【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第51讲 圆教案

1、第51讲 圆对圆的问题的研究是高中解析几何的重点内容之一，在高考和数学竞赛中也很常见，学习中应熟练掌握圆的方程的几种常见的形式：1圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2，其圆心为(a，b)，半径为r(r0)2圆的一般方程：x2y2DxEyF0，当D2E24F0时，该方程表示圆，圆心(，)，半径r；当D2E24F0时，该方程表示点(，)(点圆)；当D2E24F0时，该方程不表示任何曲线(虚圆)3以(x1，y1)，(x2，y2)为直径端点的圆的方程：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0；4圆的参数方程：圆心为(a，b)半径为r的圆的参数方程(为参数)同时在学习的过程中还应该注意点与圆、直线与

2、圆、圆与圆的位置关系及一些相关的结论，注意待定系数法的应用与圆有关的问题还常常要考虑用平几方法来解A类例题例1设实数x，y满足(x2)2y23，那么的最大值是( )A B C D(2000年全国高考题)分析 由于(x，y)在圆上，则的值可以理解为通过圆上的点与原点连线的斜率，从而比较顺利地解决问题解 如图，方程(x2)2y23的图形为圆心在(2，0)，半径为r的圆设k，则k为ykx的斜率，显然k的最大值是在直线ykx与圆在x轴上方相切时得到，即直线OM的斜率为k的最大值又|AM|，|OA|2，则MOA于是可得的最大值是ktan，故选D说明 这里运用数形结合的思想，把视为圆上一点(x，y)与原点

3、连线的斜率是破题的“高明”之招本题也可以直接解出：以ykx代入圆的方程(k21)x24x10，这是关于x的二次方程，4(k21)0，解得k23，则k的最大值为例2自点A(3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2y24x4y70相切，求光线L所在直线的方程(1989年全国高考题)分析 考虑作出已知圆关于x轴的对称图形圆C'，则两条入射光线均与圆C'相切，以此为突破口解决问题解 已知圆的标准方程是(x2)2(y2)21，它关于x轴的对称圆的方程是(x2)2(y2)21， 设光线L所在直线的方程是y3k(x3)(其中斜率k待定）由题设知对称圆的圆心C&#

4、39;(2，2)到这条直线的距离等于1，即d1整理得，12k225k120，解得k，或k故所求的直线方程是y3(x3)，或y3(x3)，即3x4y30，或4x3y30例3设圆满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1在满足条件、的所有圆中，求圆心到直线l：x2y0的距离最小的圆的方程(1997年全国高考题)分析 要求圆心到直线的距离最小的圆的方程，必须先求出距离的最小值或求出何时距离最小，可以把本题先化成一个最值问题，解决之后再来求圆的方程解法一 设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴距离分别为|b|，|a|由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90

5、76;，知圆P截x轴所得的弦长为r，故r22b2又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2a21从而得2b2a21又点P(a，b)到直线x2y0的距离为d，所以5d2|a2b|2a24b24aba24b22(a2b2)2b2a21当且仅当ab时上式等号成立，此时5d21，从而d取得最小值由此有解此方程组得或由于r22b2，则r于是，所求圆的方程是(x1)2(y1)22，或(x1)2(y1)22解法二 同解法一得d，所以，a2b±d，得a24b2±4bd3d2， (1)将a22b21代入(1)式，整理得2b2±4bd5d210 (2)把它看作b的二次方程，由于方程有实根

6、，故判别式非负，即(±4d)24×2×(5d21)8(5d21)0，解得5d21所以5d2有最小值1，从而d有最小值为将其代入(2)式得2b2±4b20，解得b±1将b±1代入r22b2，r22，由r2a21得a±1综上a±1，b±1，r22， 由|a2b|1知，a，b同号，于是，所求圆的方程是(x1)2(y1)22，或(x1)2(y1)22说明 在解题的过程中，要体会如何合理刻画最值情景再现1过点A(1，1)、B(1，1)且圆心在直线xy20上的圆的方程是( )A(x3)2(y1)24 B(x3)2(y

7、1)24C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)24 (2001年全国高考题)2已知当且仅当k满足akb时，两曲线x2y2412x6y与x2y2k4x12y有公共点，则ba的值为 ；(上海市2001高中数学竞赛)3求过原点且与直线x1及圆(x1)2(y2)21都相切的圆的方程B类例题例4设a、b是方程x2cot·xcsc0的两个不等实根，那么过点A(a，a2)和B(b，b2)的直线与圆x2y21的位置关系是( )A相离 B相切 C相交 D随的值而变化(第九届全国希望杯邀请赛)分析 可以先求出过A、B的直线方程，然后运用圆心到直线的距离与半径的大小比较，确定直线与圆的位置关系解

