行列式的性质及应用.

1、目录1. 行列式的定义和性质 .111 定义.11.2n 阶行列式具有的性质 .12. 行列式的计算 .42.1数字型行列式的计算 ( 四种方法 ) .42.1 1. 三角化法 . .42 12 递推法 .42.1 3数学归纳法 . .62 14 公式法 .72.2行列式的概念与性质的例题.72.3抽象行列式的计算 .72.4含参数行列式的计算 .82.5特殊行列式的解法 .82.5 1 范德蒙行列式 .83.关于 A 0的证明 .94. 行列式应用.114.1行列式在线性方程组中的应用.114.2行列式在初等代数中的几个应用. .124.2.1用行列式分解因式 . .124.2.2用行列式证

2、明不等式和恒等式 . .134.3行列式在解析几何中的几个应用. .144.3.1用行列式表示公式 . .144.4行列式在平面几何中的一些应用.164.4.1三线共点 .164.4.2三点共线 .164.4.3应用举例 .164.5行列式在三维空间中的应用.174.5.1平面组 .174.5.2点组 .204.6行列式在多重积分中的应用.22参考文献 : .241.行列式的定义和性质11 定义（设为 n 阶）：n 阶行列式a11a12a1na21a22a2n( 1)( j1 j2jn ) aaaA1 j2 j2njnj1 j2 j n1an1an2ann是取自不同行不同列的n 个元素的乘积的

3、代数和， 它由 n 项组成，其中带正号与带负号的项各占一半， ( j1j2 j n ) 表示排列j1 j 2jn 的逆序 数。1.2n 阶行列式具有的性质行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很麻烦的问题。 n 级行列式一共有 n!项，计算他就需要做n!(n-1)个乘法。当 n 较大时， n! 是一个相当大的数字，直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事。因此我们有必要进一步讨论行列式的性质。利用这些性质可以化简行列式的计算。在行列式的定义中， 虽然每一项是 n 个元素的乘积， 但是由于这 n 个元素是取自不同的行和列，所以对于某一确定的行中n 个元素（譬如 i1, i2 ， in ）来说，每一

4、项都含有其中的一个且只含有其中元素。因之，n 级行列式的 n! 项可以分成 n组，第一组的项都含有 11 第二组的项都含有 i2 等等。再分别把 i 行的元素提出来，就有a11a12a1na21a22a2na11 A11ai 2 Ai 2ain Ain （ 1）an1a12ann其中 Aij 代表那些含有 ij 的项在提出公因子 ij 之后的代数和。至于 Aij 究竟是哪一些项的和我们暂且不管，后面章节再来讨论。从以上讨论可以知道，Aij 中不再含有第 i1行的元素，也就是Aij ，Ai2 ,Ain 全与行列式中第i 行的元素无关。1性质（ 1）行列互换，行列式不变。即a11a12a1na11

5、a21an1a21a22a2na12a22an 2an1an 2anna1n a2nann2性质（ 2）一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式）即a11a12a1na11 a12a1nkai1kai 2kain =k ai1 ai 2ainan1an 2annan1 an 2ann特殊形式（如果行列式中一行为零，那么行列式为零）。3性质（ 3）如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。即a11a12a1na11 a12a1 n a11 a12a1nb1c1b2c2bncnb1b2bnc1c2c

6、n.an1an 2annan1 an2ann an1 an 2ann4性质（ 4）如果行列式中两行相同，那么行列式为零。（两行相同就是说两行对应元素都相同）。5性质（ 5）如果行列式中两行成比例。那么行列式为零。即2a11a12a1na11 a12a1nai1ai 2ainai1 ai 2aink0 .kai 1kai 2kainai1 ai 2ainan1an 2annan1 an2ann6性质（ 6）把一行的倍数加到另一行，行列式不变。即a11a12a1na11a12a1na11a12a1nai1cak1 ai 2 cak 2ain caknai1 ai 2aincak1 cak2cakn

