人教版数学八年级上册课件-多边形的内角和

多边形及其内角和11.3.2多边形的内角和人教版八年级数学上册多边形及其内角和11.3.2多边形的内角和人教版八年级数学上册数学人教版八年级上册【思考】你知道正六边形的内角和是多少吗？导入新知1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式.2.能运用多边形的内角和公式与外角和公式解决问题.素养目标你知道长方形和正方形的内角和是多少度？

三角形内角和是多少度？三角形内角和是180°.都是360°.猜想任意四边形的内角和是多少度？

多边形的内角和探究新知知识点1问题1：问题2：问题3：猜想：四边形ABCD的内角和是360°.你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？解法一：如图，连接AC，所以四边形被分为两个三角形，所以四边形ABCD内角和为180°×2=360°.ABCD探究新知猜想与证明问题4：解法二：如图，在BC边上任取一点E，连接AE，DE，所以该四边形被分成三个三角形，所以四边形ABCD的内角和为

180°×3–(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3–180°=360°.ABCDE探究新知解法三：如图，在四边形ABCD内部取一点E，连接AE，BE，CE，DE，把四边形分成四个三角形：△ABE，△ADE，△CDE，△CBE.所以四边形ABCD内角和为：180°×4–(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)=180°×4–360°=360°.ABCDE探究新知ABCDP解法四：如图，在四边形外任取一点P，连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.所以四边形ABCD内角和为180°×3–180°=360°.这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.结论：

四边形的内角和为360°.探究新知例1

如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.解：如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.∠A+∠B+∠C+∠D=(4–2)×180°=360°，因为∠B＋∠D=360°–（∠A＋∠C）=360°–

180°=180°.所以ABCD如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.素养考点1运用四边形内角和定理进行证明或计算探究新知如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．巩固练习解：连接BE.∵∠DOB＝∠C＋∠D，∠DOB＝∠CBE＋∠DEB，∴∠C＋∠D＝∠CBE＋∠DEB，∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＝∠A＋∠ABC＋∠CBE＋∠DEB＋∠DEF＋∠F＝∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F.∵在四边形ABEF中，∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F＝(4–2)×180°＝360°，∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＝360°.ACDEBABCDEF你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和吗?内角和为180°×3=540°.内角和为180°×4=720°.探究新知问题5：n边形六边形五边形四边形三角形多边形内角和分割出三角形的个数从多边形的一顶点引出的对角线条数图形边数······0n–31231234n–2（n–2）·180º1×180º=180º2×180º=360º

3×180º=540º4×180º=720º························由特殊到一般

探究新知分割多边形三角形分割点与多边形的位置关系顶点边上内部外部转化思想多边形的内角和公式n边形内角和等于(n–2)×180°.注意：①n边形的内角和随边数的增加而增加，每增加一条边其内角和增加180°.②多边形的内角和是180°的整倍数.探究新知

归纳总结例2一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？解：设这个多边形边数为n，则

（n–2）•180=360+720，解得n=8，∵这个多边形的每个内角都相等，

（8–2）×180°=1080°，∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．素养考点2利用多边形内角和公式求角度或边数探究新知

根据多边形的内角和完成下列题目.(1)一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是(

)A．4条B．5条C．6条D．7条(2)若一个多边形的边数为8条，则这个多边形的内角和是(

)A．900°B．540°C．1080°D．360°(3)若一个多边形增加一条边，那么它的内角和(

)A．增加180°B．增加360°C．减少360°D．不变CCA巩固练习例3已知n边形的内角和θ=（n–2）×180°．（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；解：∵360°÷180°=2，

630°÷180°=3......90°，∴甲的说法对，乙的说法不对，

360°÷180°+2=4．故甲同学说的边数n是4；探究新知（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．解：依题意有（n+x–2）×180°–（n–2）×180°=360°，解得x=2．故x的值是2．探究新知如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数．分析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C，∠D，∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数，再根据角平分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和，进一步求得∠P的度数．巩固练习解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，∴∠EAB+∠ABC=540°–∠C–∠D–∠E=230°.∵AP平分∠EAB，∴∠PAB＝∠EAB，同理可得∠ABP＝∠ABC，∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，∴∠P=180°–∠PAB–∠PBA=180°−(∠EAB+∠ABC)=180°−×230°=65°．巩固练习241324132413241324132413241324132413241324132413用形状、大小完全相同的任意四边形可拼成一块无空隙的地板，你知道这是为什么吗？

探究新知多边形的外角和如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？EBCD123

45A互补5×180°=900°知识点2探究新知EBCD123

45A五边形外角和=360°=5个平角–五边形内角和=5×180°–(5–2)×180°结论：五边形的外角和等于360°.这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？探究新知在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n边形外角和n边形的外角和等于360°.–(n–2)×180°=360°=n个平角–n边形内角和=n×180°AnA2A3A4123

4nA1【思考】n边形的外角和又是多少呢？与边数无关探究新知回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？每个内角的度数是每个外角的度数是练一练：(1)若一个正多边形的内角是120°，那么这是正____边形.(2)已知多边形的每个外角都是45°，则这个多边形是______边形.六正八探究新知例1

