高等数学：12-2 正项级数及审敛法

1、第二节第二节一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数及审敛法正项级数及审敛法 第十二章 若若,0nu1nnu定理定理1 ： 正项级数正项级数1nnu收敛收敛部分和序列部分和序列nS),2, 1(n有界有界 .若若1nnu收敛收敛 , ,收敛则nS,0nu部分和数列部分和数列nSnS有界有界, 故故nS1nnu从而从而又已知又已知故有界故有界.则称则称为为正项级数正项级数 .单调递增单调递增, 收敛收敛 , 也收敛也收敛.证证: “ ”“ ”一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法,Zn,nnvku 都有都有定理定理2 (比较审敛法比较审敛法)设设,1nnu1nnv且存在且存在,

2、ZN对一切对一切,Nn 有有(1) 若强级数若强级数1nnv则则弱弱级数级数1nnu(2) 若若弱弱级数级数1nnu则强级数则强级数1nnv证证:设对一切设对一切和令nSn则有则有收敛收敛 ,也收敛也收敛 ;发散发散 ,也发散也发散 .分别表示分别表示弱弱级数和强级数的部分和级数和强级数的部分和, 则有则有nnvku 是两个是两个正项级数正项级数, (常数常数 k 0 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨故不妨(1) 若强级数若强级数1nnv则有则有nn lim因此对一切因此对一切,Zn有有nS由定理由定理 1 可知可知,1nnu则有则有(2)

3、 若若弱弱级数级数1nnu,limnnS因此因此,limnn这说明强级数这说明强级数1nnv也发散也发散 .knSnk也收敛也收敛 .发散发散, ,收敛收敛,弱弱级数级数例例1. 讨论讨论 p 级数级数pppn131211(常数常数 p 0)的敛散性的敛散性. 解解: 1) 若若, 1p因为对一切因为对一切,Zn而调和级数而调和级数11nn由比较审敛法可知由比较审敛法可知 p 级数级数11npnn1发散发散 .发散发散 ,pn1, 1p因为当因为当nxn1,11ppxn故故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考虑强级数考虑强级数1121) 1(1ppnnn的部分

4、和的部分和n111) 1(11ppnkkkn故强级数收敛故强级数收敛 , 由比较审敛法知由比较审敛法知 p 级数收敛级数收敛 .时时,1) 1(11pn11111) 1(113121211pppppnn12) 若若调和级数与调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数级数是两个常用的比较级数.若存在若存在,ZN对一切对一切,Nn ,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu证明级数证明级数1) 1(1nnn发散发散 .证证: 因为因为2) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn而级数而级数111nn21kk发散发散根据比较审敛法可知根据比较审敛法可知, 所

5、给级数发散所给级数发散 .例例2.2.定理定理3. (比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式),1nnu1nnv,limlvunnn则有则有两个级数同时收敛或发散两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当当 l = 0 ,1收敛时且nnv;1也收敛nnu(3) 当当 l = ,1发散时且nnv.1也发散nnu证证: 据极限定义据极限定义, 0对,ZN存在lnnvu)(l设两正项级数设两正项级数满足满足(1) 当当 0 l 时时,时当Nn nnnvluvl)()(, l取由定理由定理 2 可知可知1nnu与1nnv同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散 ;)(Nn ()(),nnulvnN 利用利用(

6、3) 当当l = 时时,ZN存在,时当Nn ,1nnvu即即nnvu 由定理由定理2可知可知, 若若1nnv发散发散 , 1nnu (1) 当当0 l 时时,(2) 当当l = 0时时,由定理由定理2 知知1nnv收敛收敛 , 则则若若1.nnu 则也发散则也发散也收敛也收敛. .,nunv,limlvunnn是两个是两个正项级数正项级数, (1) 当当 时时, l0两个级数同时收敛或发散两个级数同时收敛或发散 ;特别取特别取,1pnnv 可得如下结论可得如下结论 :对正项级数对正项级数,nu,1p l0lim nnulpn,1p l0发散nu(2) 当当 且且 收敛时收敛时,0lnv(3)

7、当当 且且 发散时发散时, lnv也收敛也收敛 ;nu也发散也发散 .nu收敛nu极限审敛法极限审敛法. .的敛散性的敛散性. nnn1lim例例3. 判别级数判别级数11sinnn的敛散性的敛散性 .解解: nlim sin1nn11根据比较审敛法的极限形式知根据比较审敛法的极限形式知.1sin1发散nn例例4. 判别级数判别级数1211lnnn解解:nlim221limnnn1根据比较审敛法的极限形式知根据比较审敛法的极限形式知.11ln12收敛nnnn1sin)1ln(21n21n2n211lnn11 (0)1nnaa的敛散性的敛散性 .解解: 当当 1a 时，时，11+na11nnaa

8、而级数而级数11nna收敛，所以级数收敛，所以级数11 1nna收敛。收敛。当当 01a时，因为时，因为所以级数所以级数11 1nna发散发散.1lim1nna当当a1时时12当当a 1时收敛，当时收敛，当1a 时发散时发散.nnnuu1lim由定理定理4 . 比值审敛法比值审敛法 ( Dalembert 判别法判别法)设设 nu为正项级数为正项级数, 且且,lim1nnnuu则则(1) 当当1(2) 当当1证证: (1),1时当11nnuunnuu)(112)(nu1)(NNnu, 1使取收敛收敛 ,.收敛nu时时, 级数收敛级数收敛 ;或或时时, 级数发散级数发散 .,ZN知存在,时当Nn

