离散型随机变量的分布列和数学期望

1、.二项分布【知识点】1. n 次独立重复试验：在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立2. n 次独立重复试验的概率 ：一般地，事件 A 在 n次试验中发生 k 次，其有 Cnk种情形，由试验的独立性知A 在 k 次试验中发生， 而在其余 nk 次试验中不发生的概率都是p k (1p)n k ，所以由概率加法公式知，如果在一次试验中事件A 发生的概率是p ，那么在 n 次独立重复试验中， 事件 A 恰好发生 k次的概率为 P (k ) C kpk (1 p) n k (k0,1,2,.n).nn3.二项分布 :在上公式中，若将事件A 发生的次数设为X ，事件 A 不发生的概率

2、为 q 1p ，那么在 n次独立重复试验中，事件A 恰好发生 k 次的概率是 P(Xk) Cnk pk q n k .其中k0,1,2,.n.于是得到X 的分布列X01.k.nPCn0 p0qnC n1 p1q n 1.Cnk pk q n k.Cnn pn q0各对应项的值 ,所以称这样的离散型随机变量X 服从参数为 n, p 的二项分布 ,记作X B(n, p).4.离散型随机变量X 的数学期望一般地 ,设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是x1, x2 ,., xn , 这些对应的概率是p1 , p2 ,., pn , ,则 E( X )x1 p1x2 p2.xn pn 叫做这个 离散

3、型随机变量X 的均值 或数学期望 .5.二项分布的数学期望: E( x)np【经典例题】.【例 1】在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200 个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于 500 天的灯泡是优等品，寿命小于300 天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.寿命（天）频数频率100, 200)200.10200,300)30a300,400)700.35400,500)b0.15500,600)500.25合计2001（）根据频率分布表中的数据，写出a， b 的值；（）某人从灯泡样品中随机地购买了n(nN )

4、个，如果这个灯泡的等级情况恰好与按三 个等级分层抽样 所得的结果相同，求n 的最小值；（）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3 个进行使用， 若以上述频率作为概率， 用 X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X 的分布列和数学期望 .1、【答案】（）解： a0.15 ， b30 .（）解：由表可知：灯泡样品中优等品有50 个，正品有 100个，次品有50 个，所以优等品、正品和次品的比例为50:100:501: 2:1 .所以按分层抽样法，购买灯泡数nk2kk4k(kN ) ，所以 n 的最小值为 4 （）解： X 的所有取值为 0,1,2,3 .由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为

5、5 ，从本批次灯泡中购买3个，可看成 3 次独立重复试验，所以 P(X0)C30(11)327，464P( X 1) C131 (1 1)227 ，4464P( X 2) C32 (1)2(1 1)19 ，4464P( X 3) C33(1)31.464所以随机变量X 的分布列为：X0123P27279164646464所以 X 的数学期望 E( X )027127293136464646441 ，乙每次投中的【例 2】甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为3.概率为1 ，每人分别进行三次投篮2E ；（）记甲投中的次数为，求 的分布列及数学期望（）求乙至多

6、投中2 次的概率；（）求乙恰好比甲多投进2 次的概率2.【答案】解：（）的可能取值为： 0,1,2,3 32P(0) C30 28;P(1) C311 24 ;32733922; P(31 .P(2) C32 123) C33 1339327的分布列如下表：0123842199P2727E081422311 2799273（）乙至多投中2 次的概率为 1C33 1728（）设乙比甲多投中2次为事件 A ，乙恰投中2 次且甲恰投中0 次为事件 B1 ，乙恰投中 3次且甲恰投中 1次为事件 B2 ，则 A B1 B2 , B1 , B2 为互斥事件P( A) P(B1) P(B2 )83411 2

7、78986所以乙恰好比甲多投中2 次的概率为 1 6【例 3】某商场一号电梯从 1 层出发后可以在 2、3、4 层停靠 .已知该电梯在 1层载有 4 位乘客，假设每位乘客在 2、3、4 层下电梯是等可能的 .( ) 求这 4 位乘客中至少有一名乘客在第2 层下电梯的概率；( ) 用 X 表示 4 名乘客在第4 层下电梯的人数，求X 的分布列和数学期望.3【答案】解：( ) 设 4位乘客中至少有一名乘客在第2 层下电梯的事件为A ,由题意可得每位乘客在第2 层下电梯的概率都是1 ，3.则 P(A)1P(A)1.4265381.( )X 的可能取值为0,1,2,3,4由题意可得每个人在第4 层下电

