九年级春季班第4讲：创新题型--教师版

1、6 / 17（m 创新题型创新题型-d阅读理解Jq规律探究模块一：定义应用例题解析【例1】 定义x为不超过x的最大整数，如3.6 = 3, 3.6 =4.对于任意实数x,下列式子错误的是（）A.x = x （x 为整数）B.0 x x1C.x y x yD.n x nx（n 为整数）【难度】【答案】C.【解析】由反例3.8 2.76.5 6, 3.8 2.7 3 2 5可知C错误.【总结】本题考查取整函数x的定义及应用.【例2】 在平面直角坐标系 xOy中，对于点P (x, y)和Q (x, y),给出如下定义：若y x 0y,则称点Q为点P的 可控变点.如果点(1,2)为点M的可y x 0控

2、变点，则点M的坐标为.【难度】【答案】(-1,2)【解析】由题意得，当 x 0时，y y,且x不变，所以当x 1,时y 2,即点M坐标为(1,2).【总结】把握好“可控变点”的定义，找出y与y两者之间存在的关系.【例3】定义一种新运算:x 2y ,2 2 1x y，如 2 1 2 2 1 2 ,贝 U 4 2x2【难度】【答案】0.一,一4 2 221 2【解析】先计算 4 24三，2,再计算21 0.42【总结】根据运算法则进行运算，注意运算顺序.1 m n m n【例4】 已知m x 1 , n x 2 ,右规te y，则y的取小值为()1m n m nA. 0B. 1C. 1D. 2【难

3、度】【答案】B.1 2x x【解析】把m x 1 , n x 2代入，得到y2 ，当x时，y 1 ；122x 2 x21当x 1时，y 1 .所以y的最小值是1,故选B.【总结】考查分段函数求最值的问题.【例5】（2015学年 浦东新区二模 第17题）定义运算*规定x y ax by （其中a、b 为常数），若 11 3,111,12 .【难度】【答案】4.a b 3a 2【解析】把1 1 3, 111代入运算法则，得，解得：，a b 1b 1所以 1 2 2 X 1 + 1 X 2=4.【总结】根据新运算，求出a、b的值是解答本题的关键.【例6】（2015学年 宝山区、嘉定区二模 第17题）

4、对于实数m、n,定义一种运算“ * 为：m n mn n .如果关于x的方程x a x。有两个相等的实数根，那么满足4条件的实数a的值是.【难度】【答案】0.【解析】根据运算法则，a x ax x, x ax x x ax x ax x,-21整理得a 1 x a 1 x - 0 ,此万程有两个相等的实数根，4a 1 0则2,解得：a1 0, a2 1 （舍），所以a= 0.a a 1 a 10【总结】由运算法则整理得一元二次方程的一般形式，再结合一元二次方程根的判别式进行求解，注意二次项系数不能为零.【例7】（2014学年 宝山区、嘉定区二模 第17题）我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外

5、心距.如图，在 Rt ABC和Rt ACD中， ACB ACD 90 ,点 D在边 BC的延长线上，如果 BC = DC = 3,那么 ABC和 ACD的外心距是 .【难度】【答案】3.【解析】直角三角形的外心为斜边的中点，所以ABC和 ACD的外心分别为 AB和AD的中点，这两个三角形的外心距r 1 cr c即ABD的中位线，长度是aBD 3 .【总结】本题考查的知识点有直角三角形的外心、三角形的中位线.【例8】（2014学年 虹口区二模 第17题）定义a, b, c为函数y ax2 bx c的“特征数”.如：函数y x2 3x 2的“特征数”是1, 3, 2,函数y x 4的“特征数”是0

6、, 1, 4.如果将“特征数”是2, 0, 4的函数图像向下平移 3个单位，得到一 个新函数图像，那么这个新函数的解析式是 .【难度】【答案】y 2x2 1.【解析】由题意得“特征数”是2,0, 4的函数解析式为y 2x2 4,向下平移3个单位可2得新函数的解析式为：y 2x 1 .【总结特征数a, b, c即为二次函数的三个系数，已知特征数则可求得二次函数的解析式，再根据抛物线的平移法则“上加下减、左加右减”进行解题.【例9】（2015学年 闸北区二模 第17题）在平面直角坐标系 xOy中，0c的半径为r,点 P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点P为射线CP上一点，满足CpCP r2

7、, 则称点P为点P关于0c的反演点.如图为点P及其关于0C的反演点P的示意图.请 写出点M（ J ,0）关于以原点。为圆心，以1为半径的00的反演点M 的坐标.【难度】【答案】（2, 0）.【解析】由反演点的定义可得 om |0M , r2,即 10M 12 ,解得：0M 2,又点M在x轴上，所以点M 的坐标为（2, 0）.【总结】掌握“反演点”的定义中，两点之间存在的关系.【例10】（2014学年 普陀区二模 第17题）如图1,对于平面上不大于 90的 MON ,我们给出如下定义：如果点P在 MON的内部，作PE OM , PF ON ,垂足分别为点E、F ,那么称PE + PE的值为点P相