7、ak1ak 2aknak1 ak 2aknak1ak2aknan1an 2annan1 an 2annan1an2anna11a12a1nai1ai 2ainak1ak 2aknan1an 2ann7性质（ 7）对换行列式中两行的位置，行列式反号。即a11a12a1na11a12a1na11a12ai1ai 2ainai1 ak1 ai 2 ak 2ain aknai 1 ak1 ai 2 ak 2ak1ak 2aknak1ak 2aknai1ai 2an1an 2annan1an 2annan1an2a1nainaknainann3a11a12a1na11 a12a1nak1ak 2akna

8、k1 ak 2aknai1ai 2ainai1 ai 2ainan1an 2annan1 an 2ann2.行列式的计算2.1 数字型行列式的计算(四种方法 )2.1 1. 三角化法1b1例11 b1b2之值。计算行列式 D11 b2b311 b3解：从第 1 行开始 , 依次把每行加至下一行, 得1b11b11 b1D1b21 b21b211 1 b2b31b31 b311b31 1b31xaaaaxaa例 计算行列式 Daaxa 之值。aaax解：把每行均加至第一行 , 提出公因式 xn1 a , 再把第一行的a倍分别加到第二行至第 n 行, 得11111111axaaxaDn x ( n

9、 1)a a a xax (n 1)ax ax (n 1)a ( x a)n 1aaaxx a212 递推法41aa11aa例计算行列式 D511aa之值。11aa11a解：把各列均加至第1 列，并按第 1 列展开，得到递推公式1a1a aD51 1 aaD4a( 1)5 1 a411aa11a继续使用这个递推公式，有D4D3a4D3D 2a3而初始值 D21aa2 ，所以D51aa2a3a4a5a11a2x1例计算行列式a3x之值。Dnan1x1anx解：按第 n 行展开，有DnxDn 1an ( 1)n 1 ( 1)n 1xDn 1an ，从而递推地得到Dn 1xDn 2an 1 ( 1)

10、n ( 1)n 2xDn 2an 1 ，Dn 2xDn 3an 2D 2a1 xa2对这些等式分别用1， x , x2 , xn 2 相乘，然后相加，得到Dna1 xn 1a2xn 2a3 xn 3an 1 xan52.1 3数学归纳法a11a1k00ak1akk0a11a1k b11b1 r例0。证明c1kb11b1rc11akk br 1brrak1cr1crkbr 1brr解我们对 k 用数学归纳法。a1100当 k1 时，的左端为 c11b11b1r 按第一行展开，就得到所要的结论。cr1br1brr假设对 k m 1，即左端行列式的左上角是 m1 级时已经成立，现在来看 km 的情形

11、，按第一行展开，有a11a1m00a22a2m00am1amm00a11am2amm00ccbb+c12c1mb11b1r111m111rcr1crmbr1brrcr 2crmbr1brra21a2,i1a2,i1a2m00am1am,i1am ,i1amm00+ ( 1)1 i a1icc1c1cbb111,i1,i1m111rcr1cr ,i 1cr , i 1crmbr 1brra21a2,m 100(1)1 m a1mam1am, m 100c11c1,m 1b11b1rcr1cr ,m 1br1brr6a22a2 ma21a2, i 1a2,i 1a2ma11( 1)1i a1iam

12、2ammam1am,i 1am, i 1amma21a2,m 1b11b1ra11a1mb11b1r( 1)1 m a1mam1am, m 1br1brram1ammbr 1brr这里第二个等号是用了归纳法假定，最后一个是根据按一行展开的公式。根据归纳法原理，式普遍成立。214 公式法abcd例计算行列式Abadc之值。cdabdcba解：由于 AAT(a2b2c2d 2 )E , 故用行列式乘法公式，得A2AAT(a2b2c2d 2 )4A AT因 A 中， a4 系数是 +1，所以 A(a2b2c2d 2 )2 。2.2 行列式的概念与性质的例题例已知 a23a31aij a64 a56a

