第1章有限元基本理论

1、工程分析应用软件工程分析应用软件(ANSYS)四川大学水利水电学院四川大学水利水电学院费文平费文平主要内容主要内容v第第1章章 有限元基本理论有限元基本理论v第第2章章 ANSYS功能简介功能简介v第第3章章 ANSYS基本过程基本过程v第第4章章 ANSYS入门与准备入门与准备v第第5章章 模型输入及修复模型输入及修复v第第6章章 坐标系坐标系v第第7章章 选择、组件与部件选择、组件与部件v第第8章章 实体建模技术实体建模技术v第第9章章 布尔操作布尔操作v第第10章章 单元属性单元属性v第第11章章 网格划分网格划分v第第12章章 加载求解技术加载求解技术v第第13章章 后处理技术后处理技

2、术v第第14章章 结构非线性分析结构非线性分析v第第15章章 模态分析与谱分析模态分析与谱分析v第第16章章 耦合和约束方程耦合和约束方程v第第17章章 APDL基础基础v第第18章章 子模型子模型v第第19章章 热分析热分析v第第20章章 热热-应力耦合分析应力耦合分析第一章第一章 有限元基本理论有限元基本理论平衡方程平衡方程几何方程几何方程物理方程物理方程边界条件边界条件物理系统物理系统有限元离散有限元离散单元的位移场单元的位移场(假定单元内位移函数假定单元内位移函数)单元节点关系单元节点关系求解区域的位移场、应力场求解区域的位移场、应力场简简单单化化1.1 有限元分析有限元分析 (FEA

3、)有限元分析有限元分析 是利用数学近似的方法对真实物理是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。它利用简系统（几何和载荷工况）进行模拟。它利用简单而又相互作用的元素，即单元，用有限数量单而又相互作用的元素，即单元，用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。的未知量去逼近无限未知量的真实系统。1.2 有限单元法的基本思想有限单元法的基本思想v将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单元中将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单元中设定有限个节点，将连续体看作只在节点处相连接设定有限个节点，将连续体看作只在节点处相连接的一组单元的集合体。的一组单元的集合体。v选定场函数的节点

4、值作为基本未知量，并在每一单选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单元中假设一近似插值函数，以表示单元中场函数的元中假设一近似插值函数，以表示单元中场函数的分布规律。分布规律。v利用力学中的某种变分原理去建立用以求节点未知利用力学中的某种变分原理去建立用以求节点未知量的有限单元法方程，将一个连续域中有限自由度量的有限单元法方程，将一个连续域中有限自由度问题化为离散域中有限自由度问题。问题化为离散域中有限自由度问题。1.3 物理系统举例物理系统举例几何体几何体 载荷载荷 物理系统物理系统结构结构热热电磁电磁000ZzyxYzyxXzyxzyzxzzyyxyzxyxx1.3.1 平衡方程平衡方

5、程1.3.2 几何方程几何方程xwzuzwzvywyvyuxvxuzxzyzyxyx1.3.3 物理方程物理方程(本构方程本构方程)zxzxzzyzyzyyxyxyxxGGeGGeGGe222211E12EGzyxe拉梅系数拉梅系数体积应变体积应变剪切模量剪切模量1.3.4 边界条件边界条件ZnmlYnmlXnmlzyzxzzyyxyzxyxxwwvvuu应力边界条件应力边界条件位移边界条件位移边界条件1.4 有限元模型有限元模型真实系统真实系统有限元模型有限元模型 有限元模型有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。是真实系统理想化的数学抽象。1.5 自由度自由度(DOFs)自由度自由度(DO

6、Fs) 用于描述一个物理场的响应特性。用于描述一个物理场的响应特性。结构结构 DOFs 结构结构 位移位移 热热 温度温度 电电 电位电位 流体流体 压力压力 磁磁 磁位磁位 问题问题 自由度自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ1.6 节点和单元节点和单元节点节点:空间中的坐标位置，具有一定空间中的坐标位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。自由度和存在相互物理作用。单元单元: 一组节点自由度间相互作用的一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵矩阵)。单元有线、面或实体以及二。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。维或三维的单元等

7、种类。有限元模型由一些简单形状的有限元模型由一些简单形状的单元单元组成，单组成，单元之间通过元之间通过节点节点连接，并承受一定连接，并承受一定载荷载荷。载荷载荷载荷载荷1.6 节点和单元节点和单元 (续续)信息是通过单元之间的公共节点传递的。信息是通过单元之间的公共节点传递的。分离但节点重叠的分离但节点重叠的单元单元A和和B之间没有之间没有信息传递（需进行信息传递（需进行节点合并处理）节点合并处理）具有公共节点具有公共节点的单元的单元之间存之间存在信息传递在信息传递 .AB.AB.1 node2 nodes1.6 节点和单元节点和单元 (续续)节点自由度是随连接该节点节点自由度是随连接该节点

