2018年全国卷3理科数学试题和参考答案

1、WORD格式.绝密启用前试题类型：新课标2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案考前须知：1.答题前，考生先将自己的XX、XX号填写在答题卡上.2.答复选择题时， 选出每题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号.答复非选择题时， 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 .1集合A x | x1 0，B0,1,2，那么A B ( )A0B1C1,2D0,1,2【答案】 C【解析】 A

2、: x1，AB1, 2【考点】交集21 i2i()A3 iB3 iC3 iD3 i【答案】 D【解析】1i2 i2 ii 23 i【考点】复数的运算3. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出局部叫做榫头，凹进局部叫做卯眼，图中的木构件右边的小长方体是榫头. 假设如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，那么咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )专业资料整理WORD格式eord完美格式专业资料整理WORD格式.俯视方向A.B.C.D.【答案】 A【解析】 注意咬合， 通俗点说就是小长方体要完全嵌入大长方体中，嵌入后最多只能看到小长方体的一个面，而 B 答案能看见小长方体的上面

3、和左面， C 答案至少能看见小长方体的左面和前面， D 答案本身就不对，外围轮廓不可能有缺失【考点】三视图4. 假设sin1，那么 cos2()3A8B7C78999D9【答案】 B【解析】 cos21 2sin279【考点】余弦的二倍角公式255. x2的展开式中 x4的系数为( )xA 10B 20C 40D 80【答案】 C52r【解析】x22的第 rrx2 5 rr2rx10 3r，故令 r2 ，那么x1项为：C5xC5C5r 2r x10 3r40 x4【考点】二项式定理专业资料整理WORD格式eord完美格式专业资料整理WORD格式.6直线x y2 0 分别与x轴、y轴交于点 A,

4、 B 两点，点P在圆x 222 上，那么y2ABP 面积的取值X围是()2,64,82,3222,32ABCD【答案】 A【解析】 A2, 0,B0,2，AB2 2，可设P22 cos , 2 sin ，那么42sin4d P AB222 sin2, 3224S ABP1 ABdP AB2dP AB2, 62注： dP AB的X围也可以这样求：设圆心为O，那么 O 2,0 ，故d P ABdO AB2,dO AB2，而 dO AB42 ， dP AB2, 3 222【考点】点到直线距离、圆上的点到直线距离最值模型( 圆的参数方程、三角函数)7yx4x22 的图像大致为()专业资料整理WORD格

5、式y1A.O1xyC.1O1xy1B.O1xy1D.O1x专业资料整理WORD格式【答案】 D专业资料整理WORD格式eord完美格式专业资料整理WORD格式.【解析】 f 12 ，排除A By '4x2 x 2x 1 2x0,单增，排、 ；32 ，故函数在22除 C【考点】函数图像辨识( 按照奇偶性、特殊点函数值正负、趋势、单调性( 导数 ) 的顺序来考虑 )8. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10 为成员中使用移动支付的人数，DX2.4 ， P X4P X6 ，那么p()A0.7B0.6C0.4D0.3【答案】 B【解析】由

6、题意得X 服从二项分布，即X 10, p，由二项分布性质可得DX10 p 1p2.4 ，故p0.4或0.6，而 P x 4 C1046P x 6 C106p6 1 p4p4 1 p即 12p2，故 p 0.5pp0.6【考点】二项分布及其方差公式9. ABC的内角A, B, C的对边分别为a,b, c ，假设ABC 的面积为a2b 2c2，那么 C4()ABCD2346【答案】 C【解析】 S ABC1ab sin Ca2b 2c2，而 cos Ca 2b 2c2242ab故 12abcosC 1，C42 absinC42 abcosC【考点】三角形面积公式、余弦定理10. 设A, B, C,

7、 D是同一个半径为4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为9 3 ，那么三棱锥 DABC 的体积最大值为()专业资料整理WORD格式eord完美格式专业资料整理WORD格式.A12 3B18 3C243D543专业资料整理WORD格式【答案】 B【解析】如图，O 为球心， F 为等边ABC 的重心，易知 OF底面 ABC ，当 D, O, F 三点共线，DO专业资料整理WORD格式即 DF 底面 ABC 时，三棱锥 D ABC 的高最大，体积也最大 . 此时：AFEBC专业资料整理WORD格式ABC 等边AB6 ，S ABC93在等边ABC 中，BF2 BE3 AB2 3 ，33在