8、对于 MON的“点角距离”，记为d (P,MON ）.如图2,在平面直角坐标系xOy中，点P在第一象限内，且点 P的-1 O 1-1模块二：阅读理解xOy ） = 5,点P的坐标是横坐标比纵坐标大 1,对于 xOy，满足d （P,【难度】 【答案】（3, 2）.【解析】过点P分另1J作PA，x轴，PB，y轴,点P在第一象限内且横坐标比纵坐标大，设 PA = a ,贝U PB = a+1,. d (P, xOy ) = 5,图1可得：PA + PB =5,即 a + a+1=5,解得：a =2,所以点P的坐标为（3,2）.【总结】本次考查“点角距离”的定义，利用定义求解相关点的坐标.【例11】一

9、组数1,1,2, x, 5, V,，满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两 个数之和”，那么这组数中 y表示的数为 .【难度】【答案】8.【解析】由题得，x =1+2=3, y =3+5=8.【总结】本题难度不大，运算也比较简单.【例12】四个数a、 b、c、d排列成,我们称之为二阶行列式.规定它的运算法则为:ad1.由运算法则得2x 3 ,整理得：12x 12 ,解得：x=1 .由运算法则整理，再解关于x的方程即可.【例13】 对于两个不相等的实数 a、b,我们规定符号 max a , b表示a、b中的较大值,2x 1如：max 2 , 44 ,按照这个规te,万程 max x , x

10、的解为（）xA. 1 万B, 2 V2C. 1 点或1 夜D. 1 &或1【难度】【答案】D.【解析】当x0时，maxx, x x,解方程x 2x 1 ,得:x 1 ,2 ,所以x 1 应； x2x 1 一一当x0时，max x, x x,解万程 x ，得：用 x21 ,所以x 1；x综上，x 1 22或1 ,故选D.【总结】本题注意分类讨论，根据定义进行取值，再解关于x的方程.【例14】（2014学年奉贤区二模 第17题）我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值” .如果等腰三角形的腰长为 2, “内角正度值”为45 那么该三角形的面积等于 .【难度】【答案】1或2

11、.【解析】设最小角为 x ,则最大角为x 45：| ,当顶角为x 45；;则x x x 45 180L，解得：x 45：i ,此三角形为等腰直角三角形,1，此三角形的面积=-2 2 2 ;2当顶角为x时，则x x 45：1 x 45： 180）,解得：x如图，AB AC 2, A 30；1, # CD AB ,在 RUADC ,A 30：1CD 1AC 1,2，此三角形的面积=1 2 1 1 . 2综上所述，该三角形的面积等于1或2 .【总结】本题注意分类讨论.根据“内角正度值”的定义求出三角形各内角的度数，再进行 面积的求解.【例15】（2013学年松江区二模 第17题）如果三角形有一边上的

12、中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”.已知Rt ABC ,C 90 ,较短的一条直角边边长为1,如果Rt ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于 .【难度】【答案巫3【解析】“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边 AB上的中线，直角三角形的斜边中点到三顶点距离相等，不合题意；若“有趣中线”为 BC边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立;若“有趣中线”为另一直角边 AC上的中线，如图所示，BC=1，设BD 2x ,则CD x .在RU BCD中，勾股定理得 1+ x2 2x 2 , 解得：x=g,所以 BD=2x = /

13、i.【总结】本题考查“有趣中线”的定义，注意分类讨论.8 / 1714M【例16】（2015学年崇明县二模 第17题）如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1 : 2的两部分，那么称这样的平行四边形为 “协调平行四边形”，称该边为“协调边”.当“协调边”为 3时，它的周长为 .【难度】【答案】8或10.【解析】由题意可知，存在两种情况：（1） 一组邻边长分别为 3和1,周长=8;（2） 一组邻边长分别为 3和2,周长=10.【总结】本题考查“协调平行四边形”的定义及平行四边形的性质.【例17】（2015学年 虹口区二模 第17题）设正n边形的半径为 R,边心距为r,如果我们将R的值称为

14、正n边形的“接近度”，那么正六边形的“接近度”是 （结果保 r留根号）.【难度】【答案】逋. 3【解析】设正六边形的边长为a ,则半径为R= a ,边心距为r= .a ,所以R=2p .【总结】本题考查“接近度”的定义及正六边形的性质.【例18】（2013学年静安区二模 第16题）将关于x的一元二次方程x2 px q 0变形为x2 px q,就可将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法” .已知x2 x 1 0 ,可用“降次法”求得 x4 3x 1的值是.【难度】【答案】1.2一 2一.422【斛析】由x x 1 0,得x x1,代入x 3x 1 =

