2013年江苏高考数学试题和答案(含理科附加)

1、精心整理16、(本小题满分14分)精心整理（结束）环），2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）参考公式:21n2.1n样本数据 Xi,X2,|,Xn 的万差 s =£ (Xi -x),其中 X = £ x1， .、棱锯的体积公式：V =-Sh,其中S是锥体的底面积，h为高。 3棱柱的体积公式：V =Sh,其中S是柱体的底面积，h为高。一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上1、函数y =3sin（2 x+：）的最小正周期为L2、设z =（2-i）2（i为虚数单位），则复数z的模为AI223、双曲线：一匕=1的两条渐近线

2、的方程为1694、集合-1, 0, 1共有个子集。5、右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是今6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5次训练成绩（单位: 结果如下：则成绩较?运动员第1次第2次第3次第4次第5次为稳定（方甲8791908993差较小）的乙8990918892那位运动员成绩的方差为人7、现有某类病毒记作为XmYn ,其中正整数m, n（m M7, n工9）可以任 意选取，则m,n都取到奇数的概率为一8、如图，在三棱柱 AiBiCi-ABC中，D、E、F分别为AB、AC、AAi的中点，设三棱锥 F-ADE 的体积为V1,三棱柱AiBiCi-ABC的体积为V2,则V1： V2=A09

3、、抛物线y =x2在x=1处的切线与坐标轴围成三角形区域为 D(包含三角形内部与边界)。若点P(x, y)是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是今10、设D、E分别是 ABC的边AB、BC上的点，且AD =3AB, BE =二BC。若DE =九1胃 +九2葭 23(九、%均为实数)，则%+”的值为d11、已知f(x)是定义在R上的奇函数。当x>0时，f(x)=x2-4x,则不等式f(x)x的解集用区 间表小为上。2212、在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的方程为勺+4=1(a Ab0),右焦点为F,右准线为I, a b短轴的一个端点为Bo设原点到直线BF的距离为d1，F至心的距离为

4、d2。若d2=J6d1,则椭圆C 的离心率为113、在平面直角坐标系xoy中，设止点A(a,a), P是函数y =-(x > 0)图象上的一动点。右点 P、A x之间的最短距离为2无，则满足条件的实数a的所有值为=上。14、在正项等比数列 匕)中，a5 =2a+a7 =3 ,则满足a1+a?+III+ an >aiazHIan的最大正整数n 2的值为A二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15、(本小题满分14分)4彳已知向量 a =(cos： ,sin ： ), b = (cos :,sin ： ),0 :一:二

5、(1)右 |ab|=V2,求证：a_Lb；(2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求%P 的值。精心整理如图，在三棱锥 S-ABC中，平面SAB_L平面SBC, AB_L BC, AS=AB。过A作AF _L SB ,垂 足为F,点E、G分别为线段SA、SC的中点。求证：（1）平面EFG/平面ABC;(2) BC _LSAo17、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（0,3）,直线l设圆C的半径为1,圆心在直线l上。ECB:y = 2x4, A（1）若圆心C也在直线y=x1上，过点A作圆C的切线，求切线的程;（2）若圆C上存在点M ,使MA=2MO ,求圆心C的横坐标a的

6、取值 围。18、（本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点 A处下山至C处有两种路径。一种是 A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直 步行到Co方范从线现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟。在甲出发2分钟后，乙 从A乘坐缆车到B,在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到Co假设缆车速度为130米/分钟,123山路AC的长为1260米，经测重，cos A = ,cosC =-13(D求索道AB的长;（2） 短？问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最0(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内?19

7、、（本小题满分16分）设 an是首项为a、公差为d的等差数列（d *0） , Sn为其前n项和。记bn - nSn ,n N” ,其中c n c为实数。精心整理精心整理(1)若 c=0,且 bi,b2,b4成等比数列，证明：Snk =n2Sk(n,ke N*)(2)若 bn为等差数列，证明：c=0。20、(本小题满分16分)设函数 f (x) =in x ax,g(x)=ex ax ,其中 a 为实数。(1)若f (x)在(1,y)上是单调减函数，且g(x)在(1,y)上有最小值，求a的取值范围；(2)若g(x)在(1,收)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论。21.选做题本

