线代期中考试卷及答案详解

1、2012线性代数期中考试试卷及答案详解一、单项选择题(每小题 4 分，共 20分 )1. 下列各式中，哪个是5 阶行列式 det(aij )的项( B )(A)aaaaa(B)a33aaa a241223344155154251(C)a15a52 a33a 24a 41(D)a22 a11a 45a33a54解 根据 n 阶行列式的定义，行列式的算式中，每一项都是不同行、不同列的 n 个数的乘积，并且带有符号： (1) 若行标排列是标准排列，则该项的符号取决于列标排列的逆序数的奇偶性；(2) 若列标排列是标准排列，则符号取决于行标排列的逆序数的奇偶性；(3) 若行标、列标排列都不是标准排列，则

2、符号取决于行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性( 或者，交换一般项中的元素，使行标成为标准排列，再根据列标排列的逆序数判断 ).题中每个选项都是 5 阶行列式不同行、不同列的5 个数的乘积，因此，需进一步判断各项是否带有正确的符号 .选项 (A) 错误。其行标排列是标准排列，列标排列的逆序数为t(23415)=3, 故，列标排列为奇排列， (或者，由于将列标排列23415 变成标准排列 12345 需要进行奇数次对换，也可得 23415 为奇排列 )。所以选项(A) 缺少“-”.选项(B) 正确。其行标和列标排列都不是标准排列，方法一：行标排列和列标排列的逆序数之和 t(31452)+t(3

3、5214)=4+6=10，得符号为 “+”；方法二，交换相乘的元素，使行标成为标准排列，得 a15a24a33a42a51，此时列标排列 54321为偶排列，故取 “+”.同理，选项 (C)和(D)错误，都应带 “-”.o2. 已知 n 阶行列式 D=1，将 D 逆时针旋转 90，得行列式 D，则 D的值为(C )(A) 1(B) -1(C) ( - 1)n(n -1)/2(D) ( - 1) n/2解 将 D 逆时针旋转 90o，相当于对 D 先作转置 (这不会改变行列式的值 )，再作上下翻转 即交换 n(n-1)/2次相邻行的位置，每次交换都改变行列式的符号 ，因此，应选 (C).参见“行

4、列式的性质”布置的思考题，或者教材习题一第7 题的解答 .3. n 阶行列式 D n=0 的必要条件是(D)(A) 有一行 ( 列)元素全为零(B) 有两行 (列 )元素对应成比例(C) 各列元素之和皆为零(D) 以 Dn 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解解 选项(A)(B)(C)都是 D n=0 的充分条件 (但不是必要条件 ). 只有选项(D)为充分必要条件 .4. 已知 A, B 均为 n 阶方阵， E 是 n 阶单位矩阵，则下列命题中正确的是(D)(A)若A B，则AB;.(B) 若 (A- E)(B- E)=O，则 A=E 或 B=E(C) A2- B2=( A+B)( A-B)

5、(D) A2- E=( A+E)( A-E)解 答案为(D).1021选项(A)错误，反例： A1, B101选项(B) 错误。“两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵”，例如200000A- E=O 或 B-E=O，00030，因此， (A- E)(B-E)=O0反例： A20,1001B22选项(C)错误。因为 (A+B)(A-B)=A2-AB+BA-B2，所以，当且仅当 A, B 可交换时，才会有 (A+B)(A-B)=A2-B2.选项(D) 正确。因为 AE=EA=A，即 A, E 可交换，所以， (A+E)(A-E)=A2-AE+EA-E2=A2-E.5. 设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵

6、，则下列命题中正确的是( A )(A) ( A2)-1 =(A-1)2(B) ( kA)-1=kA-1 (k 0)(C) (A+B)-1= A-1+B-1(D) A-1BA= B解 选项(A) 正确。根据方阵的幂的定义以及可逆矩阵的运算性质，有(A 2) -1=(AA)-1 = A-1A-1 =(A-1)2选项(B)错误。应该是 (kA)-1=k-1A-1 (k 0)选项(C)错误。 A, B 均为 n 阶可逆矩阵时，A+B 不一定可逆；即使A+B 可逆， (A+B)-1也不一定是A-1+B-110。反例： A,01201020B，或者 A0,B10110选项(D)错误。矩阵乘法一般不满足交换

