同济第三版-高数-(2.4) 第四节 高阶导数同济第三版-高数-

1、 从实际问题考虑，有必要研究函数导函数的导数。从实际问题考虑，有必要研究函数导函数的导数。 例如，变速直线运动的速度函数例如，变速直线运动的速度函数 V = V( t )是位置是位置函数函数 S( t )对时间对时间 t 的导数，即的导数，即 V = S ( t ). . 加速度加速度 a = a( t )又是速度函数又是速度函数 V( t )对时间对时间 t 的导数的导数, ,即即 a = V ( t )= S ( t ). 这种导数的导数称为这种导数的导数称为 S( t )对对 t 的二阶导数，记作的二阶导数，记作: : S ( t ). . 由此可抽象出二阶导数的由此可抽象出二阶导数的及

2、一般高阶的概念。及一般高阶的概念。 函数函数 y = f( x )的导数的导数 y = f ( x )仍是仍是 x 的函数，通的函数，通常把导函数常把导函数 y = f ( x )的导数叫做函数的导数叫做函数 y = f( x )的二阶的二阶导数，记作导数，记作: : f ( x )，y 即即 类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数的导数叫做四阶导数 . . 一般地，一般地，n - - 1 阶导数的导阶导数的导数叫做数叫做 n 阶导数，即阶导数，即 f ( n )( x )= f ( n- -1 )( x ). . 分别记作分

3、别记作二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。 22ddd.dddyyffxxxxx , ,或或 34434ddd.dddnnnyyyfffxxxxxx , , , , , , , , , , , , 或或 函数函数 y = f( x )具有具有 n 阶导数，也常说成函数阶导数，也常说成函数 f( x )n 阶可导。如果函数阶可导。如果函数 f( x )在点在点 x 处具有处具有 n 阶导数，则阶导数，则函数函数 f( x )在点在点 x 的某一邻域内必定具有一切低于的某一邻域内必定具有一切低于 n 阶阶的导数。的导数。 从概念上讲，高阶导数计算就是连续进行一阶

4、导数从概念上讲，高阶导数计算就是连续进行一阶导数的计算。因此只需根据一阶导数计算规则逐阶求导就可的计算。因此只需根据一阶导数计算规则逐阶求导就可以了，但从实际计算角度看，却存在两个方面的问题：以了，但从实际计算角度看，却存在两个方面的问题： 一是对抽象函数高阶导数计算，随着求导次数的增一是对抽象函数高阶导数计算，随着求导次数的增加，中间变量的出现次数会增多，需注意识别和区分各加，中间变量的出现次数会增多，需注意识别和区分各阶求导过程中的中间变量。阶求导过程中的中间变量。 二是逐阶求导对求导次数不高二是逐阶求导对求导次数不高时是可行的，当求导次数较高或求时是可行的，当求导次数较高或求任意阶导数时

5、，逐阶求导实际是行任意阶导数时，逐阶求导实际是行不通的，此时需研究专门的方法。不通的，此时需研究专门的方法。 从理论上看，从理论上看，逐次应用一阶导数的求导规则就可得逐次应用一阶导数的求导规则就可得到高阶导数相应的运算规则。然而，对于和、差的导数到高阶导数相应的运算规则。然而，对于和、差的导数计算的线性规则，这种推导是方便的，而对乘积求导的计算的线性规则，这种推导是方便的，而对乘积求导的非线性运算规则，其推导过程和结果就未必简单了。非线性运算规则，其推导过程和结果就未必简单了。 设函数设函数 u( x ), v( x )在点在点 x 都具有都具有 n 阶导数，则有阶导数，则有 u( x ) v

6、( x )( n ) = u( x )( n ) v( x )( n ). . 设函数设函数 u( x ), v( x )在点在点 x 都具有都具有 n 阶导数，则由阶导数，则由一阶导数乘积的运算法则有一阶导数乘积的运算法则有 u( x ) v( x ) = u ( x ) v( x )+ u( x ) v ( x )， u( x ) v( x )= u ( x ) v( x )+ u( x ) v ( x )= u ( x ) v( x )+ u( x ) v ( x )= u ( x ) v( x )+ u ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ( x )+ u( x ) v

7、 ( x )= u ( x ) v( x )+ 2u ( x ) v ( x )+ u( x ) v ( x )， u( x ) v( x )= u v + 2u v + u v = u v + 2u v + u v = u v + 2u v + u v = u v + u v + 2 u v + u v + u v + u v = u v + 3 u v + 3 u v + u v . . 可见导数阶数越高，相应乘积的导数越复杂，但其可见导数阶数越高，相应乘积的导数越复杂，但其间却有着明显的规律性，为归纳其一般规律，记：间却有着明显的规律性，为归纳其一般规律，记： u( x )= u( 0