已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.解：设多边形的边数为n.∵它的内角和等于(n–2)•180°，多边形外角和等于360°，∴(n–2)•180°=2×360º.解得

n=6.∴这个多边形的边数为6.素养考点3多边形的内角和公式和外角和公式的综合应用探究新知例2

已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.解法一：设这个多边形的内角为7x°，外角为2x°，根据题意得7x+2x=180，解得x=20.即每个内角是140°，每个外角是40°.360°÷40°=9.答：这个多边形是九边形.还有其他解法吗？探究新知解法二：设这个多边形的边数为n

，根据题意得解得n=9.答：这个多边形是九边形.探究新知

如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求∠BED的度数．解：由题意得AB=AE，所以∠AEB=(180°–∠A)=36°，所以∠BED=∠AED–∠AEB=108°–36°=72°.巩固练习1.已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（）A．6

B．7

C．8

D．9解析：正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9．D链接中考2.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是_____．解析：设多边形的边数为n，根据题意，得

（n–2）•180=3×360，解得n=8．则这个多边形的边数是8．8链接中考1.判断．(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.（）(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.（）(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等.（）2.一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是

．基础巩固题10课堂检测3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是________米．150课堂检测4.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（）A.360°B.540°C.720°D.900°B课堂检测一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.

能力提升题课堂检测如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.解：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°.89拓广探索题课堂检测多边形的内角和内角和计算公式(n–2)×180°(n≥3的整数）①边数增加1，内角和增加180°；②内角和是180°的整倍数.外角和多边形的外角和等于360°特别注意：与边数无关.正多边形内角=，外角=课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习相关知识内容延伸学习，授课时可参考。以下是针对人教版数学八年级上册"多边形的内角和"的完整教案设计：#《多边形的内角和》教案**课程名称**：多边形的内角和**教材版本**：人教版数学八年级上册**授课时长**：45分钟**授课对象**：八年级学生##一、教学目标###知识与技能1.理解多边形内角和公式的推导过程。2.掌握多边形内角和公式：$(n-2)\times180^\circ$（$n\geq3$且$n$为整数）。3.能运用公式解决简单的多边形角度计算问题。###过程与方法1.通过类比三角形内角和，经历探索多边形内角和公式的过程，体会化归思想。2.通过动手操作（分割多边形为三角形）培养观察、分析和逻辑推理能力。###情感态度与价值观1.通过自主探究和小组合作，培养勇于探索的学习精神。2.感受数学与实际生活的联系，体会数学的应用价值。##二、教学重难点###重点1.多边形内角和公式的推导与应用。2.理解多边形边数与内角和的关系。###难点1.如何引导学生通过分割多边形的方法推导内角和公式。2.灵活运用公式解决复杂几何问题。##三、教学方法讲授法、探究法、小组合作法、多媒体辅助教学法。##四、教学过程###（一）导入新课（5分钟）1.**情境引入**展示生活中的多边形图片（如蜂巢、地砖、足球表面），提问：

-这些图形有什么共同特点？

-三角形的内角和是多少？四边形的内角和呢？五边形呢？2.**引发思考**直接给出四边形内角和为$360^\circ$，引导学生思考：

-如何验证四边形内角和？

-多边形边数增加时，内角和如何变化？###（二）新课讲授（20分钟）1.**多边形定义与相关概念**

-回顾三角形定义，类比得出多边形定义。

-强调多边形的边、顶点、内角、对角线等概念。

-举例说明凸多边形与凹多边形的区别（结合图形）。2.**探索四边形内角和**

-**方法1：测量法**让学生用量角器测量四边形四个内角并求和，发现结果接近$360^\circ$。

-**方法2：分割法**引导学生将四边形分割为三角形（连接对角线），得出：

$$\text{四边形内角和}=2\times180^\circ=360^\circ$$3.**类比推导多边形内角和公式**

-**五边形**：让学生动手画五边形并尝试分割为三角形，发现可分割成3个三角形，内角和为：

$$3\times180^\circ=540^\circ$$-**六边形**：同理，六边形可分割成4个三角形，内角和为：

$$4\times180^\circ=720^\circ$$-**n边形**：通过表格归纳规律：

|多边形边数|分割三角形个数|内角和||------------|----------------|-----------------||3|1|$180^\circ$||4|2|$2\times180^\circ$||5|3|$3\times180^\circ$||$\vdots$|$\vdots$|$\vdots$||n|$n-2$|$(n-2)\times180^\circ$|-**总结公式**：多边形内角和公式为：

$$(n-2)\times180^\circ\quad(n\geq3\text{且}n\text{为整数})$$4.**公式推导的其他方法**（选讲）

-**从一个顶点出发作对角线**：分割出$(n-2)$个三角形。

-**在多边形内部任取一点**：分割出$n$个三角形，再减去中心周角$360^\circ$。###（三）例题讲解（15分钟）**例1**：求八边形的内角和。**解**：代入公式$(n-2)\times180^\circ$，得：$$(8-2)\times180^\circ=1080^\circ$$**例2**：已知一个多边形内角和为$1440^\circ$，求它的边数。**解**：设边数为$n$，则：$$(n-2)\times180^\circ=1440^\circ\impliesn-2=8\impliesn=10$$**例3**：一个多边形的每个内角都相等，且为$150^\circ$，求边数。**