8、单元类型单元类型 变化的。变化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三维杆单元三维杆单元 (铰接铰接) UX, UY, UZ三维梁单元三维梁单元UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ二维或轴对称实体单元二维或轴对称实体单元UX, UY三维四边形壳单元三维四边形壳单元UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ三维实体热单元三维实体热单元TEMPJPOMNKJIL三维实体结构单元三维实体结构单元UX, UY, UZ1.7 单元形函数单元形函数FEA仅仅求解节点处的仅仅求解节点处的DOF值。值。单元单元形函数形函数是一种数学函数，规定了从节点是一种数学函数，规定了

9、从节点DOF值值到单元内所有点处到单元内所有点处DOF值的计算方法。值的计算方法。因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“形状形状”。单元形函数描述的是给定单元的一种单元形函数描述的是给定单元的一种假定假定的特性。的特性。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。求解精度。真实的二次曲线真实的二次曲线.节点节点单元单元 二次曲线的线性近似二次曲线的线性近似 (不理想结果不理想结果).21.7 单元形函数单元形函数(续续)节点节点单元单元 DOF值二次分布值二次分布.1节点节点 单元单元 线

10、性近似线性近似(更理想的结果更理想的结果)真实的二次曲线真实的二次曲线. . . .3节点节点单元单元二次近似二次近似 (接近于真实的二次近似拟合接近于真实的二次近似拟合) (最理想结果最理想结果).41.7 单元形函数单元形函数(续续)vDOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。v这些平均意义上的典型解是从单元这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来推导出来的（如：结构应力、热梯度）。的（如：结构应力、热梯度）。 nodal solutionelement s

11、olutionUX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ、E1.7 单元形函数单元形函数(续续)v如果单元形函数不能精确描述单元内部的如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs，就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。通过单元形函数推导出来的。v当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受接受该种单元类型所假定的单元形函数。该种单元类型所假定的单元形函数。v在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时有

12、须确保分析时有足够足够数量的单元和节点来精确描述数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。所要求解的问题。1.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题)(11111iiexxxxxxxxeiluuiuuNNuxxuuiiiiiiiii1.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题(续续)v就整个直杆来说，位移函数就整个直杆来说，位移函数U(x)是未知的，但对每是未知的，但对每一单元可以近似地假设一位移函数，它在结点上等一单元可以近似地假设一位移函数，它在结点上等于结点位移。此处，假设单元中的位移按线性分布于结点位移。此处，假设单元中的位移按线性分布 ，即：即：1.8 直杆

13、受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题(续续)v有了位移插值函数，就可以按材料力学公式求出应有了位移插值函数，就可以按材料力学公式求出应变和应力用节点位移表示的公式：变和应力用节点位移表示的公式：iiiiiiluuEixixluudxduixE)(112)()()(1111iiiiiiiillqluuEAluuEA 1.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题(续续)v外载荷与结点的平衡方程外载荷与结点的平衡方程为第为第i个结点上承受的外载荷个结点上承受的外载荷2)(1iillqTqaaEAaEAaEAuuupkuuqauuuqauu)()2()2(432243432321.

14、8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题(续续)v假定将直杆分割成假定将直杆分割成3个单元，每个单元长为个单元，每个单元长为a=L/3，则对结点则对结点2，3，4列出的平衡方程为：列出的平衡方程为：1101210122/aEATkqaqaqap1.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题(续续)EAqaqEAqaEAqauuu222242832521.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题(续续)v联立求解线性代数方程组得：联立求解线性代数方程组得：1.9 有限单元法解题的一般步骤有限单元法解题的一般步骤v结构的离散化结构的离散化v选择位移模式选择位移模式

15、v建立平衡方程建立平衡方程v求解节点位移求解节点位移v计算单元中的应力和应变计算单元中的应力和应变1.9.1 结构的离散化结构的离散化v用有限元法对结构进行应力分析时，首先要将结构用有限元法对结构进行应力分析时，首先要将结构进行离散化。即将一个连续体看成由有限个单元组进行离散化。即将一个连续体看成由有限个单元组成的体系，成的体系，相邻的单元体相邻的单元体仅仅在节点处相连接。在节点处相连接。v所有作用在单元上的载荷都按静力等效的原则移置所有作用在单元上的载荷都按静力等效的原则移置到结点上，并在受几何约束的结点处设置相应的铰到结点上，并在受几何约束的结点处设置相应的铰支座。支座。1.9.2 选择位

