复变函数与积分变换重要知识点

1、复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念： z x iy ， x, y 是实数,x Re z , y Im z . i2 1 .注：两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模： z+ y2 ； x22）幅角：在z 0 时，矢量与x 轴正向的夹角，记为 Arg z （多值函数）；主值arg z 是位于( , 中的幅角。3） arg z 与arctan y 之间的如下：x当 x 0,arg z arctan y ；x y 0, arg z arctan y 当 x 0, x； y y 0, arg z arctan xz cos i sin ，其中 arg z ；注：中

2、间一定是“+”号。z ei ，其中 arg z 。4） 三角表示： z 5） 指数表示： z (二) 复数的运算1.加减法：若z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 ，则 z1 z2 x1 x2 i y1 y2 2.乘除法：1）若z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 ，则z1 z2 x1 x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2 ； x1 iy1 x2 iy2 x1 x2x1 iy1+ y1 y2+ i y1 x2 y2 x1z1。 x iy x x iy- iy+ y2+ y2x2x2z222222222222）若z, 则 ei 2 , z izez 11122ei 1 2 ； z

3、1ei 1 2 z z zz1 212zz223.乘幂与方根1）若z 2）若z ，则zn，则。z n (z n ein z (cos i sin ) z ei z (cos i sin ) z ei 2 / 33cos n i sin n )z1 2k 2k 1n(k 0,1, 2 n 1) （有n 个相异的值）z + i sinnz cos nn 3 / 33（三）复变函数（例题 1.1、1.2）1. 复变函数： w f z ，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的2. 复初等函数.；且 ez ez 。1）指数函数： e z ex cos y isin y

4、，在z 平面处处可导，处处注： ez 是以2 i 为周期的周期函数。（注意与实函数不同）2）对数函数： Lnz ln主值： ln z lnz i(arg z 2k ) (k 0, 1, 2 ) （多值函数）；z i a r g z 。（单值函数），且 lnz 1 ；Lnz 的每一个主值分支ln z 在除去原点及负实轴的z 平面内处处z注：负复数也有对数3）乘幂与幂函数： ab。（与实函数不同）(a 0) ； zb ebLna ebLnz(z 0)，且 zb bzb 1 。注：在除去原点及负实轴的z 平面内处处eiz e izeiz e izsin zcos z4）三角函数： sin z , c

5、os z , t gz , ctgz 2i2cos zsin z4 / 33，且 sin z cos z, cos z sin zsin z, cos z 在 z 平面内注：有界性 sin z 1 不再成立；（与实函数不同） 1, cos zez e zez e z5）双曲函数；shz , chz 22，且 shz chz, chz shz 。shz 奇函数， chz 是偶函数。shz, chz 在z 平面内5 / 33函数的概念（例题 2.1-2.4）（四）1复变函数的导数f z0 z f z0 ；1）点可导： f z = lim0 z z 02）区域可导：f z 在区域内点点可导。2函数的

6、概念称 f z 在z0 点1）：；f z 在区域内每一点，称 f z 在区域内2）区域：，称z0 为 f z 的奇点；3）3：、差、积、商（除分母为零的点）仍为函数；函数的复合函数仍为6 / 33函数的和函数；函数的运算法则若 f (z) 在 z0 点不f z 在z0 及其 z0 的邻域内可导，点（五）函数可导与的充要条件1函数可导的充要条件： f z u x, y iv x, y 在 z x iy 可导 u x, y 和v x, y 在 x, y 可微，且在 x, y 处满足C D 条件： u v , u v x y y x此时， 有 f z u i v 。 x x的充要条件： f z u

7、x, y iv x, y 在区域内2函数 u x, y 和v x, y 在 x, y 在D 内可微，且满足C D 条件： u v , u v ； x y y x此时 f z u i v 。 x x注意： 若u x, y , v x, y 在区域D 具有一阶连续偏导数，则u x, y , v x, y 在区域D 内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u, v 具有一阶连续偏导且满足C R 条件时，函数 f (z) u iv 一定是可导或的。3函数可导与1）利用定义的判别（题目要求用定义）7 / 332）利用充要条件 （函数以 f z u x, y iv x, y 形式给出）函数的四则运

