第三版详细《概率论与数理统计》课后习题答案.-.

1、习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时 , 连续 5 次都命中 , 观察其投篮次数 ;解：连续5 次都命中，至少要投5 次以上，故15,6,7,；(2) 掷一颗匀称的骰子两次 , 观察前后两次出现的点数之和 ;解：22,3,4,11,12；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0 到无穷，所以30,1,2,；(4) 从编号为 1，2， 3， 4， 5 的 5 件产品中任意取出两件 , 观察取出哪两件产品 ; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：4i , j 1ij5 ;(5) 检查两件产品是否合

2、格 ;解：用 0 表示合格 , 1 表示不合格，则50,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1 ；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于 T1, 最高气温不高于 T2); 解：用 x 表示最低气温 , y 表示最高气温 ;考虑到这是一个二维的样本空间，故：6x, y T 1xyT2；(7) 在单位圆内任取两点 , 观察这两点的距离 ;解：7x 0x2 ；(8) 在长为 l 的线段上任取一点 , 该点将线段分成两段 , 观察两线段的长度 .解：8x, y x0, y0, xyl；1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; ABC；(2)A 发生, 且 B 与 C 至

3、少有一个发生;A(B C)；(3)A,B,C 中至少有一个发生;ABC ；(4)A,B,C 中恰有一个发生 ; ABCABCABC ；(5)A,B,C 中至少有两个发生;ABACBC ；(6) A,B,C 中至多有一个发生; ABACBC ；(7) A;B;C 中至多有两个发生 ; ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生. ABCAB CABC；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。1.3 设样本空间x 0x2 , 事件 A = x 0.5x1 , Bx 0.8x 1.6具体写出下列各事件：(1)AB ; (2)A B ;(3)AB;(4) A B（1） ABx 0.8x1 ；(2

4、)A B= x 0.5x0.8；(3)AB = x0x0.50.8x2 ;(4)AB = x0x0.51.6x21.6 按从小到大次序排列P( A), P( AB), P( AB), P( A)P(B) , 并说明理由 .解：由于 ABA, A( AB), 故 P( AB)P( A)P( AB) ，而由加法公式，有：P( AB)P(A)P(B)1.7解： (1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：P(WE)P(W )P(E)P(WE)0.175(2) 由于事件 W 可以分解为互斥事件 WE,WE ，昆虫出现残翅 , 但没有退化性眼睛对应事件概率为： P(WE ) P(W ) P(WE )

5、 0.1(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：P(W E )1P(WE)0.825.1.8解： (1) 由于 ABA, ABB ，故 P( AB)P( A),P( AB)P( B), 显然当 AB 时 P(AB)取到最大值。最大值是0.6.(2) 由于 P( AB )P( A)P(B)P( AB) 。显然当 P( AB)1时 P(AB) 取到最小值，最小值是0.4.1.9解：因为P(AB) = 0，故P(ABC) = 0.A, B, C 至少有一个发生的概率为：P(ABC)P( A)P(B)P(C)P( AB)P(BC)P( AC)P( ABC)0.71.10解（1）通过作图，可以

6、知道，P( AB )P( AB)P(B)0.3（2） P( AB)1P(AB)1(P(A)P( AB)0.6(3)由于P( AB)P( AB)1P(AB)1(P(A)P(B)P(AB)1 P( A) P(B) P(AB) P(B) 1 P(A) 0.71.11解：用 Ai 表示事件“杯中球的最大个数为i 个”i =1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有44464 种，每种放法等可能。对事件 A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法34×3×2 种，故 P( A1)8(选排列：好比3 个球在 4 个位置做排列)。对事件 A3 ：必须三球都放入一杯中。放法有4 种。 (只需

7、从 4 个杯中选 1 个杯子，放入此 3个球，选法有 4 种 )，故 P( A3 )1。 P( A2)1 31916816161.12解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。 .出现点数和为“3”对应两个基本事件 （1，2），（2，1）。故前后两次出现的点数之和为3的概率为 1 。18同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5 的概率各是 1 ,1 。12 9(1) 1.13解：从 10 个数中任取三个数，共有 C103120种取法，亦即基本事件总数为120。(1) 若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得 5，再从大于 5 的四个数里取两个， 取法有C426 种，故

8、所求概率为1 。20(2) 若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得 5，再从小于 5 的五个数里取两个，取法有 C5210 种，故所求概率为1 。121.14解：分别用A1, A2 , A3 表示事件：(1) 取到两只黄球 ; (2) 取到两只白球 ; (3) 取到一只白球 , 一只黄球 .则P( A1)C822814, P(A2)C4261 , P(A3) 1 P(A1) P(A2)16 。C1226633C1226611331.15P( A B) B)P( AB) (BB)解： P( A B) B)P(B)P(B)由于 P(BB)P( AB)P(A) P(AB)0.50，故 P(A B)

9、 B)P(B)P(B)1.16(1) P( A B); （2） P(AB);解：（ 1） P( AB)P(A) P(B)P( AB)1P(B)P(A B)10.40.50.8;（2） P(AB)P( A)P(B)P( AB)1P(B)P( A B)10.40.50.6;注意：因为 P( A B)0.5 ，所以 P(A B)1P( AB)0.5 。1.17解：用 Ai 表示事件“第 i 次取到的是正品”（ i1,2,3 ），则 Ai 表示事件“第i 次取到的是次品”（ i 1,2,3 ）。 P( A1 )153 ,P(A1A2)P( A1) P( A2 A1)3142120441938(1) 事

10、件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为：P( A3A15。A2 )18(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：P( A1A2A3) P( A1 )P( A2 A1) P( A31514535A1A2 )1918228201（3）事件“第三次取到次品”的概率为：4此题要注意区分事件（1）、 (2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品， 一个为正品， 一个为次品。 用 Ai 表示事件 “第 i 次取到的是正品” （ i1,2 ），则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为：() 1；而事件P A2A1“第二次才取到次品”的概率

11、为：P( A1A2) P( A1)P( A2 A1)1。区别是显然的。21.18。解：用 Ai (i0,1,2) 表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数i ”。用 B 表示事件“从第二箱中取到的是次品” 。则 P( A )C12266, P(A )C121C2124, P(A )C221 ,0C142911C142912C14291123P( B A0)12 ， P(B A1)12 ， P(B A2)12 ，根据全概率公式，有：3P( B)P( A0) P( B A0)P( A1) P(B A1)P( A2) P( B A2 )281.19解：设 Ai (i1,2,3) 表示事件“所用小麦种

12、子为i 等种子”，B 表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”。则 P(A1)0.92,P(A2 ) 0.05,P(A3 ) 0.03, P(B A1 ) 0.5， P(B A2 )0.15，P(B A3)0.1，根据全概率公式，有：P(B)P( A1 )P(B A1)P(A2 )P(B A2 )P( A3 )P(B A3 )0.47051.20解：用 B 表示色盲， A 表示男性，则A 表示女性，由已知条件，显然有：P( A) 0.51, P( A )0.49, P(B A)0.05, P(B A) 0.025, 因此：根据贝叶斯公式，所求概率为：P(AB)P( AB)P( A)P(B A

13、)102P(AB)P(AB) P( AB) P(A)P(B A) P( A)P(B A)151P(B)1.21解：用 B 表示对试验呈阳性反应，A 表示癌症患者，则A 表示非癌症患者，显然有：P( A) 0.005, P( A)0.995, P( B A) 0.95, P(B A)0.01,因此根据贝叶斯公式，所求概率为：P( AB)P( AB)P(AB)P( A)P(B A)95P(B) P(AB) P( AB)P(A)P(B A) P(A) P( B A)2941.22(1) 求该批产品的合格率 ;(2) 从该 10 箱中任取一箱 , 再从这箱中任取一件 , 若此件产品为合格品 , 问此件

14、产品由甲、乙、丙三厂生产的概率各是多少 ?解：设， B1 产品为甲厂生产 , B2 产品为乙厂生产 , B3 产品为丙厂生产 ,A 产品为合格品 ，则（1）根据全概率公式，P(A)P(B1 )P( AB1)P(B2 )P(A B2)P(B3)P(A B3)0.94 ，该批产品的合格率为0.94.（2）根据贝叶斯公式，P(B1 A)P(B1)P(A B1)19P(B1)P( A B1) P(B2 )P(A B2) P(B3)P(A B3) 94同理可以求得 P( B2 A)27,P(B3A)24，因此，从该 10 箱中任取一箱 , 再从这箱中任取9447一件 , 若此件产品为合格品, 此件产品由

15、甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：19,27,24。9494471.23解：记 A=目标被击中 ，则 P( A)1P( A) 1 (1 0.9)(1 0.8)(1 0.7)0.9941.24解：记 A4 =四次独立试验，事件A 至少发生一次 ， A4 =四次独立试验，事件 A一次也不发生 。而 P( A4 )0.5904，因此 P( A4 )1 P( A4 ) P( AAA A) P( A)40.4096 。所以P( A) 0.8, P( A1)10.80.2三次独立试验中 , 事件 A 发生一次的概率为： C31P( A)(1 P( A)23 0.2 0.64 0.384 。二、第一章定义、定

