直线与圆锥曲线的位置关系【专题复习】

1、.直线与圆锥曲线的位置关系一知识网络结构：几何角度 (主要适用于直线与圆的位置关系 )直线与圆锥曲线的位置关系代数角度（适用于所有直线与圆锥曲线位置关系）1.直线与圆锥曲线利用一般弦长公式（容易）直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用两点间距离公式（繁琐）2. 直线与圆锥曲线的位置关系： . 从几何角度看：（特别注意） 要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。 . 从代数角度看：设直线L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到ax 2bx c 0 。.若 a =0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L 与双曲线的渐进线平行或重

2、合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L 与抛物线的对称轴平行或重合。 . 若 a 0 ，设b24ac 。 a .0 时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。b. 0 时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c.0 时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。二常考题型解读：题型一：直线与椭圆的位置关系：例 1.椭圆 x2y21上的点到直线 x2 y2 0 的最大距离是（）164A.3B.11C.2 2D.10例 2.如果椭圆 x 2y 21的弦被点 (4,2) 平分，则这条弦所在的直线方程是（）369A. x 2 y 0 B.x 2 y 4 0 C. 2x 3 y 12 0 D.x 2 y 8 0题型二：直线与

3、双曲线的位置关系：例 3. 已知直线 L : y kx 1与双曲线 C : x2y 2 =4。若直线 L 与双曲线 C 无公共点，求 k 的范围；若直线L 与双曲线 C 有两个公共点，求k 的范围；若直线 L 与双曲线 C 有一个公共点，求k 的范围；若直线 L 与双曲线 C 的右支有两个公共点，求k的范围；若直线 L 与双曲线 C 的两支各有一个公共点，求k 的范围。;.题型三：直线与抛物线的位置关系：例 4. 在抛物线y 22x 上求一点 P，使 P 到焦点 F 与 P 到点 A(3,2) 的距离之和最小。题型四：弦长问题：直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设

4、而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线斜率为 k 与 圆 锥 曲 线 交 于 点 A x 1, y1， B x 2 , y 2时 ， 则AB = 1 k 2 x1x2 = 1 k 2x1x224x1 x2= 11 y1y2 = 11y1y224 y1 y2k 2k 2可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和，两根之积的代数式，然后再进行整体带入求解。22例 5. 过双曲线xy1的右焦点 F2 ，倾斜角为 300 的直线交双曲线于A、B 两点，求AB 。36;.题型五：中点弦问题：求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法： . 点

5、差法：将弦的两个端点坐标代入曲线方程，两式相减，即可确定弦的斜率，然后由点斜式得出弦的方程； . 设弦的点斜式方程，将弦的方程与曲线方程联立，消元后得到关于x（或 y）的一元二次方程，用根与系数的关系求出中点坐标，从而确定弦的斜率k，然后写出弦的方程； . 设弦的两个端点分别为x1 , y1 , x2 , y2，则这两点坐标分别满足曲线方程，又x1x2, y1y2为22弦的中点，从而得到四个方程，由这四个方程可以解出两个端点，从而求出弦的方程。例 6. 已知双曲线方程 2x 2y 2=2。求以 A 2,1 为中点的双曲线的弦所在的直线方程；过点 1,1 能否作直线 L，使 L 与双曲线交于 Q

6、1 ， Q2 两点，且 Q1 ， Q2 两点的中点为1,1？如果存在，求出直线 L 的方程；如果不存在，说明理由。题型六：圆锥曲线上的点到直线的距离问题：例 7. 在抛物线y 264x 上求一点，使它到直线L： 4x3 y460的距离最短，并求这个最短距离。;.练习题1. （ 09 上海） 过点 A(1,0) 作倾斜角为的直线， 与抛物线 y22x 交于 M 、N 两点，则 MN =。4写出所涉及到的公式：2.（ 09 海南） 已知抛物线 C 的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直线 y=x 与抛物线 C交于 A， B 两点，若 P 2,2 为 AB 的中点，则抛物线C的方程为。3.（ 08 宁

7、夏海南） 过椭圆 x2y21 的右焦点作一条斜率为2 的直线与椭圆交于 A、 B 两点， O为坐标54原点，则 OAB的面积为4. （ 11 全国） 已知直线L 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直， L 与 C 交于 A， B 两点， | AB | 12 ，P 为 C 的准线上一点，则ABP 的面积为（）A 18B 24C 36D 485. （ 09 山东） 设斜率为2 的直线 l 过抛物线 y2ax(a0) 的焦点 F, 且和 y 轴交于点 A, 若 OAF(O为坐标原点 ) 的面积为 4, 则抛物线方程为 ()A. y24xB.y28xC.y24xD.y28x6. （ 09 山东） 设双曲线 x2y21 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率a2b 2为 ().A.5B. 5C.5D.54227. （10 全国） 设 F1, F2 分别是椭圆E： x2 + y2=1（0 b 1）的左、右焦点，过 F1 的直线 L 与 E 相交b于 A、 B 两点，且 AF2， AB ， BF2 成等差数列。求AB 若直线 L 的斜率为 1，求 b 的值。8.（