电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤-曹伟)第3章习题解答.

1、第 3 章习题解答3.1对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度：(1)x, y, zAx2BxC ；(2)x, y, z Axyz ；(3), , zA 2 sinBz ；(4)r ,Ar 2 sin cos 。解： 已知空间的电位分布，由E和2/ 0 可以分别计算出电场强度和体电荷密度。(1)Eex2AxB022A 0(2)EA ex yzey xz ezxy020Ee(2Asin)e Acosez B(3)24 AsinBzAsin3 AsinBz000(4)Eer2Ar sin cos e Ar coscose Ar sin26A sincosAcos2cosA cos

2、00sinsin3.5如题 3.5 图所示上下不对称的鼓形封闭曲面，其上均匀分布着密度为S0 的面电荷。试求球心处的电位。解： 上顶面在球心产生的电位为1S 0 ( d12R12d1)S0 (R d1 )202 0下顶面在球心产生的电位为2S 0 ( d22R22d2 )S0 ( R d2 )2 020侧面在球心产生的电位为31S0S 0S4 0SR4 0 R式中 S 4R22R( Rd1 )2R( Rd2 ) 2R(d1d2 ) 。因此球心总电位为123S0R03.6 有2 0 和5 0 的 两 种 介 质 分 别 分 布 在 z0 和 z0 的 半 无 限 大 空 间 。 已 知 z0 时

3、 ，Eex 20 ey10ez 50V / m 。试求 z0时的 D。解： 由电场切向分量连续的边界条件可得E1tE2tz 0 D x 5 020 D y5 010代入电场法向方向分量满足的边界条件可得D1nD 2nz 0D z50于是有z0Dex100 0ey50 0ez503.9 如题 3.9图所示，有一厚度为2d 的无限大平面层，其中充满了密度为xcos0x 的体电荷。若选择坐标原点为零电位参考点，试求平面层d之内以及平面层以外各区域的电位和电场强度。解： 由对称性可知0，即2222d 22 。设各yzx2y22dxz区域中的电位和电场强度分别为1 ，2 ，3 和 E1 ， E2 ， E

4、3 。由电位所满足的微分方程d20 cosd20d201xdx223dx2ddx2解得d 10d sinxC1d2C2d3C3dxddxdx0 d 2xC1 xD1C2 xD2C3 xD312cos23d由于理想介质分界面没有面电荷，所以边界条件为时d1d212dx0dxxd 时13d10d 3dxdx又根据对称性可知，在x0的平面上，电场强度是为零的，即x0 时，d 10 。最后再选择零电位参考点dx使得 x0时，100。联立解得C1C2C30D10d 2D2D320d 222 。只要利用 Eexd就可以得到dxx d 时，d x d 时x d 时，20 d 2E3d3032exdx0 d2

5、cosd2exd 1ex0d sinx12x02E1ddxd20 d 2d2022E2 exdx选择不同的零电位参考点，得到的电位不同，但电场强度仍是相同的。根据对称性只需求出x 0 的解，即1 和23 。3.10位于 x 0 和 xd 处的两个无限大导电平面间充满了0 1x d的体电荷。若将x0 处的导电平板接地，而将 xd 处的导电平板加上电压U 0 。试求板间的电位分布及电场强度为零的位置。解： 由于无限大导体极板之间电荷分布是只与x 有关，忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与x 有关，且满足一维泊松方程d20 (1x )dx20d其通解为(x)60 x30 x2C1x C20d2 0由

6、(0)0C 2 0而由( d )U 0C1U 020 dd3 0因此板间电位分布为(x)0x30x2U 02 0 dx6 0 d2 0d3 0板间电场强度为Eex0 x20 x (U 02 0d )2 0d0d3 0从该式可以求出电场强度为零的位置为2U20 d00400bb24ac2()2U 02 0 d002 0dd3 0d0(x2ad 10dd)03 00d由于我们是讨论极板内电场强度，因此零点位置为xdd12 0U 02 0 d0 d()d3 03.11如题 3.11 图所示的平板电容器中，分别以两种不同的方式填充两种不同的介质1 和 2 。当两极板之间外加电压 U 0 时，试求电容器

