第十讲三角形中的三角函数问题

1、 第十讲三角形中的三角函数问题第十讲三角形中的三角函数问题学习目标基础落实金典例题1.进一步掌握正弦定理、余弦定理的应用.2.能利用正弦定理、余弦定理进行有关计算、判定三角形形状、证明三角形中的有关等式或不等式.1.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若( bc)cosA=acosC，则cosA=.3 填 .因为( bc)cosA=acosC，由正弦定理得( sinBsinC)cosAsinAcosC，即 sinBcosAsinAcosCsinCcosAsin(A+C)=sinB，所以cosA .33333332. ABC中，(a2b2c2)tnA(a2b2c2)tnB= ()A

2、.0B.1C.a2D.b2选A.因为，所以a2b2c22bccosA，a2b2c22accosB，所以(a2b2c2)tnA(a2b2c2)tnBBacbcaAbcacbcos,cos22222222022222)sinsin(sinsincossincoscossincosBaAbcBacAbcBBBacAAAbc3.在ABC中，已知2sinAcosBsinC，那么ABC一定是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形选B.解法1：（转化为角的关系进行判断）由C（AB），所以sinCsin（AB).所以2sinAcosBsin（AB）.所以sinAcosBcosAsinB

3、0.所以sin（AB）0，所以ABk（kZ）.又A、B、C为三角形的内角，所以AB0.所以AB.则三角形为等腰三角形.解法2：（转化为边的关系进行判断）由正弦定理及余弦定理得：，所以a2c2b2c2,所以ab，故ABC是等腰三角形.acbcaa222224(2012陕西卷)在ABC中，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，若 ，则cosC的最小值为( ) (2010天津卷）在ABC中， .（1）证明BC；（2）若cosA ,求 的值.coscosACBABC13sin(4)3B三角形中的三角变换（1）证明：在ABC中，由正弦定理及已知得，于是sinBcosCcosBsinC0,即sin（B-C

4、)0,因为BC，从而BC0.所以BC.（2）由ABC和（1）得A2B,故cos2Bcos（2B）cosA,又02B，于是.sincossincosBBCC1322 21 cos 23B从而,所以4 2sin42sin2 cos29BBB227cos4cos 2sin 29BBBsin 4sin4 coscos4 sin3334 27 318BBB本题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.在ABC中,A，B，C所对的边长分别为a,b,c,且满足(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC，试判断ABC的形状.解法1：

5、(化成角的关系求解)：由条件可得：a2sin(A-B)-sin(A+B)=-b2sin(A+B)+sin(A-B).展开、整理得：a2cosAsinB=b2sinAcosB，由正弦定理有asinB=bsinA,所以上式即为acosA=bcosB,三角形的形状判断再由正弦定理可得：sin2A=sin2B,因为2A、2B(0,),所以A=B,或A+B=,故ABC的形状为等腰三角形或直角三角形.解法2：(化为边的关系求解)：由条件(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC，可得：(a2+b2)(acosB-bcosA)=(a2-b2)(a2+b2)(a2-b2)=(a2-b2)c2,a2

6、+b2=c2或a=b.22222222222a()() ,22acbbcabab ccc根据已知条件判断三角形的形状，主要有两条途径：其一是化角为边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；其二是化边为角，走三角变形之路，主要是利用正弦定理.2.在ABC中，bcosAacosB，试判断三角形的形状.解法1：（利用余弦定理将角化为边）因为bcosAacosB，所以，所以b2c2a2a2c2b2,所以a2b2,所以ab，故此三角形是等腰三角形.acbcaabcacbb22222222解法2：（利用正弦定理将边转化为角）因为bcosAacosB，又b2RsinB，a2RsinA，所以2Rs

7、inBcosA2RsinAcosB，所以sinAcosBcosAsinB0,所以sin（AB）0,因为0A，0B，所以AB，所以A-B0,即AB，故三角形是等腰三角形.三角形中的综合问题已知向量m（sinA，sinB），n（cosB，cosA），mnsin2C,且A,B,C分别是ABC的三边a、b、c所对的角.（1）求角C的大小；（2）若sinA、sinC、sinB成等差数列，且CA(AB-AC)=18,求c边的长.（1）因为mnsinAcosBsinBcosAsin（AB），对于ABC，ABC，0C，所以sin（AB）sinC，所以mnsinC，又因为mnsin2C，所以sin2CsinC，cosC,所以C.123（2）sinA、sinC、sinB成等差数列，得2sinCsinAsinB，由正弦定理得2cab，因为CA(AB-AC)=18,所以CACB=18,即abcosC18,ab36.由余弦定理得c2a