8、算定理。（函数 f z 是以z 的形式给出）3）利用可导或8 / 33（六）复变函数积分的概念与性质（例题 4.1）n1复变函数积分的概念： c f z dz lim f k zk ， c 是光滑曲线。n k 1注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2复变函数积分的性质1）f z dz f z dz c （ c 1 与c 的方向相反）； 1c2） c ! f z ² g z dz ! c f z dz ² c g z dz,!, ² 是常数；3） 若曲线c 由c1 与c2 连接而成，则 c f z dz c f z dz cf z dz 。123复变函数积分的

9、计算法1）化为线积分： c f z dz c udx vdy i c vdx udy ；（常用于理论证明）： 设曲线 c ：z z t (! t ² ) ， 其中 ! 对应曲线 c 的起点， ² 对应曲线 c 的终点， 则2 ） 参数²fz dz f z t z (t)dt 。 !c9 / 33（七）关于复变函数积分的重要定理与结论（例题 5.1-5.6）基本定理：设 f z 在1， c 为B 内任一闭曲线，则f z dz 0 c2复合闭路定理：设 f z 在， c 为D 内任意一条简单闭曲线， c1, c2 , cn 是c 内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，

10、并且以c1, c2 , cn 为边界的区域nf z dz f z dz,其中c 与ck 均取正向； ck 1ckf z dz 0 ，其中# 由c 及c 1(k 1, 2, n) 所组成的复合闭路。 #函数 f z 沿闭曲线c 的积分，不因c 在D 内作连续变形而改变它的3闭路变形原理：一个在区域D 内的值，只要在变形过程中c 不经过使 f z 不的奇点。设 f z 在， G z 为 f z 在 B 内的一个原函数， 则4 函数沿非闭曲线 的 积分：z2f z dz G z G z (z , z $ B)2112z1函数 f z 沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。10 /

11、 33说明：于D 内，则B 内多连域D 内B 内积分公式： 设 f z 在区域D 内， c 为D 内任一正向简单闭曲线， c 的全属于D ， z0 为c 内任意一点，则f z dz 2 if z cz z00函数 f z 的导数仍为6高阶导数公式：函数，它的n 阶导数为 f z dz 2 if n z c (z z(n 1, 2 )n 10n!0其中c 为 f z 的z0 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的全属于D 。7重要结论： 1 dz 2 i,n 0 。 (z a)n 1（ c 是包含a 的任意正向简单闭曲线） 0,n 0 c8复变函数积分的计算²1）若 f z 在区域D 内处

12、处不积分法 fz dz f z t z t dt ，用 !c2）设 f z 在区域D 内，定理， c f z dz 0l c 是D 内一条正向简单闭曲线，则由11 / 335区域D 内l c 是D 内的一条非闭曲线， z1, z2 对应曲线c 的起点和终点，则有f z dz f z dz F z F z z2 c 21z13）设 f z 在区域D 内不f z dz 2 i f z cz z0l 曲线c 内仅有一个奇点： （ f (z) 在c 内0 f z 2 i f n z dz c(z z)n 10n! 0nl 曲线c 内有多于一个奇点： f z dz f z dz （ ci 内只有一个奇点

13、zk ）k 1cckn或： f z dz 2 i Re s f (z), zk （留数基本定理）k 1cl 若被积函数不能表示成f z ，则须改用第五章留数定理来计算。)n 1(z zo12 / 33）（例题 3.1、3.2）（八）函数与调和函数的连续偏导数且满足 2% 2% ，%为内的调和0(x, y)D1调和函数的概念：若二元实函数% (x, y) 在D x2 y2函数。2 函数与调和函数的：函数 f z u iv 的实部u 与虚部v 都是调和函数，并称虚部v 为调和函数。l 两个调和函数u 与v的函数 f (z) u iv 不一定是但是若u, v 如果满足方程，则u iv 一定是函数。函

14、数 f z 的实部或虚部，求函数 f z u iv 的3已知。1）偏微分法：若已知实部u u x, y ，利用C R 条件，得 v , v ； x y对 v u 两边积分，得v udy g x （*） y x x13 / 33函数；实部u 的共轭内有 再对（*）式两边对x 求偏导，得（*）由C R 条件， u v ，得 udy g x ，可求出g x ； x x y x 虚部v udy g x 代入（*）式，可求得。 x2）线积分法：若已知实部u u x, y ，利用C R 条件可得dv v dx v dy u dx u dy ， x y y x- udx u dy c ； x, y 故虚部为