8、)( x )，v( x )= v( 0 )( x )， u ( x )= u( 1 )( x )，v ( x )= v( 1 )( x )，依此类推依此类推。 于是上述计算结果可写成于是上述计算结果可写成： u v = u( 1 ) v( 0 ) + u( 0 ) v( 1 )， u v = u( 2 ) v( 0 ) + 2u( 1 ) v( 1 )+ u( 0 ) v( 2 )， u v = u( 3 ) v( 0 ) + 3u( 2 ) v( 1 )+ 3u( 1 ) v( 2 )+ u( 0 ) v( 3 ). . 由此可见，乘积的由此可见，乘积的 n 阶导数的系数及导数阶数的变阶导数

9、的系数及导数阶数的变化规律类似于二项展开式的系数及指数规律。于是由归化规律类似于二项展开式的系数及指数规律。于是由归纳法可求得：纳法可求得：这一结果称为莱布尼兹公式。这一结果称为莱布尼兹公式。 莱布尼兹公式虽然指出了乘积的高阶导数的规律莱布尼兹公式虽然指出了乘积的高阶导数的规律性，但一般而言，按莱布尼兹公式求乘积高阶导数是性，但一般而言，按莱布尼兹公式求乘积高阶导数是较繁杂的，不适合于作为一般方法。较繁杂的，不适合于作为一般方法。 然而在一些特别情形下，应用莱布尼兹公式却很然而在一些特别情形下，应用莱布尼兹公式却很便利。例如，乘积中有一因子的高阶导数大多为零，便利。例如，乘积中有一因子的高阶导

10、数大多为零，如幂函数因子，则用莱布尼兹公式如幂函数因子，则用莱布尼兹公式计算较为方便。又如，对于某些高计算较为方便。又如，对于某些高阶导数值的计算，利用莱布尼兹公阶导数值的计算，利用莱布尼兹公式可直接建立某种递推关系，这对式可直接建立某种递推关系，这对问题的分析和讨论都很有用。问题的分析和讨论都很有用。例：例：设设 y = x 2 f( cos x )，f ( x )存在存在，求求：y . 这是半抽象复合函数求二阶导数问题。由于已这是半抽象复合函数求二阶导数问题。由于已知知 f ( x )存在存在，故只需按导数规则逐阶求导即可。故只需按导数规则逐阶求导即可。 y = x 2 f( cos x

11、)= 2 x f( cos x )- - x 2 f ( cos x )sin x， y =( y )= 2x f( cos x )- - x 2 f ( cos x )sin x = 2x f( cos x )- - x 2 f ( cos x )sin x ， = 2 f( cos x )- - x f ( cos x )sin x - - 2x f ( cos x )sin x - - x 2 f ( cos x )sin 2 x + + x 2 f ( cos x )cos x = 2 f( cos x )- - x f ( cos x )( 4sin x + x cos x ) +

12、x 2 f ( cos x )sin 2 x . .例：例：设函数设函数 x = f( y )的反函数为的反函数为 y = ( x )，其中其中 f ( y ) f ( y )均存在，且均存在，且 f ( y ) 0 ，求求： 这是个求反函数的高阶导数问题。由于条件已这是个求反函数的高阶导数问题。由于条件已给出直接函数给出直接函数 x = f( y )一、二阶导数一、二阶导数 f ( y ), f ( y )的的存在性，自然想到从反函数与直接函数的一阶导数关系存在性，自然想到从反函数与直接函数的一阶导数关系 出发进行计算。出发进行计算。 由于这一关系式两边对应于不同变量由于这一关系式两边对应于

13、不同变量 x、y 的函数的函数形式，形式，进行导数计算时，需注意区分中间变量与自变量进行导数计算时，需注意区分中间变量与自变量及相应的导数关系，即求导时应将该关系使理解为及相应的导数关系，即求导时应将该关系使理解为 23 23dd.ddxxxx, , d1dxfy d11dxfyfx . . 将反函数与直接函数一阶导数关系式将反函数与直接函数一阶导数关系式的右端看成是以的右端看成是以 y 为中间变量为中间变量 x 为自变量的复合函数，为自变量的复合函数， 并在关系式两边对并在关系式两边对 x 求导求导 d1dxfy d11dxfyfx , ,即即 22dddd1ddddxxxxfy dd1dd

