y(t) ts =d(t)G d (t)C2 x(t) ts d(t)E1 d (t)E2 u(t) ts(14)分解平均变量为：状态变量：x(t) Ts = X X(t)输入变量：u(t) Ts =UU(t)输出变量：y(t) Ts =丫 y(t)X、U、Y为直流变量X(t) u?(t) ?(t)为分离出来的小信号向量再对控制量d(t)进行分解可以得到d(t)=D d(t)，d

5、(t) =1 _d(t) = D d(t)将 X(t) ts =X ?(t) U(t) ts =U U?(t) y(t) ts 二丫 ?(t)代入(13)(14)然后化简可以得到 X X(t) =(DA DA2)X (DB DB2)U(DA1 DA)X(t) (DB1 D B2)U?(t)(A -A)X (B1 -B2)Ud(t)(A-A2)X(t)?t) (B1-B2)U(t)d(t)丫 y(t) = (DC1 D C2)X (DE1 D E2)U(DC1 D C2)X(t) (DED E2)UW(G OX (巳-E2)Ud(t)(G -C2)X(t)d(t)(巳-E2)?(t)d(t)令

6、A = DA D A2 B = DB1 D B2DC1 D C2 D = DE1 D E2代入上面等式可以得到：X X(t) = AX BU A?(t) BU?(t)(A -A)x (B B2)Ud(t)(A A2)x(t)?t) (B1 B2)U(t)d(t)Y?(t CX EUC5?(t) EU?(t)(G C2)X(E1 一 E2)U (?(t)(G C2)?(t)d(t) (EE2)C?(t)d?(t)此时可以看出两等式的左右边直流与交流应该是相等的，则有:X =AX BU Y =CX EU因为X为直流分量，所以x=o交流分量可以得到：x(t) =AX(t) BU?(t) (A - A

7、2)X (3 B2)Uc?(t)(A1 -A2)X(t)(?(t) -B2)U?(t)(?(t)?(t)二CX(t) Eg) (G -C2)X (巳-E2)Uc?(t)(C1 -C2)?(t)c?(t) (E1 E2)i?(t)c?(t)因为上面式子中含有信号积，所以上面式子就不是线性的。我们要求的是线性的等式。有因 小信号的乘积的幅值是远远小于等式中其他项的，因此可以去掉小信号乘积，此时就可以到到线性的小信号等式了。X(t)二 AX(t) Bi?(t) (A -A2)X (B -B2)Uc?(t) ?(t) t) EQt) (G -C2)X (巳-E2)Ud(t)F面用状态空间法来解释 BU

8、CK电路: 对于BUCK电路，可以去电感电流i(t)和电容电压v(t)作为状态变量，输入电压vg为输入变量，输出电压v0与输入电流Ig为输出变量。 在开关导通状态下，0, dTs时。L警vgdt厝dtdt1 1vg(t-vo(t)v(t) dv(t) _ 1C1Ci(t)k)11ig =i(t), v(t)二 v(t)根据上面两式子可以得到:0和v(t) 一_C1 1 ,丄:v(t) JRC 一llg(t)JAl 二_C1- L1-Rc1-LO-11v(t)o1v(t)(t)ol在开关导通状态下，dTs, Ts时。1Ldi(tLv(t),di(t-1v(t)dtdt LC豁晋呼令击ig =0, v(t) =v(t)- c1-L1-R+- o o-7g1-L1- -1Jo o-:cRCo o_-7 7o 1+AL/Vo