7、律，故A-1BAA-1AB = B。二、填空题(每小题 4 分，共 20 分)00010002001. 行列式0201200= 2013！.02013000000001000100010020000200解201200=1002012002013000000000000201312013(20131)( 1)22013!2013!注：以上计算过程使用了分块法计算行列式的公式：Ak kO(注意 A,B 必须是方阵 )A BO B m m以及副对角行列式的计算公式12n(n 1)( 1)2n1 2n01111011(- 1)n-1(n- 1) .2.行列式 1101=1110 n阶0 1 11n

8、1 n 1 n 1n 11011r1 ri1011解11011101(i2,3,n)1110 n阶11101111对第一行提取公因子10111) 1101( n11101111rir11(n1)1(i 2,3,n)1= ( -1) n-1 (n-1)注：本题行列式的特点是：各行(列 )元素之和都相等.01 00 3 a1a2a3 a40001 3d4d3d1d100 10b1b2b3b4001000003.0 01c1c2c3c40100=000000000d1d2d3 d4100000000100解 用0010左乘矩阵 A，相当于将 A 的各行向上移动一行，故0001000001 003a2

9、a3a4d1d 2d 3d 4a100 10b1b2b3b4=000000 01c1c2c3c4000000 00d1d 2d3d400000001另外，用0010右乘矩阵 A，相当于将 A 左右翻转，故010010000103a2a3a40003d 4d 3d1 d10 a110010 b1b2b3b40010000 00001 c1c2c3c40100=00 000000d1 d2 d3 d41000000 0注：参见“矩阵的运算”所布置的思考题，或者第二章习题讲义“要点和公式”中的 Part II “一些特殊矩阵的乘积”.11 / 74.已知A3-1=1 / 5，则 A1/ 3571解

10、利用副对角阵的求逆公式：11a1ana2a21ana115. 已知 A 是 4 阶可逆矩阵，且 A =2，则 A-1 = 1/2 ， A* = 8 . 解 利用可逆矩阵的性质“A-1 = A -1”以 及伴随矩阵的性质“A* = A n-1 ”，可得 A-1 =2-1 ， A* =24-1=8.注：也可按如下方式求A*：因为 AA*= A E，将 A =2 代入，得 AA*=2E，等号两边取行列式，有 A A* = 2E ，即 2 A* =24，于是 A* =8.三、计算题 （每小题 7 分，共 35 分）;.2222211. 设 n 阶爪形行列式 D 21, 求 D 中所有元素的代21数余子

11、式之和 .解 将 D 的第 1 行元素全部替换为1，并按第1 行展开，得D 的第1 行元素的代数余子式之和为111121A11 A12A1n 212112( n1)r1ri2131(i 2,3,n)n132n将 D 的第 2 行元素全部替换为1，并按第 2 行展开，得 D 的第 2行元素的代数余子式之和为22221111A21 A22A2n210 (两行元素成比例 )21同理， D 的第 3, 4, , n 行元素的代数余子式之和也都是0.nn2n .于是， D 的所有元素的代数余子式之和为Aij 3i 1j 1注 1 如果改变行列式 D 的某一行 (列)元素，行列式虽然变了， 但该行(列)元

12、素的代数余子式不会改变。注 2 本题利用了行列式按行 (列)展开法则：nnaik AjkD ij或aki AkjD ij(i=1,2, ,n)k1k 1x1kx302. 问： 2x1 x4 0 只有零解时， k 必须满足什么条件？ kx1 x2 0x32x40解 此方程组为齐次线性方程组，并且方程个数 =未知量个数， 根据“方程组只有零解系数行列式D 0”，有.10k02001D104k 1 0 ，即 k 1/4.k000120001a0013. 设方阵 Aa0，0100a1(1) 求 A 的值，并指出当 a 满足什么条件时， A 是可逆矩阵；(2) 当 A 可逆时，求 A-1.0001a00

13、1记作 OB解对矩阵 A分块， Aa01CD000a1(1)A (1)13B Ca 3当且仅当 a0时， A0，此时 A 为可逆矩阵 .(2)根据分块法求逆矩阵的公式， A 1C 1DB 1C 1B 1Oa 1其中，B 11，C1a 1，a 1a 11a 1C1DB1a 111a1a 11a1a1a 100于是， A-1a 10a 10a 100a 11000注 1 解答中使用了分块法计算行列式的公式 ( 参见第一章习题讲义“要点和公式”)OAk k( 1) km ABB m m*注 2本题要求熟记分块法求逆矩阵的公式. 虽然也可以用公式A-1 = A -1 A* ，但计算过程繁琐，容易出错