16、理、公式、公理小结及补充：（ 10）加法公P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)式当 P(AB) 0 时， P(A+B)=P(A)+P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)（ 11）减法公当 B A时， P(A-B)=P(A)-P(B)式当 A= 时， P( B )=1- P(B)定义 设 A、B 是两个事件，且P(A)>0 ，则称 P( AB) 为事件 A 发生条件下，事（ 12）条件概P( A)率件 B 发生的条件概率，记为P(B / A)P( AB) 。P( A)（ 16）贝叶斯P( Bi / A) nP(Bi ) P( A / Bi )， i=1 ， 2， n。公式P(

17、B j ) P( A / B j )j1此公式即为贝叶斯公式。第二章随机变量2.1X23456789101112P1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2 解：根据P( Xk)1，得ae k1 ，即ae 11。k 0k 01 e 1故 a e 12.3 解：用 X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，XB(2,0.7)用 Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, YB(2,0.4)(1) 两人投中的次数相同PX=Y= PX=0,Y=0+ PX=1,Y=1 +PX=2,Y=2=001122C 20.700.32C 20.40 0.62C 20.710.31

18、C 20.410.61C20.72 0.30C 20.420.600.3124(2)甲比乙投中的次数多PX>Y= PX=1,Y=0+ PX=2,Y=0 +PX=2,Y=1=102021C 20.710.31C 20.400.62C20.72 0.30C20.40 0.62C20.7 20.30C 20.410.610.562812322.4 解 :（ 1） P1 X 3= PX=1+ PX=2+ PX=3=1515155121(2) P0.5<X<2.5=PX=1+ PX=2=1551511111 1(1 ) k 1= lim442.5 解：（ 1） PX=2,4,6, =

19、2462k2222k1134（2） PX 3=1 PX<3=1 PX=1- PX=2= 11112442.6 解：设 A 表示第 i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，2iP X0P A1 A2 A3 A4P(A1)P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2)P( A4 | A1 A2 A3 )=18171615122019181719P X 1 P A1 A2 A3 A4 P A1A2 A3 A4 P A1 A2 A3 A4 P A1 A2 A3 A421817161821716181821618171623220191817201918172019181720191

20、81795P X21P X0P X1 1123231995952.6 解： (1)设 X 表示 4 次独立试验中A 发生的次数，则XB(4,0.4)34P( X3)P(X 3)P( X4)C 40.430.61C4 0.440.600.1792(2)设 Y 表示 5 次独立试验中A 发生的次数，则YB(5,0.4)345P( X3)P ( X3) P(X4)P(X 5)C 50.430.62C 50.4 40.61 C 5 0.450.600.317442.7 （1） X P()=P(0.5× 3)= P(1.5)PX 01.50e 1.5 = e 1.50!（ 2） X P()=P

21、(0.5× 4)= P(2)PX 2 1 PX 0 PX 1 120e 221 e 21 3e 20!1!2.8 解：设应配备m 名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X，则 X B(180,0.01) 。依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99，即 P( Xm) 0.99 ，也即P( Xm1)0.01因为 n=180 较大， p=0.01 较小，所以X 近似服从参数为1800.011.8 的泊松分布。查泊松分布表，得，当m+1=7 时上式成立，得m=6。故应至少配备6 名设备维修人员。2.9 解：一个元件使用1500 小时失效的概率为150010001000P(1000

22、 X 1500)x2 dxx10001500100013设 5 个元件使用1500 小时失效的元件数为Y，则 Y B(5, 1) 。所求的概率为32122380P(Y 2)C 5(3)(3)350.3292.10（1）假设该地区每天的用电量仅有80 万千瓦时， 则该地区每天供电量不足的概率为：11P0.8 X 10.812 x(1x) 2dx(6 x28x33x4 )|0.80.0272（2）假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：11P0.9 X 10.912 x(1x) 2dx(6x28x33x4 )|0.90.00372KxK有实根则使(2K )23) 0

23、2.11 解 :要使方程 x22304(2K解得 K 的取值范围为, 14, ,又随机变量KU(-2,4)则有实根的概率为 1 (2)4 31p(2)341)2.12 解： XP()= P(20010011e1 x 1001(1) P X 100200e 200 dx200|01 e 2011x3（2） P X 3001 e 200 dxe 200e 2300 200|300（3） P100 X300300111x 30013e 200 dxe 200|100e 2e 2100 200113P X 100,100X 300P X100P100X300 (1 e 2 )(e 2e 2 )2.13

24、 解：设每人每次打电话的时间为X， XE(0.5)，则一个人打电话超过10 分钟的概率为P( X10)0.5e 0.5 x dxe 0.5 xe 51010又设 282 人中打电话超过10 分钟的人数为Y，则YB(282,e5) 。因为 n=282 较大， p 较小，所以Y 近似服从参数为282e 51.9 的泊松分布。所求的概率为P(Y2)1P(Y0)P(Y1)1e 1. 91.9e 1. 912.9e 1. 90.566252.14 解： (1) P( X105)(105 110 )(0.42)1(0.42)1210.66280.3372(2) P(100 X120)12011010011

25、0(12)()12(0.83)(0.83)2 (0.83) 120.796710.59342.15 解：设车门的最低高度应为2a 厘米， XN(170,6 )P Xa1 P X a0.01P Xa( a 170 )0.996a1702.336a184厘米2.19 解： X 的可能取值为 1,2,3。C4260.6；11因为1)；P(X 3)0.1P( X10C53C5310P(X 2) 10.6 0.10.3所以 X 的分布律为X123P0.60.30.1X 的分布函数为0 x 10.6 1 x 2F ( x)0.92x31x32.20(1)P Y0P X0.22P Y2P X0P X 0.3

26、 0.4 0.7PY 4 2 PX3 0.12Y02240.20.70.1qi(2)P Y1P X0P X0.30.40.7P Y1P XP X3 0.20.10.322Yqi2.21（ 1）当 1 x当 1 x PX 1-110.70.31 时， F ( x)P X10.32 时， F (x)P X1P X 1 0.3 P X 1 0.80.80.30.5当 x2 时， F ( x)P X1 PX 1 PX2 0.8 PX 2 1P X2 1 0.80.2X-112P0.30.50.2（ 2）P Y1P X1PX 10.3 0.5 0.8P Y2P X20.2Y12qi0.80.21x22.

27、22 X N (0,1)f X (x)e 22（1）设 FY(y)， fY ( y) 分别为随机变量Y 的分布函数和概率密度函数，则F ( y) PY y P2 X 1 y P Xy 1Y2y 12x21 e 2 dx2y12( y 1) 2()12y11对28yyfY ( y)e()ey ( , )FY的导数，得( )求关于2222（2）设 FY(y)， fY ( y) 分别为随机变量Y 的分布函数和概率密度函数，则当 y0时，()X 0yP YyP eyPFY当 y0时，有1x2FY ( y) PY y P e Xy P X ln y P Xln yln ye 2 dx2对 FY ( y)

28、 求关于 y 的导数，得(ln y) 21(ln y)212( ln y)e2fY ( y)e22y0y>0y0（3）设 FY(y)， fY ( y) 分别为随机变量Y 的分布函数和概率密度函数，则当 y0时， FY ( y)P YyP X 2yP0当 y>0 时， FY ( y) P Y y P X 2yy P y Xyyx21e 2 dx2对(yyFY的导数，得) 求关于1( y )21(y )21(ln y)2fY ( y)e2 ( y )e2( y)e2222y010x2.23 XU(0,) f X ( x)0 其它（ 1）y>0y0当2lny时FY ( y)P Yy

29、P2ln XyPln X 2yP 0当y2ln时yFY (y)P YyP2lnXy Pln X2yP X2yP Xeye 21edx0yyy2 l n1 (e2 )1e2Y(y) 求关于 y 的导数，得到fY ( y)2对 F02 l ny（ 2）当 y1或 y-1 时 ， FY ( y)PYy Pcos XyP 0当 1y 1时 , FY ( y)P YyPcos XyP Xarccos y1 dxarccos y对 FY ( y) 求关于 y 的导数，得到111 y 1fY ( y)(arccos y)y210其它（ 3） 当 y1或 y0时FY(y)sin 0P YyPXyP当0y1时

30、，FY ( y) P Yy Psin X y P0 X arcsin y Parcsin y Xarcsin y 11dxdx0arcsin y对 FY ( y) 求关于 y 的导数，得到1120 y 1fY ( y)arcsin y( arcsin y)y210其它第三章 随机向量3.1P1<X2,3<Y5=F(2,5)+F(1,3)-F(1,5)F(2,3)=31283.2Y12X2022c3c234=c553310c3c42 =2c5513.4（ 1） a=9（ 2） 512（3）11y 111121yP( X ,Y)D0dy09(6xy)dx90(6y) x2x|0dy11

31、1211132111889 0 (2y6 y 52)dy9(6y3y52y)|093273.5 解：（ 1）yx(2 uv) dudvye vdvx2 udu( e v |0y )( e 2u |0x )e y )(1 e 2 x)F ( x, y)002e02e(10（2）x2e (2 xy) dxdy2e 2x dxxv dy2e 2 x (e y |0x ) dxP(YX )000e002e 2 x (1e x )dx0(2 e 2x2e 3x )dx(e 2x |0 )2 e 3x|0121033322212ar3.6 解： P( xya )22 2d02 2 drx2 y 2 a 2(1 xy )0(1 r )2a1r 2 )2 d(1 r2111a1a20d0(1)22 (1 r 2 )|011 a21 a23.7 参见课本后面P227 的答案113 xy 2dy3 xy31x3.8 fX ( x)0f ( x, y)