8、梯的概率均为1 ，且每个人下电梯互不影响，3所以， X : B(4, 1) .3X01234P16322481818181818114E(X)4.33【易错题】【例 1】经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：罗非鱼的汞含量 （ ppm ）0 1235567889135567中华人民共和国环境保护法规定食品的汞含量不得超过1.0 ppm（）检查人员从这 15 条鱼中，随机抽出 3条，求 3 条中恰有 1条汞含量超标

9、的概率；（）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记 表示抽到的汞含量超标的鱼的条数以此15 条鱼的样本数据来估计 这批数量很大的鱼的总体数据，求的分布列及数学期望 E 1.【答案】解：（）记 “15条鱼中任选3 条恰好有 1条鱼汞含量超标 ”为事件 A ，则C51C10245P( A)，C1539115条鱼中任选45.3 条恰好有 1条鱼汞含量超标的概率为91.（）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P(B)5115，312，3 .可能取 0， ，1 131) C31 12则 P(0) C308， P(1 14 ，32733921 12，P(3) C33 13P(2) C3211 339

10、327其分布列如下：0123P8421279927E081422311所以279927.【例 2】某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图 （如图），其中，上学所需时间的范围是0,100，样本数据分组为0,20) ，20,40) ， 40,60) ， 60,80) ， 80,100 .（）求直方图中x 的值；（）如果上学所需时间不少于 1小时的学生可申请在学校住宿， 请估计学校 600 名新生中有多少名学生可以申请住宿；（）从学校的新生中任选4 名学生，这4 名学生中上频率 /组距0.025x学所需时间少于20 分钟的人数记为X ，求 X 的分布

11、列和数学期望 .（以直方图中新生上学所需时间少于20 分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20 分钟的概率）0.00650.003O20406080100时间2、【答案】解： （）由直方图可得：20x0.025200.0065200.0032201.所以x = 0.0125.（）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003 2200.12 ，因为 6000.1272 ，所以 600 名新生中有72 名学生可以申请住宿.（） X 的可能取值为0,1,2,3,4 .由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20 分钟的概率为1 ，4481133P( X0)3,1274256P( X1) C444

12、,64223P(X 2) C42 1327 , P(X 3) C43 133 ,44128446441P( X4)1.4256所以 X 的分布列为：X01234P812727312566412864256EX 0811 2722733411.（或 EX 4 11 ）25664128642564所以 X 的数学期望为 1.【例 3】国家对空气质量的分级规定如下表：污染指数0 50511 00101150151 200201 300300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市去年6 月份 30 天的空气污染指数的监测数据如下：3414018731212104045782365792078

13、160421013816315422273615149103135201648根据以上信息，解决下列问题：（）写出下面频率分布表中a,b, x, y 的值；（）某人计划今年 6月份到此城市观光 4天，若将（）中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天数用X 表示，求 X 的分布列和均值EX .频率分布表分组频数频率0,501471550,100ax1100,15056150,200by.200,2501215合计3013.解：（） a 6,b 3, x1 , y1 ,510（）由题意，该市4 月份空气质量为优或良的概率为P=422155，341, P(X 1) C41 238 ,P( X 0

14、) C40113813381228 , P(X 3) C43332 ,P( X 2) C422121332733814P(X 4)C44216.381X 的分布列为 :X01234P188321681812781812EX428X B(4， ),3.33【例 4】某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80 小时的社区服务才合格教育部门在全市随机抽取200 位学生参加社区服务的数据，按时间段75,80， 80,85 ， 85,90 ，90,95 ， 95,100 （单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示（）求抽取的200 位学生中，参加社区服务时间不少于90 小时的学生人数，并估计从全

15、市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90 小时的概率；.（）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3 位学生，记为 3 位学生中参加社区服务时间不少于 90 小时的人数试求随机变量的分布列和数学期望E频率组距0.0750.0600.0400.0200.005O7580859095100服务时间 / 小时4.【答案】解：（）根据题意，参加社区服务时间在时间段90,95 小时的学生人数为2000.060560 （人），参加社区服务时间在时间段95,100 小时的学生人数为 2000.020520 （人）所以抽取的 200 位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80 人所以

16、从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90 小时的概率估计为 P60 20802 .2002005（）由（）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为 2.5由已知得，随机变量的可能取值为0,1,2,3 所以 P(0) C30( 2)0( 3)327；5512512 13254P(1)C3 (5 )(5 )125；2223136；P(2)C3 (5)(5)125.P(3)3(2)3(308C355)125随机变量的分布列为0123P 2754368125125125125因为226 B(3， ) ，所以 E3555【课后测试】1.乒乓球单打比赛在

