同济六版高数第四章第1节ppt课件

1、4.1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 微分法:)?()( xF积分法:)()?(xf互逆运算一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念v原函数的概念v 如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对任一xI, 都有vF (x)f(x)或dF(x)f(x)dx, v那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数. 原函数举例所以sin x是cos x的原函数. 因为(sin x)cos x , 提问： 因为xx21)( 所以xx21)( 所以x是x21的原函数 cos x 和x21还有其它原函数吗？

2、 问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?2. 若原函数存在, 它如何表示 ?v原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数F(x), 使对任一xI 都有F (x)f(x). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数说明：1. 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有无限多个原函数, F(x)C都是f(x)的原函数, 其中C是任意常数. 2. 函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 那么(x)

3、F(x)C (C为某个常数). 证证: 1)的原函数是)()(xfCxF)(CxF)(xF)(xf，的任一原函数是设)()()2xfx)()(xfx 又知)()(xfxF )()(xFx)()(xFx0)()(xfxf故0)()(CxFx)(0为某个常数C即0)()(CxFx属于函数族.)(CxF即不定积分中各部分的名称： - 称为积分号, f(x) - 称为被积函数, f(x)dx - 称为被积表达式, x - 称为积分变量. v不定积分的概念 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作 dxxf)( 根据定义, 如果F(x

4、)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么F(x)C就是f(x)的不定积分, 即 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作 v不定积分的概念dxxf)( CxFdxxf)()( C 称为积分常数不可丢 ! 例例1 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 如果F(x)是f(x)的一个原函数, 那么CxFdxxf)()( Cxxdxsincos 因为x是x21的原函数所以Cxdxx21 解：当 x0 时(ln x)x1 例 2. 求函数xxf1)(的不定积分 例例2 合并上面两式, 得到 解解 如果F(x)是f(x)的一

5、个原函数, 那么CxFdxxf)()( Cxdxxln 1(x0) 当 x0 时ln(x)xx1) 1(1Cxdxx)ln( 1(x0) Cxdxx|ln 1(x0) 例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解 设所求的曲线方程为yf(x), 则曲线上任一点(x, y)处的切线斜率为yf (x)2x, 即f(x)是2x 的一个原函数.故必有某个常数C使f(x)x2C, 即曲线方程为yx2C. 因所求曲线通过点(1, 2), 故21C, C1. 于是所求曲线方程为yx21. 因为Cxxdx22 yxo)2, 1 ( 函数f(x)的积分曲

6、线也有无限多. 函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率.积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线. 2x的积分曲线ox例3. 质点在距地面0 x处以初速0v力, 求它的运动规律. 解解: 取质点运动轨迹为坐标轴取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面原点在地面, 指向朝上指向朝上 ,)0(0 xx )(txx 质点抛出时刻为,0t此时质点位置为初速为,0 x设时刻 t 质点所在位置为, )(txx 那么)(ddtvtx(运动速度)tvtxdddd22g(加速度).0v垂直上抛 , 不计阻 先由此求)(tv 再由此求)(tx先求. )(tv,

7、ddgtv由知ttvd)()(g1Ct g,)0(0vv由,01vC 得0)(vttv g再求. )(txtvttxd)()(0g20221Ctvtg,)0(0 xx由,02xC 得于是所求运动规律为00221)(xtvttxg由)(ddtvtx,0vt g知故ox)0(0 xx )(txx v微分与积分的关系v 从不定积分的定义可知又由于F(x)是F (x)的原函数, 所以 由此可见, 如果不计任意常数, 则微分运算与求不定积分的运算是互逆的. )()(xfdxxfdxd或)()(xfdxxfdxd或dxxfdxxfd)()( CxFdxxF)()( 或记作 或记作CxFxdF)()( 二、

8、基本积分表(1)Ckxkdx(2)Cxdxx111(3)Cxdxx|ln1(4)Cedxexx(5)Caadxaxxln(6)Cxxdxsincos(7)Cxxdxcossin(8)Cxxdxtansec2(9)Cxxdxcotcsc2(10)Cxdxxarctan112(11)Cxdxxarcsin112(12)Cxxdxxsectansec(13)Cxdxxcsccotcsc(14)Cxdxxch sh (15)Cxdxxsh ch Ckxkdx(k 是常数) Cxdxx111 Cxdxx|ln1 Cedxexx Caadxaxxln Cxxdxsincos Cxxdxcossin Cxx