15、v y x x0 , y0 ，可选取简单路径（如折线）计算它，其中 x0 , y0 与 x, y 是由区域中的两点。3）不定积分法：若已知实根据函数的导数公式和C R 条件得知，+ i v- i uf z y y将此式右端表示成z 的函数U z ，由于 f z 仍为函数，故f z U z dz c（ c 为实常数）14 / 33 u x u x部u u x, y ，于该积分与路径无关 u y注：若已知虚部v 也可用类似求出实部u.15 / 33（九）复数项级数1复数列的极限1）复数列!n an ibn （ n 1, 2 ）收敛于复数! a bi 的充要条件为（同时成立）lim an a,lim

16、 bn bn n 2）复数列!n 收敛 实数列an ,bn 同2复数项级数 1）复数项级数 !n (!n an ibn ) 收敛的充要条件是级数 an 与 bn 同时收敛；n 0n 0n 02）级数收敛的必要条件是lim !n 0 。n 注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。16 / 33时收敛。（十）幂级数的敛散性 1幂级数的概念：表达式 c(z z或 c为幂级数。)nznn0nn 0n 02幂级数的敛散性 定理(Abel)：如果幂级数 c1）幂级数的收敛定理在 z 0 处收敛，那么对满足 z的一切 z ， znzn00n 0该级数绝对收敛；如果在z0 处发散，那

17、么对满足 z2）幂级数的收敛域圆域的一切z ，级数必 发 散。 z0幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。cn 1 & 0 ，则收敛半径R 1 ；l 比值法如果lim&cnn & 0 ，则收敛半径 R 1 ；l 根值法limc&nn l 如果& 0 ，则R ；说明在整个复平面上处处收敛；17 / 33如 果& ，则R 0 ；说明仅在z z0 或z 0 点收敛； 注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如 c）z2nnn 03幂级数的性质 1）代数

18、性质：设 a 的收敛半径分别为R 与R ，记R min R , R ，nnz ,b znn1212n 0n 0则当 z R 时，有 (! a+ ² b )z ! a （线性运算）+ ²b znznnnnnnn 0n 0n 0 ( an 0 z )(b z ) (a b a b a b )zn（乘积运算）nnnnn 0n 1 10 nn 0n 0 时， g z g z r ， 则当 z2 ） 复合性质： 设当 r 时， f a ， 当且 R 时， Rnznn 0 f gz a gz 。nnn 018 / 33 3）分析运算性质：设幂级数 a的收敛半径为R 0 ，则znnn 0

19、 l 其和函数 f z a是收敛圆内的函数；znnn 0 l 在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且 f z nazn 1 Rznn 0 l 在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；f z dz anz zn 1 Rzn 10n 019 / 33（十一）幂函数的展开展 开 ： 设函数 f z 在圆域f z 可以展开成幂级数1.， 则在此圆域内f n z f z z z ；并且此展开式是唯一的。n00n!n 0注：若 f z 在z0，则 f z 在z0 的展开式成立的圆域的收敛半径R ；z0 a其中R 为从 z0 到 f z 的距 z0 最近一个奇点a 之间的距离。2常用函数在z0=0 的展开式 z

20、2z3zn11） e z 1 z zn zn!2!3!n!n 0 2） 1 zn 1 z z2 zn 1z1 zn 0( 1)n( 1)n 3） sin z n 03 z z5+ zz2n 1 z2n 1 z(2n 1)!(2n 1)!3!5!( 1)nz2n ( 1)n 4） cos z n 02 1 z4+ z z2nz(2n)!2!4!(2n)!20 / 33z z0 R 内3级数的 ，于是 f z c z z1n!f n z n 。1）直接法：直接求出c n0n0n 02）间接法：利用已知函数的数展开。展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等将函21 / 33函数展开成

21、展开（例题 6.1-6.4）（十二）幂函数的 级数的概念： c z z，含正幂 n1.负幂项。n0n 展开定理：设函数 f z 在圆环域R1 2 R2 内处处，c 为圆环域内绕z0 的任意一条正向简单闭z z0 曲线，则在此在圆环域内，有 f z c z z n，且展开式唯一。n0n 3函数的展开法：级数只能用间接法展开。：设 f z 在r *4 R 内，c 为r R 内的任何一条正向简单闭曲线，z z0z z01f z dz 2 ic。其中c则 c为 f (z) 在r R 内展开式中的系数。z z 1 10z z0说明：围线积分可转化为求被积函数的展开式中(z z0 )的系数。 122 /

