第三章-多维随机变量及其分布-习题).

1、习题三一、填空题1.设 X 与Y 两随机变量 , 且 P(X0， Y 0）=3，P(X0）4, P（Y0）4, 则777P(max（ X， Y） 0）5/7 .2.设二维随机变量(X , Y) 的联合概率分布为YX123101161221116663110126则关于 X 的边缘分布律为.X12311/41/21/43若（ X， Y）的联合分布律为X123Y11/61/91/1821/3,应满足条件是1 .若 X 与Y 相互独立则= 2/9,=1/9；34.设 X 与Y 独立同分布, 且 X 的分布律为P( X0)0.5, P( X1)0.5 ,则随机变量Zmax X ,Y 的分布律为P(Z=

2、0)=0.25, P(Z=1)=0.75；5.设二维随机变量(X ,Y ) 的联合概率密度为fx, y1 0x 1,0y10其他则概率 PX 0.5,Y0.6 =_0.3_ 。6.设(X, Y ) 联合概率密度为f ( x, y)Ae ( 2 x 3y ) , x, y0则系数 A=6 ；0,其他7. 设二维随机变量( X , Y) 的联合概率密度为fx, ycx2 y,x2y1, ，则 c=0,其它 .21/4。8. 设二维随机变量（X， Y ）的概率密度为f ( x, y)4.8 y(2x) 0x1, 0 yx0其它xx)dy2.4x2 ( 2 x)0 x 1则关于 X 的边缘概率密度是f

3、 X ( x)4.8 y( 20.0其它9. 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且X 在区间0,2 上服从均匀分布，Y 服从参数为 1的指数分布，则 P XY111.2e10. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0, 3 上的均匀分布，则P max X , Y 1 = 1/9 .11.若XN(1, 12), Y N(2 ,22 ), 相互独立 , k1 Xk2Y 服从分布为2222N (k1 1 k2 2 , k11k2 2 ) .12已知 X1, X 2 , X n 独立且服从于相同的分布函数F ( x) ，若令max( X1, X 2, X n ) ，则的分布函数F ( x)=

4、 F n ( x) .二、选择题1. 设随机变量 ( X , Y)的分布函数为F ( x, y) ，其边缘分布函数FX ( x) 是（ B）A lim F ( x, y); BlimF (x, y);C F ( x,0);D F(0, x).yy2.同时掷两颗质体均匀的骰子, 分别以 X,Y 表示第 1颗和第2 颗骰子出现的点数 ,则（ A）（A） PXi, Yj1 , i , j 1,2, 6 .（ B）136（C） P XY（ D）.2P XY1.36P XY1.23设随机变量 X 与 Y 相互独立，它们的概率分布依次为X-11Y-11p1/21/2p1/21/2则下列各式正确的是（C）（

5、A ） X=Y.（ B）P X=Y=0 .(C) P X=Y=1/2.(D) P X=Y=1.4. 设（ X，Y）的联合概率密度函数为f (x, y)6x 2 y,0 x 1,0 y1, 则下列结0，其他论中错误的是（B） .（ A ）(,)( , ).（ B）2.PX YGf x y dxdyP( X ,Y)G6x ydxdyGG（C） P XY10 dx0x 6x2 ydy .（ D） P( X Y)f ( x, y)dxdy .xy5. 设二维随机变量X , Y的联合概率密度为 f1/,x2y21x, y其它，则 X,Y0,满足（ C）（A ）独立同分布 .（ B）独立不同分布 .（C）

6、不独立同分布 .（ D）不独立也不同分布 .6. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且分别服从N0,1 和 N 1,1，则（ B）（A ）（C）11P(XY0).（B） P(X Y 1).2211P(XY0).（D） P(X Y 1).227. 设X与 Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为FXx , FYy ， 则Zmin( X ,Y )的分布函数为（D ）（A ） FZ zFX x .（B ） FZ zFY y .（C） FZzminFXx , FYy. （ D ） FZ z 11FXx1FYy.8.若X N(1, 12),Y N(2 ,22),且 X与 Y相互独立 ,则（C）（A）X

7、YN( 12,( 12)2). （B） X Y N( 12, 1222).（ C）X2 N(122,24 2 ).（D）2X Y N(2122) .Y122,2 129.已知 X N(3,1)， Y N (2,1) ，且 X ,Y 相互独立 , 记 ZX2Y7,则Z （A）（A） N(0,5).（B） N(0,12) .（C） N(0,54) .（D） N(1,2).10. 设 X1,X2, X n 相独立且都服从N (, 2 ) , 则下式成立的是（B）（B） 1(X12（A） X1X 2X n .X 2X n ) N ( ,) .nn（C） 2X13N(23,423) .（D） X1X2

8、N(0,2212 ) .三、 计算下列各题1. 一个箱子装有 12 只开关，其中 2 只是次品， 现随机地无放回抽取两次， 每次取一只，以 X 和Y 分别表示第一次和第二次取出的次品数，试写出X 和 Y 的联合概率分布律。P( X0,YC101 C9145P( X1, YC21C10110解 .0),0),.C121 C11166C121 C11166P(X0,YC101 C 2110P( X1,YC 21C1111),1)66C121 C11166C121 C1112. 袋中有 1 个红色球， 2 个黑色球与 3 个白色球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 X，Y，分别表示两次去求所取

9、得的红球、黑球与白球的个数，求（1）二维随机变量X , Y 的联合概率分布律; （2） X，Y 的边缘分布律。解：（ 1） X ， Y 的取值范围为0,1,2，故PX0,Y0C31C311, PX1,Y 01, PX2,Y 01C61C6146,36PX0,Y11 , PX1,Y11 , PX2,Y10,39PX0,Y21X1,Y20, PX2,Y20, P9X012Y01/41/61/3611/31/9021/900（ 2）XP01225/365/181/36Y012P4/94/91/93. 设随机变量 X 在 1,2,3,4 四个整数中等可能取值， 另一个随机变量 Y 在 1X 中等可能取

10、一个整数值，求（ 1） (X , Y) 的联合分布律； （2） X， Y 的边缘分布律。解：由题意Xi ,Yj, 其中 i1,2,3,4, ji , j 为整数 ，则由概率的乘法公式有P X i ,YjPXi P Yj Xi1 11 ,i1,2,3,4, j i .4 i4i因此X1234p jY11/41/81/121/1625/48201/81/121/1613/483001/121/167/4840001/163/48pi1/41/41/41/414. 已知随机变量 X , Y 的概率分布：X101Y01P1/41/21/4P1/21/2且 P(XY0) 1.（ 1）求 X , Y 的联

11、合分布， （2）问 X , Y 是否独立？为什么？ .解因为 P( XY0) 1,所以,有 P(X1,Y 1)P( X1,Y 1) 0,YX-101P j（ 1）设 X , Y 的联合分布为0P11P21P311/210P2201/2Pi.1/41/21/41则 p11 0.25, p 310.25, p 220.5, 由于 p 21p 220.5, 故 p 21 0.5 0.5 0因此 , ( X , Y)的联合分布律为YX-10101/401/4101/20(2)由于 p2100.50.5, 故 X 与 Y不相互独立 .5. 假设随机变量 X 和 Y 相互独立，都服从同一分布：XP0121

12、/41/21/4Y012P1/41/21/4求概率 PXY解注意，两个随机变量同分布，并不意味着它们相等，只说明它们取同一值的概率相等由全概率公式及X 和 Y 相互独立，可见P XY PX0,Y0 PX1,Y 1P X2,Y2P X0P Y0 P X 1 PY1P X2PY 22229 111242166. 设随机变量( X ,Y ) 的联合密度为k 6x y ,0x2,2y4（ ， ），fx y0,其它求：（ 1）系数 k； （ 2） PX1, Y3；（3）PXY4。解：（ 1）f ( x, y)dxdy42k (6xy)dx8k1k1 .2dy081 13（2）P X1,Y33xdy(6y

13、)dx.20 88（3）PX Y 4=4dy4y 1220(6 x y)dx.837.设二维随机变量( X , Y) 的概率密度为 f ( x, y)Aey ，0xy ，求（ 1）常数 A（ 2）0,其它随机变量 X ,Y 的边缘密度， （ 3）概率 P( XY1)。解 （1）f（x, y)dxdyAdxeyA ,得A1 .0xdy（ ）f X( x)eydy ex, f X ( x)e x , x 0，同理f Yye y , y 02 x 0,x( y)0,x00,y 011x1(3)P( XY1)f (x, y)dxdye2e 2 .2 dxe y dy 11x y10x8.假设一微波线路

14、有两个中间站，它们无故障的时间X 和 Y 是随机变量，其联合分布函数为1e0.01xe0.01ye0.01( xy)，若x，0y0F (x, y)0，若不然(1) 求两个中间站连续 100 小时无故障的概率；(2) 证明 X 和 Y 相互独立解 (1) 连续 100 小时无故障的概率P X 100, y1001F (100,)F (,100)F (100,100)1e 1e 1e 212e 1e 20.1353(2) 现在证明 X 和 Y 相互独立以 F1 ( x) 和 F2 ( y) 分别表示 X 和 Y 的分布函数，则F1 ( x) F ( x,) 1 e 0.01x，F2 ( y) F

15、(, y) 1 e 0.01 y；由于 F ( x, y)F1( x) F2 ( y) ，可见 X 和 Y 相互独立9. 设二维随机变量x21xy, 0x 1,0 y 2,( X , Y) 的概率密度为 f x, y30,其它 .求：（ 1）关于 X 和关 于 Y 的边缘密度函数，并判断X 与 Y 是否相互独立？（2）PXY1。解：（ 1）fXxfx, y dy21 xy dy,0 x 12x22x2，033x 0 x 10,0,其它其它fY yfx, y dx1x2 1 xydx,0y2y1 ， 0 y 236300,其它0,其它由于 f (x, y)f X ( x) fY ( y),所以

16、X 和Y不独立 .（2）P XY1fx, y dxdy 10dx0x21 xy dy65.1x 1D3729. 雷达的圆形屏幕的半径为 R ，设目标出现点 ( X ,Y ) 在屏幕上均匀分布， （ 1）求 X ,Y 的边缘概率密度， （ 2）问 X ,Y是否独立？解1/(R2 ),x2y 2R 2f (x, y)0,其它R2x212R2x2(1)f X ( x)f ( x, y) dy22R2dyR2, | x | RRx0,其它同理 fY ( y)2R2x2,| y |RR20,其它(2)f (x, y) f X (x) f Y ( y),所以 X和 Y不独立 .10. 设两个独立随机变量

17、X 与 Y 的分布律为P( X1)0.3, P( X 3)0.7, P(Y2) 0.6 , P(Y4)0.4,求（1）ZXY 的分布律， （2）WXY 的分布律 .解 由独立性可得（ X,Y）（1， 2） （1，4） （3，2） （3，4）P( X x,Yy)0.180.120.420.28XY3557XY1311所以 ZXY 的分布律与 WXY 的分布律分别为Z357W311P0.180.540.28P0.120.460.4211. 设随机变量 ( X, Y ) 的联合概率密度f（ ， ）3x， 0 x 1, 0 y xxy0,其它,求 ZXY 的概率密度。0,z0zx1x31z3 ,解F

18、Z ( z)P(X Yz)dx3 xdydxx3 xdyz0z 100zz221,z1所以 , Z的密度函数为fZ (z)33 z2 ,0z122.0,其它12.设二维变量 (x, y) 的概率密度为f ( x, y)2xy0x1, 0 y10其他求 (1)P X2Y ；(2)zXY的概率密度。解： (1)P X2(2x)dxdy，其中 D 为0x1,0y1 中 x2y 的那部YyD分区域；PX2Y11 x(2xy)dy求此二重积分可得dx20015 x2 )dx( x08724(2)FZ ( z)PZzPXYz当 z0 时，FZ ( z)0；当 z2 时， FZ (z)1 ；1 z3当 0

19、z1时， FZ (z)zdxz(2 x y)dyz2x003当 1 z2 时， FZ (z) 111(2xy)dy1z32z24z5z1dxzx332zz2 ,0z1于是 fZ ( z)z24z4,1z2 .0,其他13.已知随机向量 ( X ,Y ) 的概率密度为x，若0x, y，f ( x, y)y10，其他求随机变量 UXY 的概率密度f (u) 解对于u0 和 u2 ，显然 f (u) =0(1)设 0u1 注意到，当xu 时 f ( x,ux) =0因此，由二随机变量之和的概率密度公式，有f (u)f (t ,uu(tu t)dtu2t)dt0(2) 设 1 u2注意到当 xu1时

20、f ( x, ux)0 由二随机变量之和的概率密度公式，有f ( u)f (t,ut )dt1ut)dtu(2u) (tu 1于是，随机变量 UXY 的概率密度u，若 0u1，f (u)，若1u2，u(2 u)0 ，其他14设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为fte t ,t0(t )0t0并设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周（ 2）三周的需要量的概率密度。解：（ 1）设第一周需要量为X，它是随机变量设第二周需要量为Y，它是随机变量且为同分布，其分布密度为te t ,t0f (t )0t0Z=X+Y 表示两周需要的商品量，由X 和 Y 的独立性可知：xe x ye yx

21、0, y0f ( x, y)其它0 z 0当 z< 0 时， fz (z) = 0当 z> 0 时，由和的概率公式知f z (z)f x (zy) f y ( y)dyz( z y) ye y dyz3e z(z y)e06f z ( z)z3e z ,z060z0（ 2）设 z 表示前两周需要量，其概率密度为z3e z ,z0f z ( z)60z0设 表示第三周需要量，其概率密度为：xe x ,x0f(x)0x0z 与 相互独立 = z + 表示前三周需要量则： 0，当 u<0，f (u) = 0当 u> 0 时f(u)f (uy) f( y)dyu 1(uy)3e

22、(u y)yeydy065ue u120所以 的概率密度为f(u)u 5e uu01200u015.假设 G( x, y):0 x 2, 0 y 1 是一矩形， 随机变量 X 和 Y 的联合分布是区域G 上的均匀分布考虑随机变量0，若X，0，若X2Y，UYV，若X；，若X1Y12Y求 U 和 V 的联合概率分布解易见 ， 若 (x, y)G ， 则 随 机 变 量 X 和 Y 的 联 合 密 度 为 f ( x, y)12，否则f ( x, y)0 1，若()，f ( x, y)2x, yGG，若(0x, y)直线xy和 x2y 将 G 分为三部分 (见插图 )：G1x，yyG2 yx 2 y ， G3 x2 y 易见x= yx =2yP XYP( X,Y)G11 ，1G241，G1P YX2YP( X ,Y)G2 G