7、中电位和电场的分布以及电容器的电容。解：对于图 a：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与x 有关，均满足一维拉普拉斯方程。且由介质分界面的边界条件可知，两种介质中的电位分布是相同的，其通解为CxD根据已知条件0和U0 ，解得 D0和x 0x2dUC 0 ，即平板电容器中的电位分布为2dU 0 x2d根据 E，可以得到平板电容器中的电场分布为EexdexU 0dx2d对 x0 平板上 enex ，面电荷密度分别为1U 0yS上SenDenE2dU 02yS下2d总电量为Q1U 0 S2U 0 S12S U02d2d2d电容器的电容为CQSU 012 2d对于图 b：忽略边缘效应，可以认为电位分布

8、也只与 x 有关，均满足一维拉普拉斯方程。两种介质中的电位分布的通解可以分别设为1C1x D1和2C2 x D2根据已知条件1 x 00 和2 x 2 dU 0 ，以及分界面处的边界条件1 x d2x d 和12可xx dx x d以解得2U 0x和2U 0 xdU 01d2d1212根据 E，可以得到平板电容器中两种介质中的电场分布为d 12U 0和d21U 0E11ex dxex2 dE22ex dxex2 d11对 x 0 平板上 enex ，面电荷密度为Sen Den1Eex12U 0d12总电量为QS 2S122SU012d电容器的电容为CQ122SU 0d123.12 已知在半径为

9、a 的无限长圆柱形体内均匀分布着电荷密度为0 的体电荷。圆柱体内外的介电常数分别为和 0 。若取圆柱体的表面为零电位的参考面，试利用直接积分法求出圆柱体内外的电位和电场强度。解： 取定圆柱坐标系，使z 轴与圆柱体的中心轴线相重合，由电位和电场的对称性可知与和 z 无关。圆柱体内外的电位1 和2 分别满足1 dd 10和1 dd20dddd0它们的通解可以分别表示式为102C1 lnD1和2C2 lnD24由轴线上的电位应为有限值可得C10 。而由圆柱体的表面电位为零可得0 a2D10 和 C2 ln a D 204即D10 a2和 D 2C2 ln a4于是有102a2和2C2 ln4a代入圆

10、柱体表面电位的法向导数的边界条件12得到0 aC2，即C20a200。r r ar r a2a2 0最后得到圆柱体内外的电位分别为10 a22和20 a2 ln42 0a而圆柱体内外的电场强度分别为E11e d 1e0和E22e d 2e0 a2d2 0d2 03.13 如题 3.13 图所示，半径为a 的无限长导体圆柱，单位长度的带电量为l 。其一半埋于介电常数为的介质中， 一半露在空气中。 试求各处的电位和电场强度。解： 根据题意，空间中电位分布与和 z 无关，均满足一维的拉普拉斯方程，即21221dd10介质中ddr1dd20空气中drd将上述两方程分别直接积分两次，得出通解为1C1 l

11、nD1和2C2 lnD2根据不同介质分界面电位的连续性可知C1C2C和D1D2 D，即12C lnD若设无限长导体圆柱上电位为0，也即(a)0，可得 DC ln a ，即C lna导体圆柱的面电荷密度为C介质中S0C空气中单位长度导体圆柱的电量为lC a0C a即Cl()0于是得到导体圆柱外的电位和电场强度分别为l( 0ln a和 Eel)( 0)3.14如题 3.14 图所示同轴电容器，其中部分填充了介质，其余是空气。当外加电压 U 0 时，试求电容器中的电位和电场强度的分布以及单位长度的电容。解： 根据题意，空间中电位分布与和 z 无关，均满足一维的拉普拉斯方程，即21221dd10介质中

