2016年空间向量与立体几何单元练习题

1、?空间向量与立体几何?习题一、选择题每题5分，共50分1.如图，在平行六面体ABCDAiBiCiDi中，M为AC与BD的交点.假设A,B =a,AD,=b, A,A=c,那么以下向量中与B1M相等的向量是111 1A. a+ b+cB.a+ b+c222 2111 1C.a-b+cD.a b+c222 22.以下等式中，使点M与点A、A. OM 3OA 2OB OCB、C 一定共面的是B.2OM !qa3ob1OCC. OM OA OB OC 0D.MA MB MC 03.空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1,点E、F分别是AB、AD的中点，贝U EF DC等于B.C.D.4假设a

2、(1, ,2)，b (2, 1,1)，a与b的夹角为600，贝U的值为1 C5. 设 OA (1,1, 2)，OB (3,2,8)，OC (0,1,0)，那么线段 AB 的中点 P 到点 C 的距 离为A. B.C.D. 532 2446. 以下几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是A B C D 7. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的外表积是A. 9 nB. 10nC. 11 nD. 12n8.如图，ABCD-AiBiCiDi为正方体,A. BD /平面 CBiDiB. ACi 丄 BDC. ACi 丄平面 CBiDiD. 异面直线AD与CBi所成的角为60俯视

3、图正(主)视图侧(左)视图9.如图，在长方体 ABCD-AiBiCiDi 中，AB=BC=2,AAi=i,那么 BCi 与平面 BBiDiD所成角的正弦值为C. 555iO. /ABC的三个顶点分别是 A(i, i,2) , B(5, 6,2) , C(i,3, i),那么AC边上的高BD长为A.5 B.4i C.4 D.2 5二、填空题每题5分，共20分11. 设a (x,4,3)，b (3, 2,y)，且 a/b，那么 xy _12. 向量 a (0, 1,1)，b (4,1,0)， a b v29 且 0，贝U =.13. 在直角坐标系xOy中，设A :-2，3，B3, -2，沿x轴把直

4、角坐标平面折成大小为 的二面角后，这时|AB14.如图，PABCD是正四棱锥，ABCD A1B1C1D1是正方体，其中AB 2,PA 6，那么 B1 到平面 RAD的距离为.、解答题共80分2 11，贝U的大小为15本小题总分值12分如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是边长为1 的正方形，侧棱PA的长为2,且PA与AB AD的夹角都等于60°, M是PC的中点，设 AB a, AD b,AP c .1试用a,b,c表示出向量BM ；2求BM的长.16. 本小题总分值14分如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所 得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出单位：cm

5、. 1在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；2按照给出的尺寸，求该多面体的体积；3在所给直观图中连结BC'，证明：BC'/面EFG.17本小题总分值12分如图，在四面体E，F分别是AB, BD的中点.求证：1直线 EF/ 面 ACD ;2平面 EFC 面 BCD .18. 本小题总分值14分如图，点P在正方体ABCD A'B'C'D'的对角线 BD'上，/ PDA=60 .1求DP与CC'所成角的大小；2求DP与平面AA'D'D所成角的大小.DCC'19. 本小题总分值14分一四棱锥P- A

6、BCD的三视图如下，E是侧棱PC 上的动点.1求四棱锥P-ABCD的体积；2是否不管点E在何位置，都有BD丄AE ?证明你的结论；3假设点E为PC的中点，求二面角D AE B的大小.20. 本小题总分值14分如图，四棱锥P ABCD，底面ABCD为菱形，PA 平面ABCD， ABC 60，E，F分别是BC，PC的中点.1证明：AE PD ;2假设H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为 丄6，求2面角E AF C的余弦值.D练习题参考答案一、选择题一 一 一 1 一111丄.1. B1M B1B BM A1A(BA BC)=c+ ( a+b)= a+b+c，应选 A.2 222丄

7、.lK2.由于 M、A、B、C四点共面OM xOA yOB zOC(x, y,z R)且x y z 1选项(A)、(B)、(C)都不正确.由于 MA MB MC 0 MA MB MC所以存在 x 1,y1,使MA xMB yMC MA, MB,MC共面由于M为公共点 M、A、B、C四点共面，应选D.3. v E,F分别是AB,AD的中点,EF / BD且EF 1 EF DC -BD DC2应选B.4.B5.B6.7. Dcos BD, DC8. D 9. D10.由于AD|ab I cosAB ACAB, ACAC1BD,2-1 12EF】BD,2cos12002AD4，所以|BD5,应选A二

8、、填空题11.9丄x轴于C, BDLx轴于D,贝U AB ACCD DBvAC 3, CD 5,|db 2, ACCD 0,CD DB0,AC DB I AC I DB cos(18006cosAB2 (AC Cd Db)2ACCD22(AC CD CD DBDBAC)(2 11)23252222(0 0 6cos ),cos 1 由于 °。1800,120014.以A,B,为x轴，A,D,为y轴，A,A为z轴建立空间直角坐标系设平面FAD的法向量是m (x, y,z)，z 1 得 m ( 2,0,1),'AD (0,2,0), AP (1,1,2) , y 0,x y 2z