17、甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7 局 4 胜制（即先胜4 局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.（）求甲以4 比 1获胜的概率；（）求乙获胜且比赛局数多于5 局的概率；（）求比赛局数的分布列.1.【答案】（）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是1 记“甲以 4 比 1获胜 ”为事件 A ，2则 P(A) C43(1)3( 1)4 3 1 1 22285局”为事件 B .（）解：记 “乙获胜且比赛局数多于因为，乙以 4 比 2获胜的概率为P1C53(1)3 (1)53 15，22232乙以比 3 获胜的概率为3131 63154P2C6 (2) (

18、2)2 32，所以 P( B) P1P2516（）解：设比赛的局数为X ，则 X 的可能取值为 4,5,6,7 P( X41)41 ，4) 2C4 (28P( X 5) 2C43 (1)3(1)4 3 1 1 ，2224P( X 6) 2C53 (1 )3( 1)5 2 15，22216P( X 7) 2C63(1)3( 1)6 3 1522216比赛局数的分布列为：.X4567P11558416162.张先生家住 H 小区，他在 C 科技园区工作，从家开车到公司上班有 L1， L2 两条路线（如图） ， L1 路线上有 A1，A2， A3 三个路口，各路A1A2A3口遇到红灯的概率均为1；

19、L2 路线上有 B1， B2L1两个路口，各路口遇HC323L2B12到红灯的概率依次为，B45（）若走 L1 路线，求最多遇到 1次红灯的概率；（）若走L2 路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；（）按照 “平均遇到红灯次数最少 ”的要求， 请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由2、【答案】解： （）设走L1 路线最多遇到1 次红灯为A 事件，则P( A)= C30( 1)3C311(1)2122221 所以走 L1 路线，最多遇到 1次红灯的概率为X 的可能取值为 0,1,22（）依题意，P( X =0)=(13)(13)1，4510P( X =1)= 3(13)(

20、13)39，454520P( X =2)=3394520随机变量 X 的分布列为：X012P19910202010919227EX20201020（）设选择 L2 路线遇到红灯次数为Y ，随机变量 Y 服从二项分布，Y : B(3,1)，132所以 EY322因为 EXEY ，所以选择L2 路线上班最好.3.为提高学生学习数学的兴趣,某地区举办了小学生“数独比赛 ”比.赛成绩共有90分,70分 ,60分,40 分,30分 五种 ,按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学生中随机抽取了 30 名学生 ,并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计,得到如下数据表:成绩等级ABCDE成绩 (分)90

21、70604030人数(名)461073( )根据上面的统计数据,试估计从本地区参加“数独比赛 ”的小学生中任意抽取一人,其成绩A或B”的概率 ;等级为 “( )根据 ( )的结论 ,若从该地区参加 “数独比赛 ”的小学生 ( 参赛人数很多 )中任选 3 人 ,记 X表示抽到成绩等级为AB”的学生人数 ,求X的分布列及其数学期望EX;“ 或( )从这 30名学生中 ,随机选取 2 人 ,求 “这两个人的成绩之差大于20 分 ”的概率 .3、【答案】 解 :( )根据统计数据可知,从这 30 名学生中任选一人,分数等级为 “A 或 B ”的频率为 46101.3030303从本地区小学生中任意抽取

22、一人,其 “数独比赛 ”分数等级为 “A或 B ”的概率约为( )由已知得 ,随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3 .所以 P( X 0) C30( 1)0 ( 2)38;P( X 1) C31(1)1 ( 2)212 4;332733279P( X 2) C32 ( 1)2 ( 2)162 ; P( X 3) C33( 1)3 ( 2)01.332793327随机变量 X 的分布列为X01238421P992727所以 EX08112261127273272720 分.( )设事件 M:从这 30 名学生中 ,随机选取2 人 ,这两个人的成绩之差大于设从这 30 名学生中 ,随机选取2

23、 人 ,记其比赛成绩分别为m, n .显然基本事件的总数为C302 .不妨设 m n ,当 m90时 , n60 或 40 或 30,其基本事件数为C41(C101C71C31) ;当 m70时 , n40 或 30 ,其基本事件数为 C61 (C71C31) ;当 m60时 , n30,其基本事件数为 C101C31 ;13.C41 (C101C71 C31) C61 (C71C31) C101 C3134所以 P(M )C302.87所以从这30 名学生中 ,随机选取2 人 ,这两个人的成绩之差大于20 分的概率为 34874.在某批次的某种灯泡中，随机地抽取 200 个样品，并对其寿命进