13、15 是 6 阶行列式中的一项，试确定i , j 的值及此项所带的符号。解：根据行列式的定义，它是不同行不同列元素乘积的代数和。因此，行指标 2,3, i,6,5,1应取自 1 至 6 的排列，故 i4 ，同理可知 j2 。直接计算行的逆序数与列的逆序数，有(2,3,4,6,5,1)(3,1,2,4,6,5)639 。亦知此项应带负号。2.3 抽象行列式的计算例已知 1,2,3,都是 4 维列向量，且 1, 2, 3,a，, 3, 2 , 1 b ，则2 ,1,2,3（）。7解：, 3 ,2 , 1 中第 1 列是两个数的和，用性质3 可将其拆成两个行列式之和，再利用对换，提公因式等行列式性质

14、作恒等变行，就有,3,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,11,2,3, ,3,2,1, 1, 2, 3于是2,1,2,32(ab) 。例若 4阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵A 的特征值为 1 ,1,1,1,则行列式 B 1E2345（）。解由 AB，知 B的特征值是 1 ,1 , 1 , 1 。那么 B 1的特征值是2，3，4，5. 于是 B 1E2345的特征值是 1， 2， 3， 4。有公式得，B 1E24。2.4 含参数行列式的计算x311例 已知D1x 510 ，求 x 。1 1x 3解 将第 3 行的 -1 倍加至第 1 行，有x 202x101100D1x 51( x 2)

15、1x 51(x 2) 1x 5211x311x 311x 4(xx52( x2)( x29x18)2)x14所以 x2, x3, x6 。2.5 特殊行列式的解法2.5 1 范德蒙行列式81111a1a2a3an定义：行列式 da12a22a32an2 称为 n 级的范德蒙行列式。a1n 1a2n 2a3n 3ann 1111例计算行列式 Ax1( x11)x2 ( x21) x3 ( x31) 之值。x12 ( x1 1) x22 ( x21) x32 ( x31)解把 1 改写成 i(i1) ，第一行成为两数之和，A可拆成两个行列式之和，即xxx1x2x3( x1 1)( x21)( x3

16、 1)Ax1 ( x1 1) x2 (x21) x3 ( x31)x1 ( x1 1) x2 ( x2 1) x3 ( x3 1)x12 ( x1 1) x22 ( x21) x32 ( x31)x12 ( x1 1) x22 ( x2 1) x32 (x3 1)分别记这两个行列式为B 和 C ，则由范德蒙行列式得，1111113B x1 x2 x3 x11x21x31x1x2 x3 x1x2x3xi( xi x j )x12x1x22x2x32x3x12x22x32i 11 j i 33C( xi1)( xixj )i11j i 333故 A( xix j )xi( xi1)1 ji 3i

17、1i 13.关于 A0 的证明解题思路：设证法 AA；反证法：如A0 从 A 可逆找矛盾；构造齐次方程组Ax0 ，设法证明它有非零解；设法证矩阵的秩r ( A)n ；证明 0 是矩阵 A 的一个特征值。例设 A2A,AE (单位矩阵 )，证明：A0。9证法一 ：如 A0 ，则 A可逆，那么 A A 1A2A 1 AE . 与已知条件 AE 矛盾。证法二 ：由 A2A ，有 A(A E ) 0 , 从而 A E 的每一列都是齐次方程组Ax 0的解，又因 AE ，故 Ax0有非零解，从而 A 0 。证法 三： 证同上， 由于 A E 的每 一列 ii1, 2,n 都 是 Ax 0 的 解， 所以(

18、,)r ( A E) r ( 1, 2 , , n ) n r ( A) ， 又 因 A E， r ( A E)0 ， 故r ( A)n( rA，)所以EA n0 。证法四 ：证同上，设i 是 AE 中非零列，则 A i00 i, 则， 0 是 A 的特征值，故A 0 。拉普拉斯定理： 设在行列式 D中任意取定了 k (1kn1) 个行，由这 k 行元素所组成的一切 k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D 。( 其中： k 级子式：在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列 (kn) 。位于这些行和列的交点上的 k 2 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式 M ，称为