15、x 1 3x 1 x x 1 .【总结】本题运用“降次”及“整体代入”的思想进行解题.9 / 17【例19】（2014学年 金山区二模 第17题）在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y = x平行的两个圆，称之为“挛生圆”；已知圆A的圆心为（2,3） 半径为J2,那么圆A的所有“挛生圆”的圆心坐标为 .【难度】【答案】（0, 5）或（-4, 1）.【解析】由题意得，连心线所在直线为y x 5 ,因为两圆外切，设另一圆心为圆B ,所以圆心距 AB 2位，设 B x,x 5 ,所以 AB J（x 2）2 （x 2）2 2我，解得：xi 0 , x24 ,所以圆心B的坐标为（0,5

16、）或（-4,1）.【总结】本题考查了 “挛生圆”的定义、一次函数的图像以及圆与圆的位置关系.【例20】（2013学年 黄浦区二模 第17题）当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆心在另一圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交” .如果。1、8。2半径分别3和1,且两圆“内相交”，那么两圆的圆心距 d的取值范围是 .【难度】【答案】2 d 3.【解析】两个圆有两个公共点即两圆相交，可得 2 d 4 ,当小圆的圆心恰好在大圆上时，d 3,所以内相交的圆心距 d取值范围是2 d 3.【总结】本题考查圆与圆的位置关系及“内相交”的定义.21 / 17模块三：规律探究例题解析【例21】观察下列各数

17、:25311, 4, 9,竺，按你发现的规律计算这列数的第 37156个数为B.3635C.D.6263【难度】【答案】B.【解析】根据题意，可知规律为故第16个数为：竺，化简为4 ,故选C.63【总结】本题考查针对给定的一列数字找规律.【例22按一定规律排列的一列数：21,22,23,25,28,213 ,.若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜测 x、v、z满足的解析式是 .【难度】【答案】xy z .【解析】由给出的这一列数字，可得出规律：从第三个数字开始，每个数等于它两个数的乘积，所以xy z .【总结】本题考查针对给定的一列数字找规律.【例23】在平面直角坐标系中，有三个点A (1

18、, 1)、B ( 1,1)、C (0, 1),点P(0, 2)关于点A的对称点为p, P关于点B的对称点为P2 , P2关于点C的对称点为P3 ,按此规律，继续以点A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到点R, P5,R ,，则点F2o17的坐标为()A. (0, 0)B. (0,2)C. (2, 4) D. ( 4, 2)【难度】【答案】C.【解析】由题意得 P(2,4)、P2( 4, 2)、P3(4,0)、P4( 2,2)、P5 (0, 0) , P6 (0, 2),每6个数形成一个周期，2017 + 6=3361,所以P2017的坐标和P的坐标相同，故选 C.【总结】本题考查了点的对

19、称问题及周期问题的处理.【例24如图，正方形ABCD的边长为2,其面积标记为 ,以CD为斜边作等腰直角三角S2 ,，按形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 照此规律继续下去，则 S2017的值为.【难度】【答案(1)20142【解析】由题意得S =2X2=4=22, & =显 V2 21 , S3 = 1 1 1=20,由以上规律，可知S2017 =2-20141 2014(2)【总结】本题考查了找规律在几何图形中的应用.随堂检测G是常数)与【习题1】定义：如果二次函数y a1x2 bix c1ya2x2b2xc2(a20,a2、b2、c2是常数)满足a1a20 ,

20、b1242那么称这两个函数互为“旋转函数”.若函数x -mx 2与 y x 2nx n 互为3“旋转函数”，则2017 m n【难度】【答案】-1.【解析】由“旋转函数”的定义得4-m32 n2n,解得:0所以m2017 n1)2017_【总结】本题考查“旋转函数”的定义.【习题2】（2013学年虹口区二模 第17题）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形” .在Rt ABC中， C 90 ,若Rt ABC是“好玩三角形”，则tan A =【难度】【答案】理或2Z3 .23故只能是直角边上的中线等于此直角边的长,【解析】由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

21、半，因此斜边上的中线不满足;如图所示，设BD=2x, CD = x,则 BC 73x ,在 RtABC 中，AC =2 x , BC 辰.当A为较小锐角时，tan A ；2当 A为较大锐角时，tan A 晅.3【总结】本题考查“好玩三角形”的定义，注意分类讨论.【习题3】（2013学年杨浦区二模 第17题）我们把四边形两条对角线中点的连线段称为“奇异中位线”.现有两个全等三角形，边长分别为3cm、4cm、5cm.将这两个三角形相等的边重合拼成凸四边形，如果凸四边形的“奇异中位线”的长不为0,那么“奇异中位线”的长是 cm.【难度】【答案】. 10【解析】如图，将两个全等的直角上：ABC与占DE

