14级高二数学导数复习题（2）答案

1、导数复习题（二）（参考答案）1解析:(),令,解得. 当时,所以在内是减函数; 当 时,所以在内是增函数. 故函数在处取得最小值. ()由()知,当时,有,即 若,中有一个为0,则成立; 若,均不为0,又,可得,于是 在中令,可得, 即,亦即. 综上,对,为正有理数且,总有. ()()中命题的推广形式为: 设为非负实数,为正有理数. 若,则. 用数学归纳法证明如下: (1)当时,有,成立. (2)假设当时,成立,即若为非负实数,为正有理数, 且,则. 当时,已知为非负实数,为正有理数, 且,此时,即,于是 =. 因,由归纳假设可得 , 从而. 又因,由得 , 从而. 故当时,成立. 由(1)(

2、2)可知,对一切正整数,所推广的命题成立. 2.解：（1）由，得。 1和是函数的两个极值点， ，解得。（2） 由（1）得， ， ，解得。 当时，；当时，是的极值点。当或时， 不是的极值点。 的极值点是2。（3）令，则。 先讨论关于 的方程 根的情况：当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，的两个不同的根为一和2。当时， ，一2 , 1，1 ，2 都不是的根。 由（1）知。 当时， ，于是是单调增函数，从而。此时在无实根。 当时，于是是单调增函数。又，的图象不间断， 在（1 , 2 ）内有唯一实根。同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。 当时，于是是单调减两数。又，

3、 ，的图象不间断，在（一1，1 ）内有唯一实根。因此，当时，有两个不同的根满足；当 时有三个不同的根，满足。现考虑函数的零点：( i ）当时，有两个根，满足。而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。而有三个不同的根，故有9 个零点。综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。3.解析:()考虑不等式的解. 因为,且,所以可分以下三种情况: 当时,此时,. 当时,此时,. 当时,此时有两根,设为、,且,则,于是 . 当时,所以,此时;当时,所以,此时. 综上所述,当时,;当时,;当时,;当时,.其中,. (),令可得.因为,所以有两

4、根和,且. 当时,此时在内有两根和,列表可得1+0-0+递增极小值递减极大值递增所以在内有极大值点1,极小值点. 当时,此时在内只有一根,列表可得+0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点,没有极大值点. 当时,此时(可用分析法证明),于是在内只有一根,列表可得+0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点,没有极大值点. 当时,此时,于是在内恒大于0,在内没有极值点. 综上所述,当时,在内有极大值点1,极小值点;当时,在内只有极小值点,没有极大值点.当时,在内没有极值点. 4【解析】（1）令，。 当时，方程的两个根分别为，所以的解集为。因为，所以。 当时，则恒成立，所以，综上所述，当时，

5、；当时，。（2）， 令，得或。 当时，由（1）知，因为，所以，所以随的变化情况如下表：0极大值所以的极大值点为，没有极小值点。 当时，由（1）知，所以随的变化情况如下表：00极大值极小值所以的极大值点为，极小值点为。综上所述，当时，有一个极大值点，没有极小值点；当时，有一个极大值点，一个极小值点。5.6.【解析】()若,则对一切,这与题设矛盾,又, 故. 而令 当时,单调递减;当时,单调递增,故当时,取最小值 于是对一切恒成立,当且仅当 . 令则 当时,单调递增;当时,单调递减. 故当时,取最大值.因此,当且仅当即时,式成立. 综上所述,的取值集合为. ()由题意知, 令则 令,则. 当时,单

6、调递减;当时,单调递增. 故当,即 从而,又 所以 因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使单调递增,故这样的是唯一的,且.故当且仅当时, . 综上所述,存在使成立.且的取值范围为 . 7. () (). 当b0时,>0在0x1上恒成立, 此时的最大值为:=|2a-b|a; 当b>0时,在0x1上的正负性不能判断, 此时的最大值为: =|2a-b|a; 综上所述:函数在0x1上的最大值为|2a-b|a; () 要证+|2a-b|a0,即证=|2a-b|a. 亦即证在0x1上的最大值小于(或等于)|2a-b|a, ,令. 当b0时,<0在0x1上恒成立, 此时的最

7、大值为:=|2a-b|a; 当b<0时,在0x1上的正负性不能判断, |2a-b|a; 综上所述:函数在0x1上的最大值小于(或等于)|2a-b|a. 即+|2a-b|a0在0x1上恒成立. ()由()知:函数在0x1上的最大值为|2a-b|a, 且函数在0x1上的最小值比(|2a-b|a)要大. 11对x0,1恒成立, |2a-b|a1. 取b为纵轴,a为横轴. 则可行域为:和,目标函数为z=a+b. 作图如下: 由图易得:当目标函数为z=a+b过P(1,2)时,有,. 所求a+b的取值范围为:. 【答案】() 见解析;() . 8.解(1)的定义域为得：时，（2）设则在上恒成立（*）当时，与（*）矛盾当时，符合（*）得：实数的最小值为（3）由（2）得：对任意的值恒成立取：当时， 得：（lb ylfx）当时，得：9、解:. ()因为,所以. 当时,在上为单调递增函数; 当时,在上为单调递减函数; 当时,由得, 由得或; 由得. 所以当时在和上为为单调递增函数;在上为单调递减函数. ()因为 当时,恒成立 当时, 令,则 又令,则 则当时,故,单调递减 当时,故,单调递增 所以在时有最小值,而 , 综上可知时,故在区间单调递 所以 故所求的取值范围为. 另解:由恒成立