8、题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做， 则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.：A.选彳4-1:几何证明选讲(本小题满分10分)V如图，AB和BC分别与圆。相切于点D、C,AC经过圆心。，且BC=2OC。求证：AC=2AD。-B.选彳4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵八=1 0 ',B = f 2L求矩阵A/B.02_" 6_<i I-. :| /尸X /C.选彳4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)x = t 1x = 2tan2 t1在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为(t为

9、参数)，曲线C的参数方程为广y = 2ty = 2tan1(8为参数)。试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。D.选彳4-5:不等式选讲(本小题满分10分)已知 a > b >0,求证：2a3 b3 > 2ab2 a2b。【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域 ；一一寸 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22 .(本小题满分10分)如图，在直三棱柱 AiBiCi-ABC中，AB，AC AB=AC=2 AA=4,点D是BC的中点。(1)求异面直线AiB与CiD所成角的余弦值；(2)求平面ADCi与平面ABAi所

10、成二面角的正弦值。23 .(本小题满分i0分)jk、rs设数列。： i, -2,-2, 3, 3, 3,-4, -4, -4, -4,(i尸k,| (i)k,k ,精心整理方差为：S7 9635. .【答案】3【解析】n=1, a=2, a = 4, n = 2； a=10, n=3; a= 28, n = 4.6. .【答案】2【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：X = 89 +90 +91 +88 + 92 = 90 .(89 -90)(90 -90)(91 -90)(88 -90)(92 - 90) o=27.2063【解析】m取到奇数的有1, 3, 5, 7共4种情况；n取到奇数的有

11、1, 3, 5, 7, 9共5种情况，则 m, n都取到奇数的概率为竺_ =型.8.【答案】1: 24【解析】三棱锥F - ADE与三棱锥A1 - ABC的相似比为1: 2,故体口积之比为1:8.又因三棱锥A - ABC与三棱柱AB1cl-ABC的体积V. 1之比为1: 3.所以，三棱锥F - ADE与三棱柱A1B1G - ABC的体积之二I 匕5产 比为1: 24. - I /jX jJ / /9.【答案】2,【解析】抛物线y =x2在x = 1处的切线易得为y= 2x1,令z= x + 2y, y= x+.画出可行域如下，易得过点（0, 1）时，Zmin = 2,过点（，0）时，Zmax=

12、.精心整理10.1- 2【解析】 DE = DB BE AB BC 231- 2,AB IBA AC)11.【答案】(-5, 0)U(5,十OO)【解析】做出f(x)=x24x(xa0)的图像,如下图所示。由于f(x)是定义在R上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x<0的图像不等式f (x) >x,表示函数y= f(x)的图像在y= x的上方，观察图像易得:解集为(-5, 0)U(5,+8)。12.【答案】3【解析】如图，1:x二2a ,，d2c由等面积得:2 a=c=cdi 。右 d2 = '6d i, ab1 2 *则b-=c求bc ,整理得：T6a2 -ab-T

13、6b2 =0 ,两边同除以: a2 /日a，彳寸:而"：一过十而=0,解之得：P=16,所以，离心率为：e=Ji . ?j=虫.<a ； Vaa 3、山 313.【答案】1或"0【解析】14.【答案】121【解析】设正项等比数列an首项为a1,公比为q,则：* a1q解：（1） ab=（cos«-cos 8 sin a sin份,|a b|2= (cos o- cos+ (sin a sin 32= 2 2(cos a - cos 汁 sin a - sin 份=2, 所以,cosa - cos 廿 sin a - sin B= 0,所以，a-Lb. = 2

14、，得：/=,q=2, ana&d q) = 32n _1(n)n2n _1(n-1)n=2.记 Tn=a+a2+an=5 , n n a1a2 an= 2 简得：2n -1 >222,当 n 3n2 n+5 时，n =22n=13 时，T13 <Ft13 ,故 nmax=12. Tn n n ,则5->2 2 ，化=12 时，/2>口12,当22(2)cos,二 cos : = 0 sin. ：； : sin ; =1D 不22,十得：COs(a份=一.、2)带入得：sin(2n + Q +sin B= cos 阶sin 片sin( + 9 = 1,32一所以,