9、 0，取TRA ( 2,0,2)，二B1到平面PAD的距离dB1A m三、解答题15.解：1v M是PC的中点，二BM|AI-(BC BP) -AD (AP AB)12b (c a)1a 1b2 2AD 1,PA2,|a |b1,c 2由于ABAD, PAB由于BM1-(a b c),22BM1( a b c)24BM，BM216.解：1如图2由于ABPAD600,ac22( a bb 0, a ca c b c)!12 12 224cos60°12(0 1 1)2所求多面体体积V V长方体V正三棱锥4 4 6284(cm2).33证明：在长方体ABCD ABCD中， 连结 AD，那

10、么 AD / BC .因为E, G分别为AA , AD中点，所以 AD / EG，从而EG / BC .又BC 平面EFG， 所以BC /面EFG .17. 证明：1v E,F分别是AB, BD的中点， EF是厶ABD的中位线，二EF/ AD， AD 面 ACD EF 面 ACD 二直线 EF/面 ACD2v AD 丄 BD EF / AD，二 EF丄 BDv CB=CD，F 是ED的中点，二 CF 丄 BD又 EFG CF=F, 二 BD 丄面 EFCv BD 面 BCD 二面 EFC 面 BCD.18. 解：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系 D xyz .那么 DA (1,

11、0,0)，CC(0,0,1).连结 BD，BD在平面BBD D中，延长DP交BD于H .设 DH (m, m,1)(m 0)，由 DH,DA60 ,由 DADH .DA|dH,cos DA,dH ，可得 2m(2m21 .解得m 上2，所以DH2,-2 ,1 .y2 2 2 0 0111因为 cos DH ,CC-?刍,1近2所以dH,CC 45，即dp与CC所成的角为45“ .2平面AAD D的一个法向量是DC (0,1,0).因为 cos dH,dc所以 DH ,DC 60，可得DP与平面AAD D所成的角为30 .19. 解：1由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥 PABCD的底面是边长为1

12、一 1 2的正方形，侧棱PC丄底面ABCD，且PC=2.Vp abcd Sabcd PC -3 3不管点E在何位置，都有BD丄AE证明如下：连结 AC ,v ABCD是正方形，二BD丄AC PC丄底面 abcd 且 BD 平面 ABCD BD 丄 PC又AC门PC C BD丄平面PAC不管点E在何位置，都有AE 平面PAC 不管点E在何位置，都有BD丄AE解法1:在平面DAE内过点D作DG丄AE于G,连结BGCD=CB,EC=EC,. Rt ECD 也 Rt ECB，二 ED=EB AD=AB，二 EDA EBA，二 BG 丄EA DGB为二面角D EA B的平面角 BC丄 DE, AD /

13、BC,A AD 丄DE在 R ADE 中 DGad deAE=BG在厶DGB中，由余弦定理得cos DGB2 2 2DG BG BD2DG BGDGB=2面角D AE B的大小为23解法2:以点C为坐标原点，CD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示:贝U D(1,0,0), A(1,1,0),B(0,1,0), E(0,0,1)，从而DE ( 1,0,1), DA (0,1,0), BA (1,0,0), BE (0,设平面ADE和平面ABE的法向量分别为m (a,b,c), n (a',b',c')由法向量的性质可得：a c 0,b 0 , a' 0,pE

14、DxCB令 c 1,c'1,那么 a 1,b'1 ,二 m (1,0,1),n (0, 1, 1)设面角D AE B的平面角为，那么cos面角D AE B的大小为20. : 1证明：由四边形ABCD为菱形,ABC 60，可得 ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AE BC .又 BC / AD，因此 AE AD .因为PA 平面ABCD，AE 平面ABCD，所以PA AE .而PA 平面PAD，AD 平面PAD且PA AD A，所以AE 平面PAD .又PD 平面PAD， 所以AE PD .2解：设AB 2，H为PD上任意一点，连接 AH，EH .P由1知AE 平面PAD

15、，那么 EHA为EH与平面PAD所成的角.在 Rt EAH 中，AE 3，所以当AH最短时，EHA最大，即当AH PD时，EHA最大.此时tan EHA 生 3-，AH AH 2因此AH 2 .又AD 2，所以 ADH 45， 所以PA 2 .解法一：因为PA 平面ABCD，PA 平面PAC， 所以平面PAC 平面ABCD .过E作EO AC于O，那么EO 平面PAC ,过O作OS AF于S，连接ES，贝U ESO为二面角E AF C的平面角,在 Rt AOE 中，EO AEsin 303 , AO AE*cos30 -,2 2又F是PC的中点，在Rt ASO中,SO AO sin45 空2 ,4又 SEEO2 SO29 晋，在也 ESO 中，cos ESOSOSE3&30415 ?5即所求二面角的余弦值为于解法二：由1知AE , AD , AP两两垂直,以A为坐标原点, 间直角坐标系，又E , F分别为BC , PC的中点，BC、3, 1 ,0), C(、3,1 ,0), D(0