8、 RtOFB 中，易知 OF2 ，DF6 ，故VD ABCmax1 9 3618 33【考点】外接球、椎体体积最值11. 设x2y21 a0, b0 的左，右焦点， O 是坐标原点， 过F2作 CF1, F2是双曲线C :2b2a的一条渐近线的垂线，垂足为P .假设 PF16 OP ，那么C的离心率为()A5B2C3D2【答案】 C【解析】渐近线OP 的方程为：yb x ，a利用点到直线的距离公式可求得PF2b，( 此结论可作为二级结论来记忆) ，在 RtABC 中，易得 OPa ，PF16a ，在 POF1中，由余弦定理可得：cos POF1a2c26a2，又 cosPOF2a2acca2c

9、26a2ac32ac0 ，故eac【考点】双曲线几何性质、余弦定理解三角形专业资料整理WORD格式eord完美格式专业资料整理WORD格式.专业资料整理WORD格式eord完美格式专业资料整理WORD格式.12. 设alog0.20.3， blog 2 0.3，那么()Aa b ab 0Bab a b 0Ca b 0 abDab 0 a b【答案】 B【解析】首先由ylog0.2 x 单调递减可知0 log0.2 1 alog0.2 0.3log0.2 0.2 1，同理可知2 b1 ，ab0,ab0 ，排除C、D其次：利用作商法：ab11( 注意到ab 0 )abab log0.30.2 lo

10、g0.3 2log0.3 0.41a bab【考点】利用对数函数单调性确定对数X围、作商法比拟大小二、填空题：本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分13. 向量 a1,2， b2,2， c1,. 假设c /2a b ，那么_.【答案】 12【解析】 2 ab4,2，故 24【考点】向量平行的坐标运算14. 曲线yax1ex在点 0, 1处的切线斜率为2 ，那么 a_.【答案】3【解析】 y'aexax1 ex，ka 12【考点】切线斜率的计算方法15. 函数fxcos 3x在 0,的零点个数为 _.6【答案】 3【解析】 x0,， t3x6, 3，由 ycost 图像可知，当t,3

11、,566222时 cost 0 ，即 fx 有三个零点或者：令 3xk，那么 x9k，当 k 0, 1,2 时，x 0,，故 3 个零点623专业资料整理WORD格式eord完美格式专业资料整理WORD格式.【考点】换元法( 整体法 ) 、余弦函数的图像与性质16.点 M1, 1 和抛物线 C : y24x ，过 C 的焦点且斜率为k 的直线与抛物线交于A, B 两点，假设AMB90 ，那么 k _.【答案】 2【解析】(1)常规解法：设直线方程为x myxmy 1y1 y24m1，联立可求y1 y2，由y24 x4MBMA y1 y2y1 y21x1 x2x1 x2 1 0，可得 m1，故

12、k22(2) 二级结论：以焦点弦为直径的圆与准线相切设 AB 中点为N，那么由二级结论可知NM准线，yN yM1，故 yA yB 2yN2 ，由点差法可得， k42yAyB进一步可得二级结论：kAB yM p【考点】直线与抛物线联立( 二级结论、点差法)三. 解答题：共 70 分 . 解容许写出文字说明， 证明过程或演算步骤 . 第 1721 题为必考题，每个试题考生必须作答 . 第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答 .( 一) 必考题：共60 分.17. (12分)等比数列an中，a11, a54a3.(1) 求 an的通项公式；(2) 记Sn为an的前 n项和 .假设 Sm63，

13、求m .【答案】 (1)an2n 1或an2n 1m 6；(2)【解析】 (1)a54a3 a3 q 2，q 2an2n 1n 1，或 an21 1m(2) 当q 2时， S263，解得 m6m1专业资料整理WORD格式eord完美格式专业资料整理WORD格式.当 q 21 12mm时，得2Sm363188无解综上： m6【考点】等比数列通项公式与前n 项和公式18. (12分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动， 提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式 .为比拟两种生产方式的效率，选取 40 名工人， 将他们随机分成两组，每组 20 人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生