15、所以,a=里，片上16.证：（1）因为 SA= AB且 AFXSB,所以F为SB的中点.又E, G分别为SA, SC的中点,所以，EF/AB, EG/AC.又 ABAAC = A, ABu面 SBC, ACu面 ABC,所以，平面EFG平面ABC.(2)因为平面 SAB,平面SBC,平面SABA平面SBC= BC,AF 匚平面 ASB, AFXSB.所以，AFL平面SBC.又BCu平面SBC, 所以，AFXBC.又 ABXBC, AFAAB=A,所以，BCL平面SAB.又SA二平面SAB, 所以，BC - SA.17.解:(2)(1)联立：，故所求切线为:设点 M(x, y),设切线为：yy

16、yi |3k 3-2| d j1 k2化简得：x2+(y+1)2=4, 即：点M的轨迹为以(0, 1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D.又因为点M在圆C上，故圆C圆D的关系为相交或相切.故：10|CD|03,其中 |CD| =«a2+(2a3)2 .解之得：0& a< .18.了 c i 解：(1)如图作BDLCA于点D,设 BD = 20k,则 DC = 25k, AD = 48k,-. - IX 类/AB = 52k,由 AC = 63k=1260m,知：AB=52k= 1040m.(2)设乙出发x分钟后到达点M,此时甲到达N点,如图所示.则：AM = 130x,

17、AN = 50(x+ 2),由余弦定理得：MN2 = AM2 + AN22AM ANcosA= 7400x2- 14000x+ 10000,其中0<x<8,当x= (min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短.(3)19.证：（1）由（1）知：BC=500m,甲到 C 用时：=（min）.若甲等乙3分钟，则乙到C用时：+3=（min）,在BC上用时：（min）.此时乙的速度最小，且为：500+=m/min.若乙等甲3分钟，则乙到C用时：一3=（min）,在BC上用时：（min）.此时乙的速度最大，且为：500+=m/min.故乙步行的速度应控制在,范围内.若 c = 0,则

18、 %=a+(n_1)d, 0 = n(n ")d + 2a , bn Jn-1)d+2a. 22当t1, b2, b4成等比数列，b； ="b4,.一 ； 1/ ¥ / 、即：a + = a a + i,得：d2 =2ad ,又 d¥0,故 d=2a.22).222. 222. 2由止匕：Sn = n a , Snk = (nk) a = n k a , n Sk = n k a .(2)bn 二n5n2 (n -1)d 2a2， n c(n -1)d 2ac(n -1)d +2a故：Snk =n2Sk ( k,n w N*).若bn是等差数列，则bn=

19、An+Bn型.观察（派）式后一项，分子幕低于分母幕,(n -1)d 2a2(n -1)d 2a(n -1)d 2a 一八故有： 产=0, BP c-L= 0,而L W0,n2 c22经检验，当c=0时bn是等差数列.20.11解：(1) f (x) =a 00在(1,y)上恒成立，则 a>一，xw(1, +妙).xx故：a >1.gx) =e -a ,若1wa&e,则g(x)=exa >0在(1,收)上包成立，此时，g(x)=exax在(1,也)上是单调增函数，无最小值，不合；若2>6,则g(x)=exax在(1, in a)上是单调减函数，在(in a, +的

20、)上是单调增函数, I 一,厂 “ J ' 7 . g min (x) =g(lna),满足.a 1 l' q 产产故a的取值范围为：a >e.(2) g(x)=e a>0 在(1 ,+*)上，同成 al ,则 a w e ,故：aw. ；一 .11 - ax .f (x) = a = (x >0).x xJ； i ：二。"；-f . I .X、三/(i ) 0<a<,令 f'(x)>0 得增区间为(0,);令f (x)<0得减区间为(，+oo).当 x0 时，f(x) °°；当 x一 十00时，f(x) - OO-当乂=时，f()= - lna-1>0,当且仅