生物统计学教案(八)

1、生物统计学教案第八章单因素方差分析教学时间：5学时教学方法：课堂板书讲授教学目的：重点掌握方差分析的方法步骤，掌握单因素和两因素的方差分析，了解多重比较的一些常用方法讲授难点：掌握单因素和两因素的方差分析8.1 方差分析的基本原理8.1.1 方差分析的一般概念第五章讲过两个平均数差异性的比较可用t检验，在多组数据之间作比较便需要通过方差分析来完成。在多组数据之间作比较可以在两两平均数之间比较，但会提高犯I型错误的概率。最简单的方差分析是单因素方差分析。下面举例说明。例1调查5个不同小麦品系株高，结果见下表：IIIIIIIVV164.664.567.871.869.2265.365.366.37

2、2.168.2364.864.667.170.069.8466.063.766.869.168.3565.863.968.571.067.5和326.5322.0336.5354.0343.0平均数65.364.467.370.868.6例2从每窝均有4只幼仔的初生动物中，随机选择4窝，称量每只动物的出生重，结果如下:窝别IIIIIIIV可编辑范本134.733.227.132.9233.326.023.331.4326.228.627.825.7431.632.326.728.0和125.8120.1104.9118.0平均数31.45030.02526.22529.500这两个例子都只有一

3、个因素，例1是“品系”，例2是“窝别”。在每个因素下，又有a个水平（或称为处理），例1有5个品系，例2有4个窝别。a个水平可以认为是a个总体，表中的数据是从a个总体中抽出的a个样本。方差分析的目的就是由这a个样本推断a个总体。因为上述实验都只有一个因素，对这样的数据所进行的方差分析称为“单因素方差分析”。单因素方差分析的典型数据见下表。XinX ij ，j 11Xi ni 1,2, ,aX1X2X3XiXa1X11X21X31Xi1Xa12X12X22X32Xi2Xa2311X13X23X33Xi3Xa3111X1jX2jX3jXijXaj1nX1nX2nX3nXinXan平均数X1.X2.X

4、3.Xi.Xa.表中的Xij表示第i次处理下的第j次观测值，下标中的”.”表示求和，具体说明如下an_1Xij,X-Xi1j1an可编辑范本8.1.2不同处理效应与不同模型线性统计模型：x iji ij模型中的Xj是在i水平下的第j次观测值i 1, 2, aj 1,2, nh是对所有观测值的一个参数，称为总平均数。a是仅对第i次处理的一个参数，称为第i次处理效应。耳是随机误差成分，要求误差是服从N（0,豆的独立随机变量。固定因素：因素的水平确定后，因素的效应即被确定。因素的a个水平是人为特意选择的。方差分析所得结论只适用于所选定的a个水平。固定效应模型：处理固定因素所使用的模型。随机因素：因素

5、的水平确定之后，其效应并不固定。因素的a个水平是从水平总体中随机抽取的。从随机因素的a个水平所得到的结论，可推广到该因素的所有水平上。随机效应模型：处理随机因素所使用的模型。8.2 固定效应模型8.2.1 线性统计模型1, 2, a1, 2, niY.xijiij其中a是处理平均数与总平均数的离差，因这些离差的正负值相当，因此如果不存在处理效应，各a都应当等于0,否则至少有一个a*00因此，零假设为:Ho：d=0=%=0备择假设为:Ha：aw0（至少有一个i）8.2.2 平方和与自由度的分解a nxiji 1 j 1a nxiji 1 j 12x一2xia nx xij i1 1 j 1可编辑

6、范本a n2 xij xii 1 j 1xi xxi xxii 1 j 1对于每个固定的X.,xiji 1 j 1Xii 1nx Xjj iXi因此，a nX ij i 1 j 1an Xii 1a n一2XXji 1 j 1一2Xi以SST表示总平方和，SSA表示处理平方和,SS表示误差平方和,SStXij i 1 j 1SSaa_2n Xi xSSei 1a nXij Xi i 1 j 1可编辑范本二者关系为：sst=ssa=ss自由度可做同样的分割：dfT=dfA+dfedfT=an1dfA=a1dfe=ana为了得出检验统计量，以处理平方和与误差平方和除以相应的自由度，得出相应的均方。

7、MS=SS/dfeMSA=SS/dfA。8.2.3 均方期望与统计量FMSe是（2的无偏估计量，证明如下:EMSeSSenanaESSe1anEXjnaai1j11naa1Enaa1naanana用同样的方法可以得出MSa的均方期望SSaSSaEMSaE-Aa1Xi3e3e因为E( )=0,故所有包含乘积项的数学期望都等于于是:E MSARE-2iaE-2由以上结果可以看出，误差均方 MSe是2的无偏估计量O对处理项来说,只有当=0时，MSa才是(2的无偏估计量。用MSa和MSe比较，便可以反映出a的大小。此，使用统计量F作为检验统计量，做上尾单侧检验。F=MSa/MSe,具dfA,dfe自由