16、移模式选择位移模式v在有限单元位移法中，假设结点上的位移是基本未在有限单元位移法中，假设结点上的位移是基本未知量。为了能用单元的结点位移表示单元中的应变知量。为了能用单元的结点位移表示单元中的应变和应力分量，必须假定一个位移模式和应力分量，必须假定一个位移模式(形函数形函数)，也就，也就是说根据单元的结点位移去构造单元上的位移插值是说根据单元的结点位移去构造单元上的位移插值函数。函数。v即对单元假设一个位移差值函数即对单元假设一个位移差值函数(位移模式位移模式)，得到用，得到用节点位移表示单元体内任一点的唯一的关系式节点位移表示单元体内任一点的唯一的关系式eNu1.9.2 选择位移模式选择位移

17、模式(续续)v有了位移模式，就可利用几何关系和应力有了位移模式，就可利用几何关系和应力-应变关系应变关系表出用单元节点位移表示单元中应变和应力的表达表出用单元节点位移表示单元中应变和应力的表达式式eeBDB1.9.3 三角形单元的形函数三角形单元的形函数v基本假定：基本假定：假定单元内假定单元内的位移可以用一个比较的位移可以用一个比较简单的函数来表示，如简单的函数来表示，如线性插值函数。这在单线性插值函数。这在单元划分比较密的情况下元划分比较密的情况下是合理可行的。是合理可行的。yxu321yxv6541.9.3 三角形单元的形函数三角形单元的形函数(续续)v将三角形单元的将三角形单元的3个顶

18、点的个顶点的x方向位移代入位移函数方向位移代入位移函数可求出可求出3个待定系数。个待定系数。1.9.3 三角形单元的形函数三角形单元的形函数(续续)其中：其中：而：而：是三角形是三角形ijm的面积。的面积。1.9.3 三角形单元的形函数三角形单元的形函数(续续)于是可以得到：于是可以得到：令：令：则：则：1.9.3 三角形单元的形函数三角形单元的形函数(续续)v将三角形单元的将三角形单元的3个顶点的个顶点的2个方向位移代入位移函个方向位移代入位移函数可求出数可求出6个待定系数。即可用节点的位移表示内部个待定系数。即可用节点的位移表示内部任意一点的位移：任意一点的位移： emmjjiimjimj

19、iNvuvuvuNNNNNNvuf0000001.9.4 单元中的应变和应力单元中的应变和应力v有了单元的位移模式，就可以借助平面问题的几何有了单元的位移模式，就可以借助平面问题的几何和物理方程，导出用单于的结点位移表示单元中的和物理方程，导出用单于的结点位移表示单元中的应变和应力分量的公式。应变和应力分量的公式。1.9.4 单元中的应变和应力单元中的应变和应力(续续)得到：得到：或简写为：或简写为：1.9.4 单元中的应变和应力单元中的应变和应力(续续)将应变代入物理方程：将应变代入物理方程：可得：可得：即为用单元中的结点位移表示单元中应力的关系式。即为用单元中的结点位移表示单元中应力的关系

20、式。1.9.4 单元中的应变和应力单元中的应变和应力(续续)式中式中D为弹性矩阵，对于平面应力问题，矩阵为：为弹性矩阵，对于平面应力问题，矩阵为：1.9.5 单元的应变能单元的应变能v平面应力状态下，设物体厚度为平面应力状态下，设物体厚度为h，则单元中的，则单元中的应变能为：应变能为：1.9.5 单元的应变能单元的应变能(续续)v将将和和Bi代入上式，应用矩阵相乘的转置的逆序代入上式，应用矩阵相乘的转置的逆序法则，注意到弹性矩阵法则，注意到弹性矩阵D的对称性，有：的对称性，有：1.9.5 单元的应变能单元的应变能(续续)因为矩阵因为矩阵B及及D的元素都是常量，所以可记：的元素都是常量，所以可记

21、：1.9.5 单元的应变能单元的应变能(续续)从而单元的应变能可写为：从而单元的应变能可写为：利用利用=Be，有：，有：1.9.5 单元的应变能单元的应变能(续续)注意到注意到B=Bi Bj Bm，记子矩阵，记子矩阵1.9.6 单元上体积力的势能单元上体积力的势能v物体中常见的体力为旋转离心体力和重力。在平面问物体中常见的体力为旋转离心体力和重力。在平面问题中，体积力在题中，体积力在z轴方向的分力为零，设单元体积中轴方向的分力为零，设单元体积中的体积力为：的体积力为：v单元上体积力具有的势能为：单元上体积力具有的势能为：1.9.7 单元上表面力的势能单元上表面力的势能v设物体边界上一单元某边上

