安徽省亳州市2013届高三数学摸底考试试题理新人教A版

1、用心 爱心 专心 1 A. B. C. D. 4.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 K 的值是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5.样本中共右五个个体，其值分别为 a, 2, 3, 4, 5，若 该样本的平均值为 3,则样本方差为 B. 安徽省亳州市 2013 届高三摸底考试 数学（理）试题 本试卷分第 I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意事项： 1 答题前，务必在试题卷、答题卷规定填写自己的姓名、座位号. 2 答第 I卷时，每小题选出答案后， 用 0 5 毫米的黑色墨水签字笔把对应题目的答案写在 答题卷上的答题方格内

2、。 3答第n卷时，必须使用 0. 5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔 迹清晰，必须在题号所指示的答题方框内作答，超出答题方框书写的答案无效。 第 I卷（选择题共 50 分） 、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1 +2i 1 复数的 - 的共轭复数是 2 i 3i 5 B. C. i D. i 2 下列函数是奇函数，在区问（ 0, +8）上又是增函数的是 3 2 A. y=-2x B. y= C. y=x x 2 3 椭圆x2 =1 的离心率是 4 D. y=|x| 幵圮 用心 爱心 专心

3、 2 D. 2 6. 设 Rt ABC 的三边长分别为 a, b, c (ab 0)，其相邻两个最值点 2 的横坐标之差为 2 n . (1 )求 f (x)的单调递增区间； (2)在厶 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c 满足(2a-c ) cosB=bcosC,求函 f (A)的值域. 17. (本小题满分 12 分) 某中学在高三开设了 4 门选修课，每个学生必须且只需选修 1 门选修课。对于该年 级的甲、乙、丙 3 名学生，回答下面的问题： (1)求这 3 名学生选择的选修课互不相同的概率； (2 )某一选修课被这 3 名学生选修的人数的数学期望. 18. (本小题满

4、分 12 分) 如图，已知四棱锥 P-ABCD 底面 ABCD 为菱形，PA1 平面 ABCD / ABC=60 , E, F 分别是BC, PC 的中点. (1)证明：AE 丄 PD 用心 爱心 专心 5 19. (本小题满分 13 分) 1 2 1 数列an为正项等比数列，且满足印 一 a2 = 4, a； a2a6 ；设正项数列0的 2 4 b +1 前 n项和为 S，满足 2 (1)求an的通项公式; (2)设Cn二anbn，求数列Cn的前项的和. 20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f(x) =x2 m ln x. (1) 若函数 f (x)的图象在(2, f(2)处的切线斜

5、率为 3,求实数 m 的值; (2) 求函数 f (x)的单调区间； 2 (3) 若函数g(x) f(x)在1 , 2上是减函数，求实数 m 的取值范围. x 21. (本小题满分 13 分) 2 2 已知椭圆C :务占=1(a b 0)的离心率为 a b 的端点是 B1 , B ,且屜祖“ M (1 , 0),椭圆短轴 用心 爱心 专心 6 (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 设过点 M 且斜率不为 0 的直线交椭圆 C 于 A, B 两点.试问 x轴上是否存在定点 P, 使 PM平分/ APB 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由，用心 爱心 专心 7 参考答案 题号 1 2

6、3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A D C B A B C 、填空题 三、解答题 (2)T (2a -c)cosB 二 bcosC 二 2sin AcosBsinCcosB =sin BcosC 11. 2 12.1 13. 14. 6 15. 12 X2 (y -4)2 =25 16. (1) f(x) - 3sin xcos x cos f(x)的单调1 = 4 4 2 1 二 X sin(2 x ) 2 6 ,4k 二 2 si n AcosB = si n(B C) =s in A 1 兀 - f(A) =sin(A 6) 2 二 0 ： A : 1 cos B =

7、- 2 JI JI 用心 爱心 专心 8 所以的分布列为 0 1 2 3 P 27 27 9 1 64 64 64 64 (1) 数学期望EC =0 27 1旦 2 3 =-. 64 64 64 64 4 18. (1 )证明：由四边形 ABCD菱形，/ ABC60,可得 ABC为正三角形. 因为 E为BC的中点，所以 AE BC 又 BC/ AD 因此 AE! AD 因为PAL平面 ABCD AE二平面ABCD所以PAL AE 因为PAO ADA,所以 AE!平面PAD又 PD 平面PAD 所以 AE 丄 PD. (2)解：设 AB=2, H 为PD上任意一点，连接 AH EH 由(1 )知

8、 AE!平面PAD 则/ EHA为EH与平面PAD所成的角. 在 Rt EAH中, AE= .3 , 因此 AH=、一2 .又 AD=2 所以/ ADH4517.解:(1) 3 Pi 设某一选修课被这 3 名学生选择的人数为 023 p( =0)弓 27 64 C； IT 2 43 64, p( =3H-C|3 64 4 所以 当AH最短时，/ EHAt大, 即 当 AHI PD时，/ EHAt 大 此时 tan z EHAAE =虫 卫 AH AH 2， (第 18 题图) 用心 爱心 专心 9 所以 PA=2. 解法一：因为 PA!平面ABCD P卍平面PAC 所以 平面PACL平面ABC