8、度，当F<Fa时，接受零假设，处理平均数间不显著；当F>Fa时拒绝零假设，处理平均数间差异显著。在EMSa中，令则处理均方可表示为EMSa这时的零假设可以记为Ho：是0。备择假设记为Ha：小0变差来源平方和自由度F均方期望处理问SSa 1MSaMSa/ MSe(r+ n 2误差SSna aMSe2 (T总和SSna 1将上述结果列在方差分析表中a n 一2a n28.2.4平方和的简易计算SSTSSa令xij xi 1 j 1a -2n xi xi 12 xx iji 1 j 1na1 a2 x2 Xi 一n i 1 na2xnac称为校正项。误差平方和SSe=SSr-SK将例1中

9、的每个数据都减去65,编码后列成下表。IIIIIIIVV1一0.40.52.86.84.220.30.31.37.13.23-0.2一0.42.15.04.841.01.31.84.13.350.8-1.13.56.02.5总和xi.1.53.011.529.018.057.0xi22.259.00132.25841.00324.001308.50Ixij21.933.4029.43174.4668.06277.28品系129.965722CnaSSt2 x ij277.28 129.96 147.32SSa2xi1308.50 129.96131.74147.32 131.7415.58变差

10、来源平方和自由度均力F品系问131.74432.94*42.23误差15.58200.78总和147.3224SSeSSt将以上结果列成方差分析表:SSa*后0.01F4,20,0.05=2.87,F4,20,0.01=4.43F>F0.01。P<0.01因此，上述5个不同小麦品系株高差异极显著。习惯上以“*”表示在户0.05水平上差异显著，以“*”表示在a=0.01水平上差异显著。8.3 随机效应模型8.3.1线性统计模型xji1,2,aj1,2,n其中n为总平均数，a为服从N(0,/)的独立随机变量，导为服从N(0,(2)的独立随机变量。在随机模型中，不是检验单个处理效应的有无

11、, 因此而是检验a是否存在变异性。接受Ho表示处理间没有差异，拒绝Ho意味着处理间存在差异。8.3.2均方期望及统计量F在随机模型中, 同。M8的数学期望:因为 a是独立随机变量，因此MSa的数学期望与固定模型不E MSAE SSa_2xiX同理可证aV2i一2用检验统计量FMS做上尾单侧检验:F=MSa/M&。当F> Fa-1,an-a,a时拒绝Hoc MS的期望组成除包含误差方差外，还包含处理项方差，表明不同处理间存在差异。方差分析的程序与固定模型相同，但由于获得样本的方式不同，使之所得结果也不同。随机模型适用于水平总体，而固定模型仅适用于所选定的a个水平。以下是例2的计算结

12、果，将每一数据均减去30.4.73.22.92.93.3一4.0-6.71.43.8-1.42.2-4.31.62.3-3.3-2.0总和Xi.5.80.115.1-2.0-11.2Xi233.640.01228.014.00265.66端49.9833.4969.0332.86185.36CSStSSa2xan11.2167.84a n 2 Xij i 1 j 12XiC 185.36 7.84265.6647.84177.5258.575可编辑范本SSeSSTSSA177.5258.575118.945将上述结果列成方差分析表变差来源平方和自由度均力F窝问58.575319.5251.97

13、118.945129.912总和177.62015F3,12,0.05=3.49,F<Fo.05,P>0.05,接受H。结论是不同窝别动物出生重没有显著差8.4 多重比较8.4.1 最小显著差数法（LSD）平均数差数的显著性检验公式为:X1 X2X1 X2s X1 X2M MS11当n1 = n2时,tx1X2df an a2MSPe当差异显著时X1 X22MS eet 0.05X1 X2t0.052MS ee后边式子，大于号的右侧称为最小显著差数，记为LSD。8.4.2 Duncan检验检验程序:xa将需要比较的a个平均数依次排列好，使之:x1X2并将每一对平均数的差列成下表:1

14、XiXaXiXa '1X1X2X2Xax2Xa 1X2X33X1 X2XaXaXaXaRk r Sx , k 2,3, ,a 其中sxMS eeXa算出不同对平均数的差的临界值Rko当两个平均数相邻上式中的k是要比较的两个平均数之间所包含的平均数的个数时k=2,中间隔一个时k=3等。平均数共有a个，所以需从附表9中查出a1个r0,得至ija1个临界值Rko每两个平均数的差与相应的临界值比较，显著的打上一个星花“*”，极显著的打上两个星花下面对5个小麦品系株高平均数做duncan多重比较.首先将平均数按从高到低顺序排列好。品系号IVVIIIIII平均数70.868.667.365.364.4顺序号12345根据MSe=0.78,n=5,df=a(n1)=20,k=2,3,4,5将临界值列成表。k2345k2345S052.953.103.183.250.014.024.224.334.40Rk1.1651.2251.2561.284Rk1.5881.6671.71