12、ddr1dd20空气中drd将上述两方程分别直接积分两次，得出通解为1C1 lnD1和2C2 lnD2根据不同介质分界面电位的连续性可知C1C2C和D1D2D ，即12C lnD由a0 和b U 0 可得到DC ln a 和 U 0 C ln b D可以解得C U 0 / ln b和DU 0ln a / ln baa因此电容器内电位和电场强度的分布分别为U 0 lndU 01a和Ebedelnbalna利用Sen D 可以计算出电容器内面电荷密度分布为S0U 01和SU 01bbbblnlnaa那么单位长度总电荷为Q(2 ) 0U 0 1U 01U 010 2bbbbbblnlnalnaa因此

13、单位长度的电容为CQ112U 0bb0lna3.15 在介电常数为的无限大介质中，均匀分布体密度为0 的电荷。若在该介质中挖了一个半径为R0 的球形空腔（腔中的介电常数可视为0 ）。利用直接积分法求出各处的电位分布和电场强度 E 。（以球面为零电位参考点）解： 根据场的对称性可知0，即21dr 2 d。设球形空腔内外的电位分别为1 和2 。r 2drdr解 1 dr 2 d 10 和 1 dr 2 d 20 得r 2drdrr 2 drdr1C1D1和20 r 2C2D2r6r考虑到 r0 时，场应是有界的， 即 C10 。再利用边界连续条件rR0时， 12 ， 0d 1d2 以drdr及给定

14、的零电位参考点，即 rR0 时，120 ，联立解得C1D10, C20 R03和 D20 R0232由此可得10 ，20r 20 R030 R0263 r2d 20 r0 R03E110，E22er drer33 r 23.16顶端夹角为2 0 的带电导体圆锥垂直于无限大的接地导体平面，但两者之间有一缝隙。当圆锥所加电压为U 0 时，试求圆锥体与导体平面之间的电位分布及电场强度。解： 由于圆锥体与导体平面之间的电位分布均仅为坐标的函数，满足一维的拉普拉斯方程1sin0r 2 sin即sin0将上述方程分别直接积分两次，得出通解为C lntanD2利用边界条件0 U0和/2 0 解得U 0和 D

15、 0Cln tan02由此可得圆锥体与导体平面之间的电位和电场强度的分布分别为U 0ln tan和 Ee 1eU 01ln tan02rlntan 0r sin223.17 如题 3.17 图所示，由两块形状相同的不相连矩形导体槽构成的无限长的矩形管， 内填空气， 但两者之间有一缝隙。 当外加电压 U 0 时，利用直角坐标系分离变量法求出矩形管内的电位分布。解： 定解问题为20 ，0 ，U0以及y 0y bU 0d / 2 y d和U 0d / 2 y dx 00 0 y d / 2x a0 0 y d / 2设012U 0 y12 ，其中1 和2 的满足的定解问题分别为bU 0U 0 yb

16、/ 2y b20 ，0 ，0，1 x 00 和 1 x ab11 y 01 y bU 0 y0 yb / 2bU 0U 0 yb / 2y b20 ，0 ，0 和2 x 0b2 0 ，2 y 02 y b2 x aU 0 y0 yb / 2b由定解问题的边界条件1 y 00 和1 y b0 很容易得到B11A1 sinh nxcosh n xsin n yn 1bbb由1 x 00，则 A20 ，因此上式变成1 An sinh nx sin nyn1bbU 0U 0 yb / 2yb代入边界条件1 x ab，则得到U 0 y0 yb / 2bnanyU 0U 0y b / 2y bsinbAn