9、dxtansec2 Cxxdxcotcsc2 Cxdxxarctan112Cxdxxarcsin112 Cxxdxxsectansec Cxdxxcsccotcsc Cxdxxch sh Cxdxxsh ch 例 5 dxxdxxx252Cx1251251Cx 2772 例例5 例例4 例例6 例 4 dxxdxx331CxCx21321131Cxx372 例 6 dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33dxxdxx331CxCx21321131dxxdxx331CxCx21321131dxxdxx331CxCx21321131 dxxdxxx252Cx1251251Cx 277

10、2dxxdxxx252Cx1251251Cx 2772dxxdxxx252Cx1251251Cx 2772 dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33 (2)Cxdxx111 三、不定积分的性质 这是因为, f(x)g(x). dxxgdxxfdxxgxf)()()()( )()()()(dxxgdxxfdxxgdxxf)()()()(dxxgdxxfdxxgdxxfv性质1 三、不定积分的性质dxxgdxxfdxxgxf

11、)()()()( dxxfkdxxkf)()(k 是常数 k 0) v性质1 v性质2 dxxdxxdxxxdxxx2125212525)5() 5(Cxxdxxdxx23272125325725 例例7 例例8 dxxdxxdxxxdxxx2125212525)5() 5(dxxdxxdxxxdxxx2125212525)5() 5(Cxxdxxdxx23272125325725 例 8 dxxxxdxxxxxdxxx)133(133) 1(222323Cxxxxdxxdxxdxdxx1|ln3321113322dxxxxdxxxxxdxxx)133(133) 1(222323dxxxxdx

12、xxxxdxxx)133(133) 1(222323 Cxxxxdxxdxxdxdxx1|ln3321113322 例 11 dxxxdxxxxxdxxxxx)111()1 ()1 ()1 (122222 例例10 三、不定积分的性质dxxgdxxfdxxgxf)()()()( dxxfkdxxkf)()(k 是常数 k 0) v性质1 v性质2 例例9 例 9 xdxdxedxxexxcos3)cos3(Cxexsin3例 10 CeCeedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2 例例11 Cxxdxxdxx|lnarctan1112xdxdxedxxexxcos3)cos

13、3(Cxexsin3xdxdxedxxexxcos3)cos3(Cxexsin3 CeCeedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2CeCeedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2CeCeedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2 Cxxdxxdxx|lnarctan1112 dxxxdxxxxxdxxxxx)111()1 ()1 ()1 (122222dxxxdxxxxxdxxxxx)111()1 ()1 ()1 (122222 例 12 dxxxxdxxxdxxx222242411) 1)(1(1111 例例12 dxxdxdxxdx

14、xx222211)111(Cxxxarctan313 例例13 例 13 dxxdxdxxdxx222sec) 1(sectantan xxC. dxxxxdxxxdxxx222242411) 1)(1(1111dxxxxdxxxdxxx222242411) 1)(1(1111 dxxdxdxxdxxx222211)111( dxxdxdxxdxx222sec) 1(sectandxxdxdxxdxx222sec) 1(sectan 例 14 dxxdxxdxx)cos1 (212cos1 2sin2 例例14 例例15 Cxx)sin(21 例 15 Cxdxxdxxxcot4sin142c

15、os2sin1222dxxdxxdxx)cos1 (212cos1 2sin2dxxdxxdxx)cos1 (212cos1 2sin2 Cxdxxdxxxcot4sin142cos2sin1222Cxdxxdxxxcot4sin142cos2sin1222 内容小结内容小结1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表 2. 直接积分法:利用恒等变形, 及 基本积分公式进行积分 .常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质积分性质思考与练习思考与练习1. 假假设设则的原函数是,)(xfex d)(ln2xxfx提示提示:xe)()(xexfxeln)(lnxfx1Cx 2212. 假设假设)(xf是xe的原函数 , 那么xxxfd)(ln提示提示: 知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln103