Mathematica导数、积分、方程等的数值计算

1、精品文档第4章导数、积分、方程等的数值计算在上一章的符号运算中已经指出，有些数学问题的解可以用一个解析式（数学公式）精确地表示出来，而另一些问题则不能。遇到这种情况时，人们常会转而去求它的近似数值解，所谓近似数值解是指按照某种逼近思路，推导出相应的迭代公式，当给定一个适当的初始值（或称初始点）后，由迭代公式就可产生一系列的近似解（点），从而一步一步的去逼近原问题的精确解（点）。在迭代过程中所有的计算（按迭代公式）都是对具体数值进行的，或者说计算的主要对象是具体的数值（主要是实数）004.1 函数值与导数值的计算4.1.1 函数值的计算在Mathematica系统里，计算函数值的过程同数学里的情

2、况基本相似？Note：先定义函数表达式，再作变量替换。4.1.2 导数值的计算Note：先定义函数表达式，再求导函数，最后作变量替换。4.2 定积分与重积分的数值计算4.2.1 定积分的数值计算在Mathematica系统中为我们提供的对定积分进行近似数值计算的函数是NIntegrate,它的调用格式如下：NIntegratef（x）,x,a,b式中f（x）为被积分函数，x为积分变量启为积分下限，b为积分上限，有时a可取到-oo,b可取到+OO?4.2.2 重积分的数值计算1 .矩形区域G:a&x&b,c&y&d上的二重积分/-didy,可将它转化为二次定积分如下:G“，rbrbZ=/(八了)

3、dwdy=|口dyldrJrJ仃juj/对此VLithrnKilica系统给出的iJAj用函数格式如下：Nln1egrHle_/(i.),km1,y,1Note:先又ty积分，再对x积分2 .一般(有界)区域G上的二重积分(*先对积分,再对口(*先对h积分,再对：:积分* )，积分* )NIntegratefx,y,x,x1,x2,y,y1x,y2xOrNIntegratefx,y,y,y1,y2,x,x1y,x2yZhouer3 .一般区域上的多重积分精品文档1例6已知上半球体X2+/+，三,内某韩物质的密发分布函数为H=1一试求此半球的总质量对(设=3)口由重积分的物理意义知Qftar上，

4、,y力;r=3;ct=14-;h1=0;s2=Sqrtr*yl=-Sqrtr*r-a:*jfjy2-ylxl=-r;x2-+r;33=Integrate.upIs,aIj;j4=IntegrateIb3,?yfyL,_y21ij5=Integrate54*11#2打：M=Nj5j二120.1664.3 方程的近似根对于一般的高次代数方程与般的超越方程，由于不存在精确的求根公式,因而不能利用符号运算求解，可供选择的另一途径便是去求它的近似数值解口我们在高等数学里学过的近似求根方法有对分法、割线法与切线法等，其中切线法又称牛顿法，由于它具有较高的逼近精度与较快的收敛速度，常为人们所采用，它的迭代公

5、式是”与(兴广在Mathemadca系统里为我们提供的调用函数是FMlRml,其调用格式是FindRooijytx)=0/#式中/(*)=0为给定的求根方程并为未知量，和为选定的初始点，即迭代公式中超的初值,。的选取可以有多种方法，我们用具体例子说明如下兽牛顿迭代法的几何解释在X0处作曲线的切线，切线方程为y=f(Xo)+f(Xo)(X-Xo).令y=0,可得切线与x轴f(Xn)的交点横坐标Xi=Xo-，,这就是牛顿法的迭代公式.因此，牛顿法又称切线法”.f(Xo)X分析法（零点存在定理）图形法随机生点法例1求方程COSX-X=0的实根为了得到一个初始点我们可以先采用分析方法二令/（与）=CO

6、S工易知/（4）在区间（-+8）上连续可微，而且/（0）0,/（1）0.由八灾）在区间0,1上的连续性知，在0上必有一点却使f（&）=o,不妨将检取为0,1的中点，即须=0.5,有FindRootCosx-4=0/5二|4fo.739085【例2】求方程r-5*+1=0的一个实根口这是一个5次代数方程，很可能有5个实根,为了找到一个初始点榆,我们还可采用图形法如下I令y=-5/+1,利用PMt函数画出这条平面曲线,观察此曲线同Ox轴的交点的横坐标片的大致位置便是一个初始点（弧的纵坐标址均为0,如图4-2Q）所示。或者令以=/,%=5工-1,利用Plot函数画出这两条平面曲线,在它们的交点皿处，

7、M的横坐标须的大致位置便是一个初始点Plot5-5*K1/，-%4打或巴血%55*#-lJxt-4,4|【例3】求方程组的一个实根力sina-cosy=0.1利用画图法找此例的初始点有一些麻烦,我们将使用第3种办法，即随机生点法来得到函数Randomll（*生成一个。与I之间的随机数*）函数RandcmRe&*B*生成一个以与5之间的随机数*）观察所给方程组知，在口与。与的范围内很可能存在实根，故不妨取却=Rnndom加二RandonJ,则有:FindRootIx+y=J,Sin-Co&#=0.11JH,Rflndam口I,Iy.Random口I=14fo.856I86,yf0.143832（

8、4.4 常微分方程数值解在利用符号运算寻求常微分方程的解（含通解与待解）时,为了保证初等函数形式解的存在,必须常常将微分方程的类型限制在线性常系数的狭窄范围内口对于求解一般的变系数线性方程以及更为广泛的非线性方程.则必须采用近似求解，特别是近似数值求解的办法。常见的近似数值求解方法有欧拉折线法、阿当姆斯法、龙格-库塔法与吉尔法等。其中由于龙格-库塔法的精度较好，计算量适中，常为人们采用口近似数值求解的最大优点是不受方程类型的限制，即可以求任何形状微分方程的解（当然要假定解的存在），但是求出的解只能是数值的（即数据形式的）解函数由在M时em疝恒系统里为我们提供有求微分方程数值待解的函数NDSoIvb,它的蠲用格式如下：IWSoWH微分方程,初始条件|,未知函数自变量范围HNDSoivKI微分方程组，初始条件未知函数1,未知函数2,1J自变量篦国口【例1J求方程y=C3+Binj在区间0.20上满足条件r（0）=1的特解口In11；=it=NDSalvcIyr%=-Cosx+Sinyl=11刘Outl=|,fIn度qxJatingFunciiMiHO.,2。I,H求得的未知函数y是一个在区间以鬼1上具有内插特征的数据形式的函数，为了能够直观地看到武式）的形状，不妨利用Pkt函数将它的图