19、行列式 D 的一个 k 级子式。余子式：在D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按照原来的次序组成的n k 级行列式 M ' 称为 k 级子式 M 的余子式。代数余子式：设 D 的 k 级子式 M 在 D中所在的行、列指标分别是i1 ,i2ik ; j1, j2 ,jk . 则 M 的余子式M ' 前面加上符号(1)(i1 i 2 ik ) ( j1 j 2jk ) 后称为 M 的代数余子式 ) 。12140121例求行列式 D.10130131解：在行列式 D 中取定第一、二行，得到六个子式：M 112, M 211, M 3142124, M 61401020, M 41

20、, M 5112112它们对应的代数余子式为10A1(1)(12)(12) M1'M 1', A2(1)(12)(13)M2'M2',A3(1)(12)(14)M3'M3',A4(1)(12)(23)M 4'M4',A5( 1)(12)(24)M5'M5',A6( 1)(12)(34)M6'M 6'根据拉普拉斯定理D M1A1M 2A2M6A6121311031401211324111410013102110113120111032101(1) (8)2(3)1(1)5163(7)18615187

21、74.行列式应用4.1 行列式在线性方程组中的应用设含有 n 个变元的 n1个一次线性方程组为a11x2a12 x2a1n xn0,a21x1a22x2a2 n xn0,（ 1）an 1,1 x1an 1, 2 x2an 1,n xn0.设方程组（ 1）的系数矩阵 A 的秩是 n1, 不失一般性 ,假定不等于零的 n 1阶行列式是a12a13a1 nA1a22a23a2 n.an 1,2an 1,3an1,n行列式 A1 中的元素 ,就是矩阵 A 中去掉第一列的元素以后剩下的元素, 并按照它们的原有位置排列 .我们把 x2 , x3 , xn 看作是未知数 ,x1 是已知数 ,解方程组 (1)

22、,得11xix1(i2, 3, n)（ 2）diA1式中 di 是行列式 d1 的第 i1列元素换以 a11 , a21 , an 1, 1 所成的行列式 .也就是a12a13a1,i 1a11a1, i1a1ndia22a23a2, i 1a21a2, i 1a2n .an 1,2an1,3an 1,i1an1,1an 1,i 1an 1,n把 di 中第 i1列移到第一列 ,得a11a12a1,i1a1,i1a1ndi( 1)i 2a21a22a2,i1a2,i1a2n.an1,1an 1,2an 1,i1an 1,i1an 1, n上式右边的行列式用 Ai 表示 ,行列式 Ai 是矩阵

23、A 中去掉第 i 列剩余下的元素所组成 .故di (1) i 2 Ai .代入（ 2）式 ,得xix1 , 或xix1 .( 1)i 2 AiA1( 1)i 1 AiA1结论2:方程组（ 1）中的n 1式中x1 , x2 ,123n 成比例 , xn 与 A , A , A , , ( 1) AAi (i1,2, , n) 是从矩阵 A 中去掉第 i 列剩余下的元素做成的行列式 .4.2 行列式在初等代数中的几个应用4.2.1用行列式分解因式利用行列式分解因式的关键,是把所给的多项式写成行列式的形式,并注意行列式的排列规则 .下面列举几个例子来说明.例 分解因式： ab 2c3bc2a3ca2

24、b3cb2 a3ba2 c3ac2 b3 .12解 原式abc (bc 2 b2c)(a2 cac2 )(ab2a 2b)abc bc(cb)ab(ac)ab(ba)c1a1a1abc bc1ac1ab1bcbbca1bca1abc abc1abc abbcca0acb1acbcba0abc (abbc)(ba) ( ac bc)(c a)abc b(ac)(b a) c(a b)(c a)abc(ab)(c a)(bc) .例 分解因式 :(cdab )24bc(a c)(b d ) .cdab2(abbc)解 原式cd )cdab2(bccdababcd2bccdab12(bccd)(ab