9、 k)(由比较审敛法可知由比较审敛法可知,1时或, 0,NuZN必存在, 11nnuu,0limNnnuu因此因此所以级数发散所以级数发散.Nn 当时时(2) 当当nnuu11nuNu1lim1nnnuu说明说明: 当当时时, ,级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散. .例如例如, , p 级数级数:11npnnnnuu1limppnnn1) 1(1lim1但但, 1p级数收敛级数收敛 ;, 1p级数发散级数发散 .从而从而 limn例例5. 讨论级数讨论级数)0(11xxnnn的敛散性的敛散性 .解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根据定理根据定理4可知可知:,10时

10、当 x级数收敛级数收敛 ;,1时当 x级数发散级数发散 ;.1发散级数nn,1时当 x定理定理5. 根值审敛法根值审敛法 ( Cauchy判别法判别法)设设 1nnu为正项级为正项级,limnnnu则则;,1) 1(级数收敛时当 .,1)2(级数发散时当 数数, 且且时时 , 级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散 .1说明说明 :对任意给定的正数对任意给定的正数 ,limnnnu定理定理5. 根值审敛法根值审敛法 ( Cauchy判别法判别法)设设 1nnu为正项级为正项级,limnnnu则则;,1) 1(级数收敛时当 .,1)2(级数发散时当 证明提示证明提示: ,ZN存在nnu有时

11、当,Nn 即即nnnu)()(分别利用上述不等式的左分别利用上述不等式的左,右部分右部分, 可推出结论正确可推出结论正确., )1(1111数数, 且且时时 , 级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散 .1例如例如 , p 级数级数 :11pnnpnnnnu1)(1n说明说明 :,1pnnu 但但, 1p级数收敛级数收敛 ;, 1p级数发散级数发散 .例例6. 证明级数证明级数11nnn收敛于收敛于S ,似代替和似代替和 S 时所产生的误差时所产生的误差 . 解解: : nnnnnu1n1)(0n由定理由定理5可知该级数收敛可知该级数收敛 .令令,nnSSr则所求误差为则所求误差为21)

12、2(1) 1(10nnnnnr21) 1(1) 1(1nnnn1) 1(1nnnnn) 1(11111n并估计以部分和并估计以部分和 Sn 近近 二二 、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数则各项符号正负相间的级数nnuuuu1321) 1(称为称为交错级数交错级数 .定理定理1 . ( Leibnitz 判别法判别法 ) 若交错级数满足条件若交错级数满足条件:则级数则级数; ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收敛收敛 , 且其和且其和 ,1uS 其余项满足其余项满足.1nnur,2, 1,0nun设证证: )()()(2124

13、3212nnnuuuuuuS)()()(1222543212nnnuuuuuuuS1u是单调递增有界数列是单调递增有界数列,nS212limuSSnn又又)(limlim12212nnnnnuSSnnS2lim故级数收敛于故级数收敛于S, 且且,1uS :的余项nS0nu2nnSSr)(21nnuu21nnnuur1nu故故S收敛收敛收敛收敛nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nn用用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性判别法判别下列级数的敛散性:nnn10) 1(104103102101)31432收敛收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛

14、上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn发散发散收敛收敛收敛收敛 ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 定义定义: 对任意项级数对任意项级数,1nnu若若若原级数收敛若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散但取绝对值以后的级数发散, 则称原级则称原级111) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nnnn1nnu收敛收敛 ,1nnu数数1nnu为条件收敛为条件收敛 .均为绝对收敛均为绝对收敛.例如例如 ：绝对收敛绝对收敛 ；则称原

15、级则称原级数数条件收敛条件收敛 .定理定理2. 绝对收敛的级数一定收敛绝对收敛的级数一定收敛 .证证: 设设1nnunv),2,1(n根据比较审敛法根据比较审敛法显然显然,0nv1nnv收敛收敛,收敛收敛12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收敛也收敛)(21nnuu 且且nv,nu收敛收敛 , 令令注意：注意： 上述定理表明：上述定理表明：若若1|nnu 收敛，那么收敛，那么1nnu 一定收敛，一定收敛，但是，如果是用比值或根值判别法判定但是，如果是用比值或根值判别法判定若若1|nnu 发散，那么发散，那么1nnu 不一定发散，不一定发散，如：条件收敛的级数如：条件收敛的级数1|nn

16、u 发散，那么发散，那么1nnu 一定发散一定发散. .因为发散的原因是因为发散的原因是|0,nu 此时此时0.nu 例例1. 证明下列级数绝对收敛证明下列级数绝对收敛 :.) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnennn证证: (1),1sin44nnn而而141nn收敛收敛 ,14sinnnn收敛收敛因此因此14sinnnn绝对收敛绝对收敛 .(2) 令令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收敛收敛,绝对收敛绝对收敛.1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 利用正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发 散满足比值审敛法 limn1nunu根值审敛法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较审敛法用它法判别积分审敛法部分和极限1任意项级数审敛法为收敛级数1nnu设Leibniz判别法:01nnuu0limnnu则交错级数nnnu1) 1(收敛概念:,1收敛若n