第五章-微分方程.

1、第五章微分方程第一节微分方程的基本概念一、基本概念微分方程的定义：凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程. 本书只讨论常微分方程，简称微分方程.微分方程的阶、解与通解：微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶. 如果把函数yf (x) 代入微分方程后，能使方程成为恒等式, 则称该函数为该微分方程的解. 若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解 .初始条件与特解：用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常

2、数的条件，称为初始条件 . 满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解。例1 课本294页例1二、独立的任意常数线性相关与线性无关：设 y1 ( x), y2 ( x) 是定义在区间 (a,b) 内的函数，若存在两个不全为零的数 k1, k 2 ，使得对于区间 (a, b) 内的任一 x ，恒有k1 y1 (x)k2 y2 ( x)0成立，则称函数y1 (x), y2 ( x) 在区间 (a,b) 内线性相关，否则称为线性无关 .显然，函数 y1 (x), y2( x) 线性相关的充分必要条件是y1 ( x) 在区间 (a, b) 内恒为常数 .y2 ( x)如果 y1(x) 不恒为常数，

3、则 y1 ( x), y2 ( x) 在区间 (a, b) 内线性无关 .y2(x)独立的任意常数：在表达式 yC1 y1 (x)C2 y2( x) ( C1 , C2 为任意常数 )中 , C1 , C2 为独立的任意常数的充分必要条件为y1 (x) ,y2( x) 线性无关 .例2课本297页例4第二节可分离变量的微分方程一、定义形如dyf ( x) g( y)dx的微分方程，称为可分离变量的方程. 该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x 的函数，另一个仅是y 的函数，即f ( x), g ( y) 分别是变量x, y 的已知连续函数 .二、求解方法dyf ( x

4、) g( y) 的求解方法 , 一般有如下两步 :可分离变量的微分方程dx第一步 : 分离变量g( y)dyf ( x) dx ，第二步 : 两边积分g( y)dyf ( x)dx .【例 1】求微分方程dx xydyy 2 dxydy 的通解 .解先合并 dx及 dy 的各项 ,得 y( x 1)dy( y21) dx设 y21 0, x 10, 分离变量得ydy1dxy21x1两端积分ydy1dx 得1 ln | y21|ln | x1|ln |C1 |y21x12于是y21C12 ( x1)2记CC12 , 则得到题设方程的通解y21C( x1)2 .注：在用分离变量法解可分离变量的微分

5、方程的过程中,我们在假定 g( y)0 的前提下 ,用它除方程两边,这样得到的通解, 不包含使 g ( y)0 的特解 . 但是 , 有时如果我们扩大任意常数 C 的取值范围 ,则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2 中，我们得到的通解中应该C0， 但这样方程就失去 特 解 y1，而如果 允许 C0，则 y1仍包含在通解y21C ( x 1)2 中 .【例 2】 已知f(sin 2 x)cos2xtan2x,当 0x1时，求 f (x).解设ysin 2 ,则 cos 2x12sin2x12 y,xtan2 xsin 2 xsin 2 xy.cos2 x1sin 2x1y所以原方程变为f (

6、y)12 yy, 即 f ( y)2 y11.1yy所以f ( y)2y1dyy2ln(1y)C,1y故f ( x) x2ln(1x)C(0x1).第三节线性微分方程一、一阶线性微分方程定义：形如dyQ(x) .P( x) ydx的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中P( x), Q( x) 都是 x 的已知连续函数， “线性”是指未知函数y 和它的导数 y 都是一次的 .求解方法：一阶线性微分方程dyP(x) y Q( x) 的求解方法 , 一般有如下两步 :dx第一步：先用分离变量法求一阶线性微分方程dyP(x) y Q (x) 所对应的齐次线性dx微分方程 dyP(x) y 0 的通解

7、yc Ce.P ( x) dxdx第二步： 设 y C (x) eP( x)d x为一阶线性微分方程程后 , 求出待定函数 C(x) .dyP(x) yQ( x) 的解 , 代入该方dxP ( x )dx第 三 步 : 将 C( x) 代 入 y C (x) e中,得所求一阶线性微分方程dyQ (x) 的通解 .P( x) ydx注：只要一阶线性微分方程是dyQ (x) 的标准形式 , 则将 yP (x) dxP( x) yC ( x) edx代入一阶线性微分方程后, 整理化简后 , 必有P( x) dxQ( x) ,C ( x)e该结论可用在一阶线性微分方程的求解过程中, 以简化运算过程 .