17、 sinhbU 0n 1by0 yb / 2b利用正弦函数的正交性可以得到An sinhna2b /2U 0U 0ysinnydybU 0ny0b /2y sindybbbbbbAn2U 0n /2积分得到1sinh nanb由定解问题20，0 ，0 ，0 可知22 y02 yb2xaaxn2Cn sinhbsin nyn1bU 0U 0y b / 2y b代入边界条件2 xb，则得到0U 0 y0yb / 2bCn2U 0n /2nsinh na1b最后得到电位分布为y2U01nxnasinhnxnybn /2U 0d n 2,4,6,ncoshb1coshbsinhna sinbb3.18

18、 求题 3.18图所示矩形空间区域内的电位分布，已知边界条件为：（ 1）1U 0 ，2340 ；（ 2）2U 0 ，10 ，340；n（3） 3U 0 sin3ycosy40b，12；b（ 4）2E0，140 ，30。yn解：（ 1）根据给定的边界条件可以将通解直接选为x, yC1 sinh ky xC2 coshky xD1 sin ky y D2 cosky y由边界条件240 可以得到D20和kynn 1,2,3,b即x, yD1 sin n yC1 sinh n xC2 cosh n xbbb为了求解方便可以将上式改写为x, yD1sin nyn axC2n a xC1 sinhcos

19、hbbb如此一来，由边界条件30 可以直接得到 C2 0，于是有x, ynaxEn sin ny sinhbb式中， EnC1D1 。将上式对 n 求和，可将此边值问题的解写成En sin ny sinhnaxbn1,2,3,b最后，将边界条件1U 0代入上式，得U 0En sin n y sinh nan 1,2,3,bb利用三角函数的正交性可以得到En2U 0b0b sinh n ab4U 0n1,3,5,nasin n y dynsinhbb0n2,4,6,最后得到电位分布为4U 0nyn a xn 1,3,5, n sinhna sinbsinhbb（ 2）根据给定的边界条件可以将通解

20、直接选为x, yC1 sin kx xC2 coskx xD1 sinh kx yD2 coshkx y由边界条件10 和30可以得到nx, yn 1,2,3,C2 cosn x D1 sinh n yD2 cosh n y2a2a2a由边界条件40 可以得到x, yEn cos nx sinh nyn1,2,3,2a2a式中， EnC1D1 。将上式对 n 求和，可将此边值问题的解写成x, yEn cosnx sinh nyn 1,2,3,2a2a最后，将边界条件2U 0代入上式，得U 0En cos n x sinh n yn 1,2,3,2a2a利用三角函数的正交性可以得到En2U 0a

21、nb0b sinh2an14U 01 2n1,3,5,sinh nsinnxbdxna2a0n2,4,6,最后得到电位分布为n14U 0cos nx sinh ny1 2n 1,3,5, sinhn b2a2an2a（ 3）根据给定的边界条件可以将通解直接选为x, yC1 sinh ky xC2 coshky x D1 sin ky y D2 cosky y由边界条件240 可以得到x, yD1n 1,2,3,sin ny C1 sinh n xC2 cosh n xbbb由边界条件10 可以得到x, ynsinhnxnyn1,2,3,Esinbb式中， EnC1D1 。将上式对 n 求和，可

22、将此边值问题的解写成x, yEn sinh nx sin nyn1,2,3,bb最后，将边界条件3U 0sin 3y cos yU 0sin 2ysin 4y代入上式，得bb2bbU 0sin 2ysin 4yEn sinh nx sin ny2bbn 1,2,3,bb比较系数可以得到E2U 01和 E4U 012sinh 2a2sinh 4abb其余的系数均为零。最后得到电位分布为U 0sinh 4x sin 4ysinh 2x sin 2ybbbb24a2asinhsinhbb（ 4）根据给定的边界条件可以将通解直接选为由边界条件由边界条件x, yC1 sin kx xC2 coskx x D1 sinh kx yD2 coshkx y1 0 和30可以得到nx, yn 1,2,3,C1 sin n x D1 sinh n yD2 cosh n y2a2a2a4 0 可以得到nnxnyn 1,2,3,x, y E sinsinh2a2a式中， EnC1D1 。将上式对 n 求和，可将