14、产方式，根据工人完成生产任务的工作时间 ( 单位： min) 绘制了如下茎叶图：第一种生产方式第二种生产方式86556899762701223456689877654332814452110090(1) 根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2) 求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过 m 的工人数填入下面的列联表：超过 m不超过 m第一种生产方式第二种生产方式(3) 根据 (2) 中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？n adbc2附： K2abcb d，c daP K 2k0.0500.0100.001k

15、3.8416.63510.828【答案】 (1)第二组生产方式效率更高；(2) 见解析； (3) 有；【解析】 (1) 第二组生产方式效率更高；从茎叶图观察可知， 第二组数据集中在70min80min之间，而第一组数据集中在80min90min 之间，故可估计第二组的数据平均值要小于第一组数据平均值，事实上E168727677798283838485868787888990909191928420同理 E274.7 ，E2E1，故第二组生产方式效率更高专业资料整理WORD格式eord完美格式专业资料整理WORD格式.(2) 由茎叶图可知，中位数 m79 8180，且列联表为：2超过 m不超过

16、m第一种生产方式155第二种生产方式51540 15252210 6.635 ，(3) 由(2) 可知K220202020故有 99% 的把握认为两种生产方式的效率有差异【考点】茎叶图、均值及其意义、中位数、独立性检验19 (12 分)如图，边长为 2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在的平面垂直，M是CD上异于 C, D 的点(1) 证明：平面 AMD 平面 BMC ；(2) 当三棱锥MABC 体积的最大时，求面M AB 与面 MCD 所成二面角的正弦值.MDCAB【答案】 (1)见解析； (2) 2 55ABCDCDMDM【解析】 (1)BCBC DCMBCCDDM BMCADN

17、BMCMCDM( 这边只给出了证明的逻辑构造，方便大家阅读，考试还需要写一些具体的内容)(2) SABC恒定，故要使VM ABC最大，那么dMABC 最大，结合图象可知M 为弧CD中点时，VM ABC最大.此时取 CD的中点 O ，那么 MODC ，故 MO面 ABCD ，故可建立如下图空间直角坐标系那么：M 0,0,1，A2,1,0，B2,1, 0，C0,1,0，D0,1, 0专业资料整理WORD格式eord完美格式专业资料整理WORD格式.AB 0,2,0,MA2,1,1 ，平面 MAB 的法向量为n11, 0, 2 ，易知平面MCD 的法向量为n21,0, 015，故 cos n1 ,

18、n255专业资料整理WORD格式面 MAB 与面MCD所成二面角的正弦值为2 55DzMOCy专业资料整理WORD格式ABx【考点】面面垂直的判定、三棱锥体积最值、二面角的求法20. (12分)斜率为 k 的直线 l 与椭圆C :x2y 21交于A,B 两点，线段AB的中点为43M 1, m m0 .(1) 证明：k1 ；2(2)设 F为C的右焦点， P为C上一点，且FP FAFB0 .证明 FA,FP ,FB 成等差数列，并求该数列的公差 .【答案】 (1)321见解析； (2) d28x12y12点差法：设 A x1, y1 ,Bx2 , y2431【解析】 (1)，那么相减化简可得：x2

19、2y22413y1y2y1y233x1x2x1x2， kOM k AB( 此公式可以作为点差法的二级结论在选填题中直接44用) ，m3，易知中点 M 在椭圆内，1m21 ，代入可得 k1或 k1，又 m0 ，4k14322k0，综上 k2专业资料整理WORD格式eord完美格式专业资料整理WORD格式.ykxn ，且 Ax2y21可得，联立法：设直线方程为x1 , y1,Bx2 , y2，联立43ykxnx1x28kn2224k236n4k3 x8knx4n120 ，那么y2 kx1x22n4n2， y123x1 x22124k4k3xM14kn234k3，两式相除可得 m，后续过程和点差法一

