点差法整理版.

1、“点差法”巧解椭圆中点弦题型一、重要结论及证明过程在椭圆 x2y21（ a b 0）中，若直线 l 与椭圆相交于M 、 N 两点，点 P( x0 , y0 ) 是弦 MN 的中a2b2点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 k MN ，则 kMNy0b2.x0a222x1y11,(1)a 2b2证明：设 M 、 N 两点的坐标分别为( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ，则有x22y221.(2)a 2b 2(1)x12x2 2y12y2 2y2y1y2y1b 2(2) ，得a2b 20.x2x1x2x1a2 .y2y1 , y1y22 yy2又kMN.kMNyb 2 .x2x1

2、 x1x22x xxax2y2a(,)同理可证，在椭圆1（ b 0）中，若直线 l 与椭圆相交于M 、N 两点，点P x0y0b2a 2是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 k MN ，则 k MNy0a2.x0b2二、典型例题1 、设椭圆方程为x2y 21，过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点A 、 B， O 为坐标原点，点P 满足4OP11,1(OA OB) ，点 N 的坐标为2.当 l 绕点 M 旋转时，求：22（ 1）动点 P 的轨迹方程；（ 2） | NP |的最大值和最小值 .22 、在直角坐标系xOy 中，经过点 (0,2 ) 且斜率为 k 的直线 l 与椭

3、圆 xy 21 有两个不同的交点P2和 Q. （ 1）求 k 的取值范围；（ 2）设椭圆与x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k ，使得向量 OPOQ与 AB 共线？如果存在，求k 的取值范围；如果不存在，请说明理由.x2y21（ a b 0）的左、右焦点分别为F1 、 F2 ，离心率 e2 ，右准线方程为3、已知椭圆2b 2a2x2 .( ) 求椭圆的标准方程；( ) 过点 F1 的直线 l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且 | F2MF2N | 2 26 ，求直线 l 的方程 .34 、已知椭圆 C : x2y 21（ a b 0）的离心率为3 ，过右焦点F 的直线

4、 l 与 C 相交于 A 、 Ba2b23两点 . 当 l 的斜率为 1 时，坐标原点O 到 l 的距离为2 .（ 1）求 a, b 的值；22）C上是否存在点P绕F转到某一位置时，有OP OAOB成立？若存在，求出所有点（，使得当 lP 的坐标与 l 的方程；若不存在，说明理由.225. 椭圆 C 的中心在原点， 并以双曲线yx1的焦点为焦点， 以抛物线 x 26 6 y 的准线为其中42一条准线 .（ 1）求椭圆C 的方程；（ 2）设直线 l : ykx2(k 0) 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点，使 A、 B 两点关于直线l ' : y mx1(m0) 对称，求 k 的值 .

5、“点差法”巧解双曲线中点弦题型二、重要结论及证明过程在双曲线 x2y21（a 0， b 0）中，若直线 l 与双曲线相交于M 、N 两点，点a2b2P( x0 , y0 ) 是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 kMN ，则 kMNy0b 2x0a 2 .证明过程和椭圆证法相同（略）同理可证，在双曲线y 2x21（a 0， b 0）中，若直线 l 与双曲线相交于M、N 两点，点a 2b 2P( x0 , y0 ) 是弦 MN 的中点，弦MN 所在的直线 l 的斜率为 kMN ，则 kMNy0a 2x0b2 .二、典型例题1. 已知双曲线 x 2y 21，过点 P(1 ,3)

6、作直线 l 交双曲线于 A 、B 两点 .322（）求弦AB的中点M的轨迹;（ ）若点P恰好是弦AB的中点，求直线l 的方程和弦AB的长.1222.设 A 、 B 是双曲线x2y1 上两点，点N (1,2) 是线段 AB 的中点 .2（ 1）求直线 AB 的方程；（ 2）如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于 C、D 两点，那么 A、 B、C 、D 四点是否共圆，为什么？223、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆xy1的焦点为焦点，以抛物线y 22 3x 的准线为右2513准线 .（ 1）求双曲线C 的方程；（ 2）设直线 l : y kx3(k 0) 与双曲线 C 相交于 A、 B 两点，

7、使 A、 B 两点关于直线l ' : y mx 6(m0) 对称，求 k 的值 .“点差法”巧解抛物线中点弦题型三、重要结论及证明过程（略）在抛物线 y 22mx(m 0)中，若直线 l 与抛物线相交于M 、 N 两点，点 P( x0 , y0 ) 是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 k MN ，则 kMN y0m.同理可证，在抛物线x22my m0) 中，若直线 l 与抛物线相交于M 、N 两点，点P( x0, y0 )是弦(MN 的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 kMN ，则1m .x0k MN注意：能用这个公式的条件：（ 1）直线与抛物线有两个不同的交点；（ 2）直线的斜率存在，且不等于零 .二、典型例题1、设 A( x1 , y1 ), B( x2, y2 ) 两点在抛物线y 2x2 上， l 是 AB 的垂直平分线 .（）当且仅当x1 x2取何值时，直线 l经过抛物线的焦点 F？证明你的结论 .（）当 x11, x23时，求直线 l 的方程 .（理）当直线 l 的斜率为 2 时，求 l 在 y 轴上的截距的取值范围 .2.已知抛物线 C：y的垂线交