22、F的斜边AC与DF重合，拼成凸四边形ABCE, AC与BE交于点O, M为AC的中点. aABCaDEF ,易证 AO BE .,9在 RUAOB 中，AO= AB ?cos BAO= 5155 9 7因为 AM -AC -所以 OM AM OA -22 2 5 10,即奇异中位线的长是 -.10【总结】本题考查了 “奇异中位线”的定义，注意根据题目要求画出合适的图形.【习题4】(2014学年 崇明县二模 第17题)如果一个二次函数的二次项系数为1,那么这个函数可以表示为 y x2 px q ,我们将p, q称为这个函数的特征数.例如二次函数y x2 4x 2的特征数是4, 2 .请根据以上的

23、信息探究下面的问题：如果一个二次函数的特征数是2,3,将这个函数的图像先向左平移 2个单位，再向下平移3个单位，那么此时得到的图像所对应的函数的特征数为 .【难度】【答案】6, 8.【解析】特征数是2, 3的二次函数为y x2 2x 3,即y (x 1)2 2,将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的二次函数为y (x 3)2 1,即y x2 6x 8 ,所以特征数为6, 8.【总结】本题考查了 “特征数”的定义及二次函数图像的平移.【习题5】(2014学年 黄浦区二模 第18题)如图1,点P是以r为半径的圆。外一点,点P在线段OP上,2,在 Rt ABO 中,若满足OP|OP r2,

24、则称点P是点P关于圆O的反演点.如图B 90 , AB = 2, BO = 4,圆。的半径为2,如果点A、B分别是点A、B关于圆O的反演点，那么AB的长是【难度】【答案】.5【解析】由反演点的定义，可知:Oa|oA r2 , Ob|oB贝UOAOA OB|OB,即2r ,OAOBOB p c,又 OOA吧旭，即OA AB 2.5AB2O ,可证人OAB s cOBA,解得：AB=，5 5【总结】本题考查了 “反演点”的定义，以及相似三角形的判定与性质.【习题6】正方形AiBiCiO , AB2c2G , A3B3C3C2 ,，按如图所示的方式放置.点A,A,和点C-C2 , C3,，分别在直线

25、 y kx b (k 0)和x轴上，已知点Bi (1, 1) , B2 (3, 2),则点B6的坐标是，点Bn的坐标是【难度】【答案】(63, 32) , (2n 1 , 2n 1).【解析】由A (0, 1)、A2 (1,2),可求得直线解析式为 y x 1.可求得 A3 (3, 4)、B3 (7, 4) , A, (7, 8)、B4 (15, 8) , A (15, 16)、B5 (31, 16),A6 (31, 32)、B6 (63, 32), 按照此规律可得 Bn (2n 1,2n1).【总结】本题考查了一次函数与几何图形背景下找出点坐标的规律.课后作业2【作业1】(2014学年 浦东

26、新区二模 第17题)对于函数y ax b ,我们称a, b为这2个函数的特征数.如果一个函数y ax b的特征数为2,5,那么这个函数图像与x轴的交点坐标为.【难度】【答案】(5,0).225【解析】特征数为2, 5的函数为y 2x 5 ,令y 0 ,解得x 3 ,所以函数图像与x轴的交点坐标为(-,0).2【总结】本题考查了 “特征数”的定义，以及二次函数的图像.中超【作业2】(2013学年金山区二模 第17题)如果一个三角形的一边长等于另一边长的两 倍，我们把这样的三角形成为“倍边三角形”，如果一个直角三角形是倍边三角形，那么这个直角三角形的较小的锐角的正切值为 .【难度】【答案】页或1

27、.32【解析】当斜边长等于直角边长的两倍时，最小角为30。，正切值为叵;当直角边长等于3另一直角边长的两倍时，最小角的正切值为-.2【总结】本题考查了 “倍边三角形”的定义，以及锐角三角比的求值.【作业3】已知抛物线p： y ax2 bx c的顶点为C,与x轴相交于A、B两点(点A在点B左侧)，点C关于x轴的对称点为C,我们称以点 A为顶点且过点C,对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线 AC为抛物线p的“梦之星”直线.若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y x2 2x 1和y 2x 2 ,则这条抛物线的解析式为 .【难度】【答案】y x2 2x 3.【解析】由y x2 2x 1 = (x 1)2可求得：A (-1,0).由*2 2x 1 2x 2,可求得：x