8、一阶线性微分方程dyP( x) y Q( x) 的求解公式：dxyeP ( x)d xP (x )dxC(其中 C 为任意常数 ).Q (x)edx【例 1】求微分方程 xydydxy 2 dxydy满足条件 y x02的特解 .解 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有ydy1y21xdx ，1两边积分，得ydyx1 dx ，y 211求积分得1ln y21ln x1 C1 ， ln y 21ln( x1) 22C1 ，2y21 ( x 1) 2 e2C1 ， y 21e2C1 (x 1) 2 ，记e2C1C0 ，得方程的解y21C(x 1)2 .可以验证C0时， y1，它们也是原方

9、程的解，因此，式y21C(x 1) 2 中的C 可以为任意常数，所以原方程的通解为y21C( x1) 2（ C 为任意常数） .代入初始条件y x 02 得 C3 ，所以特解为y 21 3 (x1)2 .【例 2】 求微分方程（1） yyx2yx ，（ 2） y2xye cosx 的通解 .dyy（1）解一原方程可化为x，令 uydxy，x1x则 ux duu，即u 1 dudx，两边取积分( 11)du1 dx ，dxu 1u 2xuu 2x积分得1ln uln xln C ，将 uy 代入原方程，整理得原方程的通解为uxxy Ce y （ C 为任意常数） .解二原方程可化为dx1 x1

10、为一阶线性微分方程，用常数变易法. 解原方程所dyy对应的齐次方程dx1 x0 ，得其通解为x C y .dyy设 xC( y) y 为原方程的解，代入原方程，化简得C ( y) y1 ， C ( y) lny ，C1xyx所以原方程的通解为，即yCey（ C 为任意常数） .lnyC1（2）解一原方程对应的齐次方程dy2xy 0 分 离 变 量 ， 得 dy2xy ，dxdxdy2xdx ，y两边积分，得dy2xdx ， ln yx2C ，yln yln ex2ln Cln(Cex2)， y Cex 2，用常数变易法 .设 y C( x)ex2代入原方程，得C (x)ex2ex2cosx ，

11、 C ( x)cos x ，C ( x)cos xdxsin xC ，故原方程的通解为yex2(sin xC)（ C 为任意常数） .解二 这里 P (x)2x ， Q( x)ex2cosx 代入通解的公式得ye2 xdxex2cosx e2 xdxdxC)(= ex2x2ex2C ) = ex 2x2(sin xC) （ C 为任意常数） .( ecos xdx( cos xdxC ) = e小结 一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易法. 常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形式y P( x) y Q( x) ，也可直接利用公式P ( x)dxP( x) dx

12、y e( Q( x) edx C ）求通解 .二、二阶常系数齐次线性微分方程定义：形如ypyqy0的微分方程（其中p, q 均为已知常数，称为二阶常系数齐次线性微分方程求解方法 ：求解二阶常系数齐次线性微分方程, 一般分为如下三步:.第一步写出方程ypyqy0 的特征方程r 2prq0 ，第二步求出特征方程的两个特征根r1 ,r2 ，第三步根据下表给出的三种特征根的不同情形，写出ypyqy0的通解.有两个 不同r1r2yC1 er1 xC2 er2 x特征实根有两个 相同r1r2ry (C1C2 x) erx特征实根有一对 共轭r1,2iy(C1 cosxC2 sinx) e x复根【例 3】

13、 求微分方程 y2ayy0的通解 .解 原方程对应的特征方程为r 2 2ar10 ， r1,22a4a24= aa 21 ，2（ 1）当 a1，即a1 或 a1时，特征方程有两个不相等的实根raa 21 ，r2aa21 ，1故原方程的通解为y C1e( aa2 1) xC2 e(aa 2 1) x .（ 2）当 a1，即 a1或 a1时，特征方程有两个相等的实根r1r2a ，故原方程的通解为y(C1C2 x)eax .（ 3）当 a1，即1a1时，特征方程有两个共轭复根r1, 2ai1a 2 ，故原方程的通解为yeax (C1 cos 1a 2 xC2 sin1a 2 x) .三、二阶常系数非

14、齐次线性微分方程定义：形如ypyqyf (x)的微分方程（其中 p, q 均为已知常数） ，称为二阶常系数非齐次线性微分方程.求解方法：求解二阶常系数非齐次线性微分方程,一般分为如下三步 :第一步先求出非齐次线性微分方程ypyqyf (x) 所对应的齐次线性微分方程方程 ypyqy0 的通解 yc ;第二步根据下表设出非齐次线性微分方程ypyqyf ( x) 的含待定常数的特解 y p ,并将 yp 代入非齐次线性微分方程ypyqyf ( x) 解出待定常数, 进而确定非齐次方程ypy qyf (x) 的一个特解 yp ;第三步写出非齐次线性微分方程ypyqyf ( x) 的通解 yycyp