9、D 过E作EOL AC于 O则EOL平面PAC 过O作OSL AF于S,连接ES则/ ESO为二面角E-AF-C的平面角, AE=( .3,0,0), AF =(込 丄,1). 2 2 设平面AEF的一法向量为 m = g, % ,乙）, L - 1 - 在 Rt AO冲,EO=AE- sin30 ，AGAE cos30 2 又 F 是 PC 的中点，在 Rt ASC中, SOAO- sin45 又 SEEO2 SO23冷二号, 32 在 Rt ESO中, cos / ESO= = =-15, SE V30 5 即所求二面角的余弦值为 解法二：由（1）知AE AD AP两两垂直，以 A 为坐标

10、原点，建 立如图所示的空间直角坐标系，又 E、F 分别为 BC PC 的中点， 所以 E、F 分别为 BC PC 的中点，所以 0), B (3 , -1 , 0) , C(C 1, 0), D( 0, 2, 0), P (0, 0, 2), E ( 73 , 0, 0), F (严,2,1 ), 2 2 所以 用心 爱心 专心 10 m，AE = 0 则丿 _ 、m，AF =0用心 爱心 专心 11 /3x = 0, 因此丿 73 1 +_ yr +Z| = 0. J 2 2 取 Zi =-1,则 m=(0,2,-1) 因为 BD丄 AC, BDL PA PAP AC=A 所以 BD 丄平面

11、AFC 故 BD为平面AFC的一法向量. 又 BD= (- .3,3,0 ), mBD 2 3 15 所以 cos v m BD = . |m|_|BD| 后辰 5 因为 二面角E-AF-C为锐角， Jl5 所以所求二面角的余弦值为 -一. 5 (1)设数列:an 的公比为q,由a2 -a2a6,得a2=a：所以q2 =4.由条件可 4 4 1 1 知 q 0,故 q =2.由 a a2 = 4,得 a aq = 4,所以 a = 2. 2 2 故数列 曲 的通项公式为：an =2n ； 2 2 船=(bn -bn2(bn 弋丄), (b；-b)-2(bn bnJ=0, (bn 弋丄 -2)(

12、0 Q=0, :bn 0, bn bn 丄 0, 19.解: b +1 I (2)又由右 Sn得：Sn (bn 1)2 4 2 (bn +1) 4 2 (bn/1) 用心 爱心 专心 12 bn -bn1 _2 =0,即 bn -bn2,用心 爱心 专心 13 .数列:bn 为等差数列，且公差 d =2, 又 b1 ， 4 .bl =1,. bn =1 2(n -1) =2n -1. 由 Cn =anbn,得 Cn = (2n 1) 2“, Tn 予 C2 |(Cn 1 2 n =(2 1-1)2 (2 2 -1)2 |( (2n -1)2 , 2Tn =(2 1 -1) 22 (2 2 -1

13、) 23 |( (2n -1) 2n 1 -得：-Tn =2(22 2|)1 2n)-(2n-1) 2n 1 2 2(2n-1) n -1 =2 (2n-1) 2 2 21 =2n 1 _4 _(2n _1) 2n 1 2 二-2(n -1) 2n 1 -2. n _1 .Tn =2( n -1) 2 2. 20. (本小题满分 13 分) 心,、 m 2x2+m 解：(1)f (x2x x x 由已知f(2) =3，解得m - -2. (2)函数f (x)的定义域为(0,：) 当m_0时，f (x) 0，f (x)的单调递增区间为(0,七)； 2(x Z(x 2 x 当x变化时，f (x),

14、 f (x)的变化情况如下:当 m ： 0时 f -2m) 2 丿 2( x -m 2 用心 爱心 专心 14 x (0,学 J-2m ,J2m 、 ( - - ,+=c) 2 f(x) - 0 + f(x) 极小值 Z 由上表可知，函数 f(x)的单调递减区间是(0, )； 2 (3 )由 g(x)二2 x2 ml nx 得 g(x) = 2x m , x x x 由已知函数g(x)为1,2上的单调减函数， 则g(x)乞0在1,2上恒成立, 即- 2x m 0在1,2上恒成立. x x 2 2 即m 2x2在1,2上恒成立. x 2 2 2 1 令 h(x) 2x，在1,2上 h (x) 2

15、 - 4x - -2(- 2x) ： 0， x x x 所以 h(x)在1,2为减函数.h(x) min = h(2) 一7 , 所以m _ -7 21. (本小题满分 13 分) 3 2 (1)解：由 e 4 所以 b =1, a = 2. 2 所以椭圆C的方程是y2 =1. 4 (2)解：设 AX, yj , B(X2, y2), 直线AB的方程为x = my +1. 2 ,2 a -b 2 a 所以 MB1B2是等腰直角三角形, 单调递增区间是 用心 爱心 专心 15 将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，用心 爱心 专心 16 2 2 消去 x得(m 4)y 2my_3=0. 所以 k PA k PB = 0. 设 P(a,0)，则有-yl y2 0. Xi a X2 a 将论=m% 1 , x