24、行追踪调查，将结果列成频率分布表如下 . 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500 天的灯泡是优等品，寿命小于300 天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.寿命（天）频数频率100, 200)200.10200,300)30a300,400)700.35400,500)b0.15500,600)500.25合计2001（）根据频率分布表中的数据，写出a， b 的值；（）某人从灯泡样品中随机地购买了n(nN ) 个，如果这个灯泡的等级情况恰好与按三 个等级分层抽样 所得的结果相同，求n 的最小值；（）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3 个进行使用， 若以上述频率作为概

25、率，用 X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X 的分布列和数学期望 .4.【答案】（）解： a 0.15 ， b30 .50 个，正品有 100 个，次品有50 个，（）解：由表可知：灯泡样品中优等品有所以优等品、正品和次品的比例为50:100:501: 2:1 .所以按分层抽样法，购买灯泡数nk2kk4k(k N ) ，所以 n 的最小值为 4 （）解： X 的所有取值为 0,1,2,3 .由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为5 ，从本批次灯泡中购买3 个，可看成 3 次独立重复试验，所以 P(X0)C30(11)327，464P( X 1) C131 (1

26、1)227 ，4464P(X 2)212(11)19C3()464，4P(X 3) C3(1)31.3464所以随机变量X 的分布列为：.X0123P27279164646464所以 X 的数学期望 E( X )0 271 27293136464646445.为提高学生学习数学的兴趣,某地区举办了小学生“数独比赛 ”比.赛成绩共有90分,70分 ,60分,40 分,30分 五种 ,按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学生中随机抽取了 30 名学生 ,并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计,得到如下数据表 :成绩等级ABCDE成绩 (分)9070604030人数 (名)461073( )根

27、据上面的统计数据,试估计从本地区参加“数独比赛 ”的小学生中任意抽取一人,其成绩A或B”的概率 ;等级为 “( )根据 ( )的结论 ,若从该地区参加 “数独比赛 ”的小学生 ( 参赛人数很多 )中任选 3 人 ,记 X表示抽到成绩等级为“A 或 B ”的学生人数 ,求 X 的分布列及其数学期望EX ;.(),2,20分 ”的概率从这 30名学生中 随机选取人 求 “这两个人的成绩之差大于【答案】解:(根据统计数据可知 从这 30 名学生中任选一人,分数等级为 “ 或B”的频率5.),A为 46101.3030303从本地区小学生中任意抽取一人,其 “数独比赛 ”分数等级为 “A或 B ”的概

28、率约为(由已知得随机变量X的可能取值为0,1,2,3.),所以 P( X 0) C30( 1)0 ( 2)38;P( X 1) C31(1)1 ( 2)212 4;332733279P( X 2) C32 ( 1)2 ( 2)162 ; P( X 3) C33( 1)3 ( 2)01.332793327随机变量 X 的分布列为X01238421P992727所以EX 081 12263112727272720 分.( )设事件 M: 从这 30名学生中 ,随机选取 2 人 ,这两个人的成绩之差大于设从这 30 名学生中 ,随机选取 2 人 ,记其比赛成绩分别为m, n .显然基本事件的总数为C

29、302.不妨设 m n ,当 m90时 , n60 或 40 或 30,其基本事件数为C41 (C101C17C31 ) ;13.当 m70时 , n40 或 30 ,其基本事件数为C61 (C17C13 ) ;当 m 60时 , n 30 ,其基本事件数为 C101 C31 ;C41(C101C71 C31) C61 (C71C31) C101 C3134所以 P(M )C302.87所以从这30 名学生中 ,随机选取2 人 ,这两个人的成绩之差大于20 分的概率为 3487【课后作业】1.某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 1 ，遇

30、到红灯时停留的时间都是 2min 。3（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；w.w.w.k.s.5.u.c.o. m（）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望。2.为保护水资源，宣传节约用水，某校4 名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立.（ ）求 4 人恰好选择了同一家公园的概率；（ ）设选择甲公园的志愿者的人数为X ，试求 X 的分布列及期望3.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为1 ，第二轮检测不合格的概率为1 ，两轮检测是否合格相互没有影响.610（）求该产品不能销售的概率；（）如果产品可以销售， 则每件产品可获利40 元；如果产品不能销售， 则每件产品亏损80元（即获利 80 元） .已知一箱中有产品4 件，记一箱产品获利X 元，求 X 的分布列，并求出均值EX.3、【答案】解： （）记 “该产品不能销售”为事件 A ，则111P(A) 1 (1 ) (1).6104所以，该产品不能销售的概率为1.4（）由已知，可知X 的取值为320,200,80,40,160 .P( X320)(1) 41，P( X20