20、样( 如果用算的话比yMm3n4k4k23较麻烦 )( 联立法思路非常的简单通用，但是计算量非常的大，如果用口算解析几何系列公式计算的话，上述计算就非常简单了 )(2)FPFAFB0， FP2FM0，即 P 1,2m ，14m21， m3 m07434k1, nmk4 ，由(1)得联立前方程为7x214x10 ， x1,21321 ，414FAFBca2x1ca2x22acx1x23 (此处用了椭圆的第二定义)acaca222(或者FAxy 2x3 1x12x1代入椭圆方程消掉 y11111142同理FB 2x2， FA FB4x1x23，FA FBx1x2 )2223而 FP2FAFB2 F

21、P故 FA , FP , FB 成等差数列.2dFA FBc a2x1c a2x2c x1 x23 21a ca ca14专业资料整理WORD格式eord完美格式专业资料整理WORD格式d.3 2128专业资料整理WORD格式【考点】点差法、直线与椭圆联立求解、等差数列、椭圆的第二定义21. (12分)函数fx2xax2 ln 1x2x .(1) 假设 a0 ，证明：当1 x0 时， fx0；当 x0 ， fx0；(2) 假设x0 是 fx的极大值点，求a .【答案】 (1)见解析； (2)a16【解析】 (1)常规方法：当 a0 时，f x2x ln 1x2xx1，f ' xln1x

22、111xf '' xx，当1x 0 时，f''x0；当 x0 时，f'' x0x21f ' x在1, 0上单调递减，在0,上单调递增，而f ' 00，f ' x0 恒成立，fx单调递增，又f00当 1 x0 时，f x0 ；当x0 ，f x0改良方法：假设 a 0 ，那么fx2x lnx12xx2ln x12 xx2令 g x ln x 12x，那么 g ' x14x20x1x22x1 x2x22所以 gx 在 0,单增，又因为 g 00故当 1 x0 时，g xg 0 0 ，即 f x0 ；当 x 0 时，g x

23、g 00 ，即 f x0 ；方法比照：假设直接求导，那么完全处理掉对数经常需要二次求导，而方法二提出x 2 之后对数单独存在，一次求导就可消掉对数专业资料整理WORD格式eord完美格式专业资料整理WORD格式.(2)方法一：极大值点的第二充要条件：函数yfx0处各阶导数都存在且在 x x连续， xx0是函数的极大值点的一个充要条件为前2n1阶导数等于0，第2n阶导数小于0f x2xax2 ln1x2xf 'x2ax1 lnx1ax211 ，f ' 00x1f '' x2a ln x 13ax24axx， f '' 00x21f '

24、9;' x2ax26axx6a1x31x0 是f x的极大值点，f ''' 06a1 0 ，a1 ，6下证：当 a1时， x0 是fx的极大值点，61 x x6x在1,0单增，在0,单减f '''x3，所以 f ''x31进而有 f '' xf '' 00 ，从而 f' x在1,单减，当 x1,0 时， f ' xf ' 00 ，当 x0,时， f 'xf ' 00从而 f x在1,0 单增，在0,单减，所以x 0是 fx的极大值点 .方法二：x 0

25、是f x的极大值点，所以存在0，使得在,00,，f xf 0 0 ，即 2 x ax2 ln 1 x 2x 02x2当 x0,时， ln 1x0 ，故ln 1x2ln x1x2x x，ax2x2 lnx1当 x, 0 时， ln 1x2xx 2 lnx 10 ，故 ax2 ln x1专业资料整理WORD格式eord完美格式专业资料整理WORD格式.专业资料整理WORD格式2xx2 lnx1a limx2lnx1x0即lnx1lim2 lnx14xx0 4xxx1 lnx1lim1 ln x1x2x0 2x x1( 洛必达法那么，极限思想 )limx121x0x4x64ln1x14专业资料整理WORD格式【考点】导数的应用( 二 ) 选考题：共 10 分，请考生在 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分 .22.选修 44 ：坐标系与参数方程(10 分 )在平面直角坐标系xOy 中，xcos2 且O 的参数方程为( 为参数 ) ，过点0,ysin倾斜角为的直线 l 与O交于 A, B两点.(1) 求 的取值X围；(2) 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程., 3x2 sin 23【答案】 (1)； (2),224,44ycos2422【解析】 (1)当时，直线 l : x0 ，符合题意；2当时，设直线 l : ykx2 ，由题意得 d21