25、cd2bc)( ab cd 2bc)cd )12(bc(abcd 2bc )2 .4.2.2用行列式证明不等式和恒等式我们知道 ,把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上 ,行列式不变 ;如果行列式中有一行 （列）的元素全部是零 ,那么这个行列式等于零 .利用行列式的这些性质 ,我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例 已知 a bc0 ,求证 a3b3c33abc .证明：令Da3b3c33abc ,则a b ca b c a b c a b c 000D c a br2 r3cabc a b 0 .bcr1bcabcaa命题得证 .13例 已知 axby1, b

26、xcy1, cxay1, 求证 abbccaa2b2c2.证明 令 D ab bc ca (a2b2c2 ) ,则a b1a b ax by1 a b 0D c a1c a cx ay1 c a 0 0b cc3 c1x c2 yb c bx cy1 b c 01命题得证 .例 已知 ab c 0 , 求证 b3a c3b a3c a3b b3c c3a .证明 令 D a3b b3c c3a(b3ac3b a3c) , 则abbccaabbcabcaababcaabD c2b2a2c2a2c2b2c2bcc22222c1acbc111c3c1 100b(ca)(bc)(bc)a(cb)(ac

27、)( ac)(b c)(ac)( abc)(ac)而 a bc0 ,则 D0 ,命题得证 .4.3 行列式在解析几何中的几个应用4.3.1用行列式表示公式4.3.1.1 用行列式表示三角形面积以平面内三点( 1, 1),( 2,2 ),(3 ,y3 )为顶点的PQR的面积 S是P xyQ xyR xx1y111 x2y21(3)2x3y31的绝对值 .证明 将平面 P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ),R( x3 , y3 ) 三点扩充到三维空间 ,其坐标分别为(x1, y1 , k ), ( x2 , y2 , k), ( x3 , y3 , k) ,其中 k 为任意常数 .由

28、此可得：PQ(x2x1, y2y1,0) ,PR( x3x1, y3y1,0)14则 PQPR(0, 0,x2x1y2y1 )PQR 面积为 S1 PQ PR sinPQ, PRx3x1y3y1211x2x1y221 x2x1y2y1x1y11y11S=PQ PR2x3x1y3y12 x3x1y3y12 x2x1y2y102x3x1y3y10x1y111 x2y21 .2x3y314.3.1.2 用行列式表示直线方程直线方程通过两点P(x1, y1) 和 Q ( x2 , y2 ) 的直线 PQ 的方程为x1y11x2y210 .（4）xy1证明 由两点式 ,我们得直线 PQ 的方程为xx2y

29、y2 .x1x2y1y2将上式展开并化简 ,得xy1xy2x1 yx2 yx2 y1x1 y20此式可进一步变形为x y11y x11x1y10y21x21x2y2此式为行列式 (4) 按第三行展开所得结果 .原式得证 .4.3.1.3 应用举例例 若直线 l 过平面上两个不同的已知点( x1 , y1 ) , (x2 , y2 ) , 求直线方程 .解 设直线 l 的方程为 ax by c0,不全为 0,因为点( x1 , y1 ), (x2 , y2 ) 在直线 l 上 ,axbyc0,则必须满足上述方程 , 从而有ax1by1c0,ax2by2c0.15这是一个以 a, b, c 为未知量的齐次线性方程组 ,且a, b, c 不全为 0,说明该齐次线性xy1方程组有非零解 . 其系数行列式等于 0,即 x1y110 .x2y21xy1则所求直线 l 的方程为 x1y11 0 .x2y21同理 ,若空间上有三个不同的已知点( x1 , y1 , z1 ),(x2 , y2 , z2 ), C