22、受到表面力的作用，单设物体边界上一单元某边上受到表面力的作用，单位长度上所受到的表面力为：位长度上所受到的表面力为：v则单元上表面力的势能为：则单元上表面力的势能为：1.9.8 单元节点上集中力的势能单元节点上集中力的势能v如果弹性物体受到集中力如果弹性物体受到集中力Re的作用，通常划分单的作用，通常划分单元网格时都在集中力的作用点设置结点。设某单元元网格时都在集中力的作用点设置结点。设某单元3个结点上所受到的集中力为：个结点上所受到的集中力为：v于是该单元上集中力的势能是：于是该单元上集中力的势能是： 1.9.9 单元的总势能单元的总势能v我们已经知道由各个单元的位移模式就形成了整个我们已经

23、知道由各个单元的位移模式就形成了整个结构的位移模式。按弹性力学最小势能原理，结构结构的位移模式。按弹性力学最小势能原理，结构中最接近于真实解的位移应该是使结构总势能取得中最接近于真实解的位移应该是使结构总势能取得最小值的那组位移函数。最小值的那组位移函数。v由于在位移函数公式中，结点位移为自变量，这样由于在位移函数公式中，结点位移为自变量，这样就使一个泛函的极值问题变为一个多元函数的极值就使一个泛函的极值问题变为一个多元函数的极值问题。为此我们来讨论单元的总势能关于结点位移问题。为此我们来讨论单元的总势能关于结点位移的表达式。的表达式。v每一个单元的总势能由该单元的应变能以及此单元每一个单元的

24、总势能由该单元的应变能以及此单元上所有外力的势能组成。上所有外力的势能组成。 1.9.9 单元的总势能单元的总势能(续续)v综合前面的几种情况，可以得到单元中的总势能为：综合前面的几种情况，可以得到单元中的总势能为：1.9.9 单元的总势能单元的总势能(续续)v分别引进单元体积力、表面力、集中力向量如下：分别引进单元体积力、表面力、集中力向量如下：1.9.9 单元的总势能单元的总势能(续续)v则单元中的总势能可以表示为：则单元中的总势能可以表示为：1.9.10 物体中的总势能物体中的总势能v把各单元的总势能叠加起来，就可得到整个弹性体把各单元的总势能叠加起来，就可得到整个弹性体的总势能。的总势

25、能。v假设结构离散化后共有假设结构离散化后共有n个结点，将编号为个结点，将编号为 l的结点的结点位移记为：位移记为：v则结构的结点位移向量：则结构的结点位移向量： 是一个是一个2n维的列向量。维的列向量。1.9.10 物体中的总势能物体中的总势能(续续)v可将单元刚度矩阵式用补零的办法由可将单元刚度矩阵式用补零的办法由66的矩阵扩的矩阵扩大到大到2n2n的矩阵的矩阵1.9.10 物体中的总势能物体中的总势能(续续)v如果在物体上划分的单元总数是如果在物体上划分的单元总数是e0，再引进，再引进结构的总刚度阵：结构的总刚度阵：v物体总势能就可写为：物体总势能就可写为：v代入约束条件后的弹性体总势能

26、可以写为：代入约束条件后的弹性体总势能可以写为：1.9.11 建立平衡方程建立平衡方程v可利用最小势能原理建立结构的节点载荷和节点可利用最小势能原理建立结构的节点载荷和节点位移之间的关系式，即结构的平衡方程位移之间的关系式，即结构的平衡方程pK1.9.12 求解结点位移求解结点位移v将边界条件代入线性代数方程组将边界条件代入线性代数方程组 后，后，经计算可求得所有未知的结点位移。经计算可求得所有未知的结点位移。pK1.9.13 计算单元中的应变和应力计算单元中的应变和应力v依据求得的结点位移，由依据求得的结点位移，由可求得单元中任一点的应变和应力。可求得单元中任一点的应变和应力。eeBDB附附

27、1 空间问题的有限单元法空间问题的有限单元法v用有限单元法求解弹性力学空间问题，首先也要将用有限单元法求解弹性力学空间问题，首先也要将连续的空间物体用一系列的单元离散化。连续的空间物体用一系列的单元离散化。v空间问题中，最简单的是四面体单元。离散的空间空间问题中，最简单的是四面体单元。离散的空间结构是这些单元只在节点处以空间铰相互连接的集结构是这些单元只在节点处以空间铰相互连接的集合体。合体。附附1.1 位移模式位移模式v空间问题中，每一个结点有空间问题中，每一个结点有3个位移分量，单元结个位移分量，单元结点位移向量由点位移向量由12个分量组成，分别表示为：个分量组成，分别表示为：附附1.1 位移模式位移模式(续续)v假定单元内的位移分量为坐标的线性函数：假定单元内的位移分量为坐标的线性函数：附附1.1 位移模式位移模式(续续)v将上式中的第一式应用于将上式中的第一式应用于4个结点，则有：个结点，则有：附附1.1 位移模式位移模式(续续)v由上式可解出由上式可解出a1,a2,a3和和a4再代回位移分量的表达再代回位移分量的表达式