数值分析列主元高斯消去顺序高斯平方根法追赶法

1、课题名称：课题一 解线性方程组的直接方法解决的问题：给定三个不同类型的线性方程组，用适当的直接法求解。采用的数值方法：对第一个普通的线性方程组，采用了高斯顺序消去法和高斯列主 元消去法。对第二个正定线性方程组，采用了平方根法。对第三个三 对角线性方程组，采用了追赶法。算法程序：(1) 普通的线性方程组顺序消去法#include<stdio.h>#include<math.h>int main(void)float A1010= 4,2,-3,-1,2,1,0,0,0,0,8,6,-5,-3,6,5,0,1,0,0,4,2,-2,-1,3,2,-1,0,3,1,0,-2,

2、1,5,-1,3,-1,1,9,4,-4,2,6,-1,6,7,-3,3,2,3,8,6,-8,5,7,17,2,6,-3,5,0,2,-1,3,-4,2,5,3,0,1,16,10,-11,-9,17,34,2,-1,2,2,4,6,2,-7,13,9,2,0,12,4,0,0,-1,8,-3,-24,-8,6,3,-1;float b10= 5,12,3,2,3,46,13,38,19,-21;float x10= 0;float Aik,S,temp;int i,j,k;int size=10;for(k=0; k<size-1; k+)if(!Akk)return -1;for(

3、i=k+1; i<size; i+) Aik=Aik/Akk;for(j=k; j<size; j+)Aij=Aij-Aik*Akj;bi=bi-Aik*bk;printf("An");for(i=0; i<size; i+)for(j=0; j<size; j+)printf("%f ",Aij);printf("n");printf("bn");for(i=0; i<size; i+)printf("%f ",bi);printf("nn")

4、; xsize-1=bsize-1/Asize-1size-1; for(k=size-2; k>=0; k-)S=bk;for(j=k+1; j<size; j+)S=S-Akj*xj;xk=S/Akk; printf("x=n");for(i=0; i<size; i+) printf("%f ",xi);return 0;列主元消去法#include<stdio.h>#include<math.h>int main(void)float A1010= 4,2,-3,-1,2,1,0,0,0,0,8,6,-5

5、,-3,6,5,0,1,0,0,4,2,-2,-1,3,2,-1,0,3,1,0,-2,1,5,-1,3,-1,1,9,4,-4,2,6,-1,6,7,-3,3,2,3,8,6,-8,5,7,17,2,6,-3,5,0,2,-1,3,-4,2,5,3,0,1,16,10,-11,-9,17,34,2,-1,2,2,4,6,2,-7,13,9,2,0,12,4,0,0,-1,8,-3,-24,-8,6,3,-1;float b10= 5,12,3,2,3,46,13,38,19,-21;float x10= 0;float Aik,S,temp;int i,j,k;float max;int c

6、ol;int size=10;for(k=0; k<size-1; k+)max=fabs(Akk);col=k;for(i=k; i<size; i+)if(max<fabs(Aik)max=fabs(Aik);col=i;for(j=k; j<size; j+)temp=Acolj;Acolj=Akj;Akj=temp;temp=bcol;bcol=bk;bk=temp;if(!Akk)return -1;for(i=k+1; i<size; i+)Aik=Aik/Akk; for(j=k; j<size; j+)Aij=Aij-Aik*Akj;bi=b

7、i-Aik*bk;printf("An");for(i=0; i<size; i+)for(j=0; j<size; j+)printf("%f ",Aij);printf("n");printf("bn");for(i=0; i<size; i+)printf("%f ",bi);printf("nn"); xsize-1=bsize-1/Asize-1size-1; for(k=size-2; k>=0; k-)S=bk;for(j=k+1; j&

8、lt;size; j+)S=S-Akj*xj; xk=S/Akk;printf("x=n"); for(i=0; i<size; i+) printf("%f ",xi);return 0;(2) 对称正定线性方程组 平方根法：#include <stdio.h>#include <math.h>#define n 8int main(void)float A88=4,2,-4,0,2,4,0,0, 2,2,-1,-2,1,3,2,0,-4,-1,14,1,-8,-3,5,6,0,-2,1,6,-1,-4,-3,3,2,1,

9、-8,-1,22,4,-10,-3,4,3,-3,-4,4,11,1,-4,0,2,5,-3,-10,1,14,2,0,0,6,3,-3,-4,2,19;float g88= 0;float b8= 0,-6,6,23,11,-22,-15,45;float x8= 0;float y8= 0;int k,m,i,sq;for(k=0; k<n; k+)float p=0,q=0,s=0;for(m=0; m<=k-1; m+) p=p+Akm*Akm; gkk=sqrt(Akk-p); Akk=gkk;for(i=k+1; i<n; i+)q=0;for(m=0; m<

10、;=k-1; m+)q=q+Aim*Akm;gik=(Aik-q)/Akk;Aik=gik;s=0;for(m=0; m<=k-1; m+)s=s+Akm*ym;yk=(bk-s)/Akk; xn-1=yn-1/An-1n-1; for(k=n-2; k>=0; k-)float sum=0;for(m=k+1; m<n; m+) sum=sum+Amk*xm;xk=(yk-sum)/Akk;for(sq=0; sq<n; sq+)printf("%f ",xsq);return 0;(3) 三对角线性方程组追赶法#include <stdio

11、.h>#include <math.h>#define n 10int main(void)float a10=4,4,4,4,4,4,4,4,4,4;float c9=-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1;float d9=-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1;float b10=7,5,-13,2,6,-12,14,-4,5,-5;float x10=0;float y10=0;float arf10=0;float bt9=0;arf0=a0;int i;for(i=0;i<n-1;i+)bti=ci/arfi;arfi+1=ai+

12、1-di+1*bti;/printf("%f %f n",bti,arfi+1);y0=b0/arf0;/printf("%fn",y0);for(i=1;i<n;i+)yi=(bi-di*yi-1)/arfi;/printf("%fn",y1);xn-1=yn-1;for(i=n-2;i>=0;i-)xi=yi-bti*xi+1;for(i=0;i<n;i+) printf("%lf ",xi); return 0;数值结果：(1) 普通的线性方程组 顺序消去法列主元消去法(2) 对称正定线性方

13、程组 平方根法：(3) 三对角线性方程组追赶法：对实验计算结果的讨论和分析：(1) 普通的线性方程组顺序消去法x1x10 的绝对误差：0.000001，-0.000001,0.000001,0,0.000001,0,0.000002,0,0,0 x1x10 的相对误差：0.000001，0.000001,-1,0,0.0000005,0,0.00000067,0,0,0 误差很小，基本可以忽略。高斯消去法由消元和回代两个过程组 成。消元过程就是将原增广矩阵 A,b 中矩阵 A 的部分约化为上三角 矩阵，然后就可以进行回代过程，从最后一个方程开始，依次求出 xn，xn-1 一直到 x1. 到这里，顺序高斯消去法完成。列主元消去法 经过计算，列主元高斯消去法的误差也很小，它是高斯消去法的 改进，因为顺序消去法的主元素如果等于 0，消元过程就无法进行， 如果它很小，也会导致它做除数的误差会增加，导致精度下降，因此 在消元过程中选择绝对值较大的元素作为主元素是必要的。 这就是列 主元消去法。(2) 对称正定线性方程组平方根法：误差为 0，数值非常稳