14、.注 3另外，求出逆矩阵后，最好验算是否有AA-1=E.321，求 Ak (k 为正整数 ).4.设方阵A 642963;.3211记作T解 A 64223,2,1.9633于是，AkTTT()( ) ()TTT( )( )Tk1T ()T1其中3,2,1210 3321An10n 1 Tn1An142 10106963注 当矩阵的任意两行(列 )元素对应成比例时， 该矩阵可分解为列矩阵和行矩阵的乘积.5. 已知 A,B 都是 2 阶方阵，且 A*BA = 2A*B+E，其中 A21，11A* 是 A 的伴随矩阵， E 为 2 阶单位矩阵，求矩阵B.解对A*BA=2A*B + E 两端左乘 A

15、，得AA* BA=2AA* B+A根据伴随矩阵的性质AA* = A E，有A BA=2 A B+A由于 A1，于是BA=2B+AB(A-2E)= A其中 A2 E01，由于 A2 E1 ，故 A- 2E 可逆，其逆11矩阵 (A- 2E) -1=11，于是10BA(A 2E) 1211132111021注 求二阶可逆矩阵的逆矩阵时，可以用“两调一除”公式.由于 n 为奇数，故A= - A ，即A =0.因此，当 A 是奇数阶反对称矩阵时， 齐次线性方程组 Ax=O 的系数行列式等于 0，于是该方程组有非零解 .注 A 是方阵，所以 Ax=O 是 “方程个数 =未知量个数 ”的齐次线性方程组，于

16、是，要证明 Ax=O 有非零解，就是证 A =0.2. 已知 A, B 均为 n 阶方阵，且 AB=A+ B.(1) 证明： A-E 和 B- E 均可逆，且互为逆矩阵；(2) 证明：如果 A 可逆，则 A+B 也可逆 .证 (1) AB=A+BAB-A- B+E =E(A - E)(B - E)=EA-E 和 B- E 均可逆，且互为逆矩阵(定理： “若 A 和 B 均为 n 阶方阵，且AB=E，则 BA= E.亦即， A,B 均可逆，且互为逆矩阵”)(2) AB=A+BA(B-E) =B已知 A 可逆，又由 (1)知 B- E 可逆，所以 B= A(B-E)可逆(定理： n 阶可逆矩阵的乘

17、积仍是n 阶可逆矩阵 ).A 和 B 可逆，所以AB 可逆 . 由于 A+B= AB，故 A+B 可逆 .也可按如下方式证明：A 可逆A0，于是AB=A+B(A- E)B =AA-EB=A0B 0于是， A+B=AB=AB0 ，故 A+B 可逆注：下列错误不得分：在第(1)题中使用了 A-1 或 B-1；在第 (2)小题中认为两个可逆矩阵的加和也必然是可逆矩阵.四、证明题 （每小题 8 分，共 16 分）1. 设 A 是 n 阶反对称矩阵， n 为奇数，证明：齐次线性方程组 Ax =O 有非零解 .证 A 是 n 阶反对称矩阵AT=-A.对上式两边取行列式，有AT=-AA =(- 1)n A;

18、.五、解答题 （9 分）在某地，每年有比例为30%的农村居民移居城镇，有比例为10%的城镇居民移居农村，假设该地总人口不变，且上述人口迁移的规律也不变 . 把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例分别记为 an 和 bn (an +bn=1).(1)an，求关系式 x nAxn1 中的矩阵 A；记 xnbn(2)已知 (1)中的矩阵 A 满足关系式 AP=PB，其中 P11 ，求31矩阵 B；(3)设目前农村人口和城镇人口相等，即x 00.5，求 x n .0.5解(1) 依题意，有an0.7an 10.1bn 1 ，即bn 0.3an 10.9bn 1an0.70.1an 1bn0.30.9bn 10.70.1故 A0.90. 3(2)P =4，故 P 可逆，其逆矩阵为P 1 111 .431对 AP=PB 两边左乘 P-1，得B=P -1AP1110.70.111=31