8、选B根据题意，得即因此，A(a，a2)和B(b，b2)都在直线ysinxcos10上所以过A、B的直线方程为xcosysin10 (1)因此原点到该直线的距离d1故过A、B的直线与单位圆相切故选B说明 1本题求过A、B的直线的方程的方法很重要，也很简洁读者也可以思考一下其他解法比较一下2判断直线与圆的位置关系常用两种方法：消去x，或y之一，得到一个一元二次方程，判断的符号；运用圆心到直线的距离与半径的大小关系的比较进行判断3式(1)即是直线l的法线式方程，其中熟字“1”就是原点与直线l的距离例5已知直角坐标平面上一点Q(2，0)和圆C：x2y21，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(0

9、)求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线(1994年全国高考题)分析 按求轨迹方程的常规方法，设动点M的坐标为(x，y)，将动点M满足的条件等式转化为解析表达式，化简得轨迹方程，特别要注意题中的隐含条件：二次方程的二次项系数为0时退化为一次方程，由此引起对的讨论解 如图设MN切圆于N，则动点M组成的集合为PM|MN|MQ|式中常数0因为圆的半径|ON|1，所以|MN|2|MO|2|ON|2|MO|21设点M的坐标为(x，y)，则，整理得(21)(x2y2)42x(142)0经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故这个方程为所求的轨迹方程当1时，方程化为x，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且

10、相交于点(，0)；当1时，方程化为(x)2y2，它表示圆，该圆圆心的坐标为(，0)，半径为说明 本题中轨迹方程的探求、对的讨论及对轨迹所表示的曲线的研究都有一定的难度，应注意理解和掌握例6实数x、y满足方程x2y26x4y9，求2x3y的最大值与最小值的和(第十届全国希望杯数学邀请赛)分析 方程x2y26x4y9，即(x3)2(y2)24表示一个圆，可以写出这个圆的参数方程，从中求出2x3y的最大值与最小值解法一 由x2y26x4y9，得(x3)2(y2)24，于是可设即则2x3y2(32cos)3(22sin)4cos6sin122cos(j)12，所以2x3y的最大值为122，2x3y的最

11、小值为122因此，2x3y的最大值与最小值之和为24解法二 设2x3yc，代入x2y26x4y9，消去y，整理得13x2(4c30)x(c212c81)0，此关于x的方程0，即(4c30)24×13×(c212c81)0，即c224c920方程c224c920的两根为c1、c2(c1c2)，显然c1cc2，故cmaxcminc1c224说明 本题也可以这样解决：2x3yc表示斜率为的平行线簇，从而只要求直线与圆有公共点的条件即可得出cmax和cmin由2，解得|12c|2，即122c122，故cmaxcminc1c224情景再现4(1)圆2x22y21与直线xsiny10(

12、R，k，kZ)的位置关系是( )A相交 B相切 C相离 D不确定 (2002年北京市春季高考题)(2)在圆x2y25x0内，过点(，)有三条弦的长度成等比数列，则其公比的取值范围是( )A， B，C， D， (河北省2000年高中数学竞赛)5知圆C：x2y22x4y40，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得弦AB，以AB为直径的圆过原点若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由6在ABC中，A、B、C所对的边为a、b、c，若c10，P为ABC内切圆上一动点，d为点P到顶点A、B、C的距离的平方和，则dmindmax ；(第六届河南省高中数学竞赛)C类例题例7已知：正数m取不同的数值时，方程

13、x2y2(4m2)x2my4m24m10表示不同的圆求这些圆的公切线的方程(福州市高中数学竞赛题)解 化圆方程为(x2m1)2(ym)2m2故圆心坐标为(2m1，m)，半径为m若直线ykxb是这些圆的公切线，则必须而且只需对于一切正数m恒有m两边平方并整理得，(3k24k)m22(kb)(2k1)m(kb)20从而解得或故这些圆有两条公切线，其方程分别为y0或yx例8三个圆，半径都是3，中心分别在(14，92)、(17，76)、(19，84)，过点(17，76)作一条直线，使得这三个圆位于这条直线某一侧的部分的面积和等于这三个圆位于这条直线另一侧的部分的面积的和求这条直线的斜率的绝对值(第2届