14、yyxfy 231.fyfyfyfyfy 32323ddddddddfyxxxxfy 3ddddfyyyxfy 32631fyfyfyfyfyfyfy 2 5 3.fyfyfyfy例：例：已知已知 f( x ) = sin x sin 3 x sin 5 x，求求: : f ( 0 ) . . 对此连乘积形式的函数求二阶导数，直接按乘对此连乘积形式的函数求二阶导数，直接按乘乘积求导法则乘积求导法则求导显然比较繁杂，故可考虑将乘积化为求导显然比较繁杂，故可考虑将乘积化为和差再按和的求导法则计算。和差再按和的求导法则计算。 连续两次应用和差化积公式有连续两次应用和差化积公式有 f( x ) = s

15、in x sin 3 x sin 5 x 1 sinsin3sin7sin94xxxx, , 1sincos2cos82xxx 由此便容易求得：由此便容易求得：于是求得于是求得: : f ( 0 )= 0 . . 1sinsin3sin7sin94fxxxxx 1cos3cos37cos79cos94xxxx, , 1cos3cos37cos79cos94fxxxxx 1sin9sin349sin781sin94xxxx, , 由于所求的是高阶导数在原点处的值，故又可考虑由于所求的是高阶导数在原点处的值，故又可考虑利用导函数的奇偶性进行分析计算。利用导函数的奇偶性进行分析计算。 由于由于 f(

16、 x )= sin x sin 3 x sin 5 x 为奇函数，故为奇函数，故 f ( x )为偶函数，为偶函数，f ( x )又为奇函数。又为奇函数。 于是由奇函数的性质有：于是由奇函数的性质有： f ( 0 )= 0 . . 对任意对任意 n 阶导数的计算，由于阶导数的计算，由于 n 不是确定值，自然不是确定值，自然不可能通过逐求导的方法计算。此外，对于固定阶导数不可能通过逐求导的方法计算。此外，对于固定阶导数的计算，当其阶数较高时也不可能逐阶计算。的计算，当其阶数较高时也不可能逐阶计算。 所谓所谓 n 阶导数的计算实际就是要阶导数的计算实际就是要设法求出以设法求出以 n 为参数的导函数

17、表达式。为参数的导函数表达式。求求 n 阶导数的参数表达式并没有阶导数的参数表达式并没有一般的方法，最常用的方法是，一般的方法，最常用的方法是，先按导数计算法求出若干阶导数，先按导数计算法求出若干阶导数，再设法找出其间的规律性，并导出再设法找出其间的规律性，并导出 n 的参数关系式。的参数关系式。例：例：设设 y = cos x ，求求：y( n ) . . 这是基本初等函数求任意阶导数的问题，其求这是基本初等函数求任意阶导数的问题，其求导任务实际是寻求导任务实际是寻求导函数表达式与导数阶数导函数表达式与导数阶数 n 的关系。的关系。为找出其间的规律性，可先具体计算若干阶导数，再设为找出其间的

18、规律性，可先具体计算若干阶导数，再设法确定一般规律。法确定一般规律。 y = ( cos x ) = - - sin x ， y = ( cos x ) = ( - - sin x ) = - - cos x， y = ( cos x ) = ( cos x ) =(- - cos x )= sin x ，y ( 4 ) = ( cos x )( 4 ) = ( cos x )=( sin x ) = cos x ，y ( 5 ) = ( cos x )( 5 ) = ( cos x )( 4 )=( cos x ) = - - sin x ， 通过若干阶导数的计算可看出，通过若干阶导数的计算

19、可看出，cos x 的高阶导数的高阶导数具有一种循环性，其循环规律涉及两个因素，一是总在具有一种循环性，其循环规律涉及两个因素，一是总在 sin x 和和 cos x 之间交互转换，二是符号交互变化。之间交互转换，二是符号交互变化。 由于涉及两个变化因素，使得确定导数规律相对困由于涉及两个变化因素，使得确定导数规律相对困难，故考虑改写各阶导数形式，以减少其间变化因素，难，故考虑改写各阶导数形式，以减少其间变化因素，并使其和导数阶数发生联系。并使其和导数阶数发生联系。 cossincos2yxxx , , coscoscos22yxxx , , cossincos32yxxx , , 44 cossincos32yxxx , , 由此可见，由此可见，cos x 的的 n 阶导数可一般地写成：阶导数可一般地写成： 类似地可求得类似地可求得 C. P. U. Math. Dept. 杨访杨访 三角式的高阶导数往往会呈现出某种循环性，这三角式的高阶导数往往会呈现出某种循环性，这使得三角式高阶导数的计算比较繁杂。使得三角式高阶导数的