22、33利用级数求围线积分（十三）孤立奇点的概念与1. 孤立奇点的定义 ： f z 在z0 点不2. 孤立奇点的类型：,但在z0 的0 ¢ 内z z01）可去奇点：展开式中不含z z 的负幂项； f z c c z z c z z 20010202）极点：展开式中含有限项z z0 的负幂项；+ c c (z z ) c (z z g z ,c (m 1)c mc 1f z )2)m 101020(z z)m(z z(z z )(z z)m0000其中g z c (z z 在 z，+ c(z z) c(z z)m 1 c)mm (m 1) 100000且 g z0 0, m 1, c m

23、0 ；3）本性奇点：展开式中含无穷多项z z0 的负幂项；c mc 1(z z )f z + c c (z z ) c (z z )m(z z010m0)m0023 / 33。（十四）孤立奇点的判别1可去奇点： lim f z c0 常数；z z02极点： lim f z z z03本性奇点： lim f z 不且不为 。z z04零点与极点的1）零点的概念：不恒为零的函数 f z ，如果能表示成 f z (z z0 ) % z ，m其中% z 在z0，% z0 0, m 为正整数，称z0 为 f z 的m 级零点；2）零点级数判别的充要条件 f n z 0,(n 1, 2, m 1)z 是

24、f z 的m 级零点 0 0 z 0m f01f z ： z 是 f z 的m 级零点 z 是3）零点与极点的的m 级极点；004）重要结论24 / 33若 z a 分别是% z 与m 级与n 级零点，则l z a 是% z ( z 的m n 级零点；l 当m n 时， z a 是% z 的m n 级零点；( z 当m n 时， z a 是% z 的n m 级极点；( z 当m n 时， z a 是% z 的可去奇点；( z l 当m n 时， z a 是% z ( z 的l 级零点， l min(m, n)当m n 时， z a 是% z ( z 的l 级零点，其中l m(n)25 / 33

25、( z 的（十五）留数的概念1留数的定义设 z0 为 f z 的孤立奇点， f z 在 z0 的去心邻域0 ¢ 内， c 为该域内包含z0 的任一正向简单闭z z011f z dz 为 f z 在 z 的留数（或残留），Re s f z , z f z dz曲线，则称积分2 i c记作2 i c002留数的计算若 z 是 f z 的孤立奇点，则Re s f z , z c，其中c为 f z 在 z 的去心邻域内展开式中(z z) 1 的 1 10000系数。1）可去奇点处的留数：若z0 是 f z 的可去奇点，则Re s f z , z 002） m 级极点处的留数若z0 是 f z

26、 的m 级极点，则法则Idm 11Re s f z , z f z limm 1 (z z0 )m(m 1)! z z0 dz026 / 33特别地，若z0 是 f z 的一级极点，则Re s f z , z lim(z z0 ) f z z z00注：如果极点的实际级数比m 低，上述规则仍然有效。法则II设 f z P z ， P z , Q z 在z， P z 0,Q z 00Q z 0, Q z 0 ，则Re s P z , z P z0 Q z Q z 000027 / 33（十六）留数基本定理（例题 7.1-7.7）设 f z 在区域D 内除有限个孤立奇，c 为D 内包围诸奇点的一条

27、正向简单闭曲线， f z dz 2 i Re s f z , zn 则 cn 1说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数 f z 在c 内各孤立奇点处留数的局部问题。28 / 33点z1, z2 , zn 外处处积分变换复习提纲（例题 8.1-8.4）一、叶变换的概念 F f (t) f (t)e j wtdt F (w)F 1F () 1 )ed) f (t)tjF (2 二、几个常用函数的叶变换1² j) Fe(t) 1j) ¢ ()Fu(t) F¢ (t) 1 F1 2 ¢ ()三、叶变换的性质l 位移性（时域）：- jwtF f (t t0 ) e0F f (t)29 / 33l 位移性（频域）：Fe j w0tf (t) F (w) F (w w )w w w00l 位移论： Fsin w t f (t) - F (w w )002论： Fcos w t f (t) 1 F (w w ) F (w w )l 位移0002l 微分性（时域）： F f (t) ( jw)F (w)（ t , f (t) 0 ），F f (n) (t) ( jw)n F (w) ， t , f(n 1) (t) 0l 微分性（频域）： F( jt)