14、美国数学邀请赛)解 首先注意到这三个圆是互相外离的等圆记O1(14，92)，O2(19，84)，O3(17，76)由于过O3的直线总把O3分为等积的两部分，因此，只要考虑过平面上怎样一点所画的直线与O1、O2相交且使直线两侧的面积相等记O1O2的中点为M，则M为两等圆O1和O2的对称中心，因此过M且与O1、O2都相交的直线能满足题目的要求因此，所求直线应过M和O3的直线，符合题设要求的唯一的由于M(16.5，88)，O3(17，76)，则该直线的斜率的绝对值是|k|24情景再现7证明：方程x416x22x2y216y2y44x34xy264x的图形为两个互相内切的圆(天津市高中数学竞赛题)8已

15、知：通过定点M(x1，y1)的两个圆与两坐标轴相切，它们的半径分别为r1、r2求证：r1r2xy(辽宁省高中数学竞赛题)习题511已知直线(t为参数)与圆(q为参数)相切，则直线的倾斜角为( ) (湖南省1998年高中数学竞赛)A或 B或 C或 D或 2已知：圆C：x2y22x2y10，直线l与C相切，且l与x、y轴交于点A、B，O为原点|OA|a，|OB|b，a2，b2(1)求证：(a2)(b2)2；(2)l与x、y轴交于点A、B，求线段AB的中点轨迹；(3)求AOB面积的最小值3设A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t60°)，cos(2t60°)为动点，则当t由

16、15°变到45°时，线段AP扫过的面积是 (1990年全国高中数学联赛)4已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( ) A(x)(y)0B(x)(y)0C(x)(y)0D(x)(y)0(1992年全国高中数学联赛)5已知点集A(x，y)|(x3)2(y4)2()2，B(x，y)|(x4)2(y5)2()2，则点集AB中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为 (1994年全国高中数学联赛)6在直角坐标平面，以(199，0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为_(1996年全国高中数学联赛)7设定点P在圆周x2

17、y21上，若点Q、R在圆x2y21的内部或圆周上，且PQR为边长是的正三角形则|OQ|2|OR|2的最大值为 ；(O为坐标原点) (上海市1992年高中数学竞赛)8求一个圆，它与三个圆C1：(x5)2(y3)29；C2：(x3)2(y5)225；C3：(x10)2y219都相交，且在交点处的切线互相垂直本节“情景再现”解答：1C21403(x)2(y)24(1)C(2)C5圆C的圆心(1，2)，半径r3设l的方程为yxb，则过A、B的圆可写为x2y22x4y4(xyb)0，即x2y2(2)x(4)y4b0其圆心(，)在直线yxb上，故422b，Þb3原点在此圆上，故b4则b1，4；或

18、b4，1则直线l的方程为yx1，或yx46因为，则可得2A2B，或2A2B180°而2A2B与矛盾，故AB90°，则C90°，a6，b8内切圆半径2建立直角坐标系(如图)，设P(x，y)，则(x2)2(y2)222dx2y2(x6)2y2x2(y8)23x23y212x16y100884y(0y4)故dmindmax88721607方程x416x22x2y216y2y44x34xy264x可以写成(x2y2)(x2y216)4x(x2y216)0，即(x2y24x)(x2y216)0，从而x2y24x0，或x2y2160，即(x2)2y24，或x2y216方程(x

19、2)2y24表示圆心为(2，0)，半径为2的圆，方程x2y216表示圆心为(0，0)，半径为4的圆而两圆的半径的差为2，且圆心距为2，所以这两个圆互相内切，即方程x416x22x2y216y2y44x34xy264x的图形为两个互相内切的圆8如图，由于两圆和两坐标轴相切，设两圆的方程分别为(xa1)2(yb1)2a，|a1|b1|r1；(xa2)2(yb2)2a，|a2|b2|r2即x2y22a1(x±y)a0；x2y22a2(x±y)a0因为M(x1，y1)在圆O1、O2上，则xy2a1(x1±y1)a0；xy2a2(x1±y1)a0如果两圆O1、O2

20、在同一象限内，于是a1、a2是方程x22(x1±y1)xxy0的两个根所以由根与系数关系推得，a1a2xy，即r1r2xy本节“习题11”解答：1A2(1)C：(x1)2(y1)21，圆心(1，1)，半径为1直线l的方程为(±bx)(±ay)ab0但只有bxayab0与C可能相切直线l与C相切的充要条件为1，即ab2a2b20，就是(a2)(b2)2(2)设AB中点为(x，y)，则a2x，b2y，代入得轨迹为2(x1)(y1)1(x1)(3)SAOBabab1(a2)(b2)323323点P在单位圆上，sin(2t60°)cos(150°2t)，cos(2t60°)sin(150°2t)