15、.方程 ypyqyf ( x) 的特解 yp 的形式表自由项 f ( x) 的形式特解的形式的设法不是特征根y pQ m (x)e xf (x) Pm ( x)e x是特征单根y pxQ m (x)e x是二重特征根y px 2Qm ( x)e xf1 ( x)Pm ( x)e x cos令i, 构造辅助方程ypy qy = Pm (x)e x或求出辅助方程的特解y py1iy2f 2 ( x)Pm ( x)e x sin则 y1 是方程 ypyqyf1 (x) 特解y2 是方程 ypyqyf 2( x) 特解注 : 表 中 的 Pm( x) 为 已 知 的 m 次 多 项 式 ， Qm( x

16、) 为 待 定 的 m 次 多 项 式 ， 如Q2(x) Ax2Bx C（A,B,C为待定常数） .在设微分方程y py qy Pm ( x) e x 的特解时，必须注意把特解y p 设全 . 如：Pm (x)x2 ，那么Qm ( x)b0 x2b1 xb2 ，而不能设 Qm (x)b0 x2 . 另外，微分方程的特解都是满足一定初始条件的解，上面所求的特解y p 一般不会满足题设初始条件，因此需要从通解中找出一个满足该初始条件的特解.【例 4】求微分方程 yy 4xex 满足初始条件 yx 00 ， y x 0 1 的特解 .解 对应齐次方程的特征方程为r 2 10 ，特征根r1,21故对应

17、齐次微分方程的通解为 ycC1exC2e x .因为1是特征方程的单根，所以设特解为y Px(b0 xb1 )ex ，代入原方程得2b02b14b0 x4x ，比较同类项系数得b01 ， b11 ，从而原方程的特解为yPx( x1)ex ，故原方程的通解为yC1exC2e xx(x 1)ex ，由初始条件x0 时， yy 0 ，得C1C20 ,C1C22 ,从而 C11， C21 . 因此满足初始条件的特解为yexe xx(x1)ex .【例 5】 求微分方程y4y 8 ye2x sin 2x 的通解 .解 对应的齐次微分方程的特征方程r 24r 80 ，特征根 r1, 222i . 于是所对

18、应的齐次微分方程通解为yce2 x (C1 cos2xC2 sin 2x)为了求原方程y4y8 y e2x sin 2x 的一个特解 ,先求 y4 y8ye( 2 2i ) x（）的特解 . 由于22i 是特征方程的单根，且Pm (x) 1 是零次多项式。所以设特解为y Axe( 2 2i ) x ，代入原方程，化简得(4 4i) A 8i Ax4 A( 22i ) Ax8Ax 1,比较同类项系数，得4 Ai1，1iA.4i4所以，方程（）的特解为yixe2 x (cos 2xi sin 2x) =1xe2 x (i cos2x sin 2x) ,44其虚部即为所求原方程的特解yP1 x2 x

19、cos2x.e4因此原方程通解为y e2 x (C1 cosx C2 sin x)1xe2 x cos 2x .4四、高阶微分方程的降阶法方程的形式引入 y的形式降阶后的方程yf ( x, y )设 yp( x),yp ( x)p (x)f ( x, p( x)设yp( y),则p dpyf ( y, y )dydp dydpf ( y, p)ydydxdy dxpdyy(n )f ( x)对方程 y(n)f ( x) 两边逐次积分n 次，即可得到该方程的通解【例 6】求微分方程x3 yx2 y 1 的通解 .解方程中不显含未知函数y，令 yP ，dPx3 dPx2P 1，y，代入原方程， 得

20、dxdxdP1P1，这是关于未知函数P (x)的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解dxxx3公式，所以1 dx1 dxP (x)ex(13 e x dxC1 ）x= eln x(1ln xdxC1） =1 1xdxC1） =1(1C1 ）=1C1，x3e(x3xxx2x由此 dy =x1C1 ，dxx2xy(1C11C1 ln x C 2 ，x 2x) dx =x因此，原方程的通解为y =1C1 ln xC2 （ C1,C2为任意常数） .x【例 7】 求微分方程2( y )2y ( y1) 满足初始条件 y x 12 ， y x 11的特解 .解方程不显含 x ，令 yP ， yP dP

21、 ，则方程可化为2P2P dP ( y 1) ，dydy当 P0 时 dP2dy ，于是PC1 ( y1) 2.Py1根 据y x 1 2 ， y x 11 ， 知 y y 2 1代入上式，得C11，从而得到dydx ，积分得1x C 2，再由 y x 12 ，求得C20 ，于是当 P0 时，( y 1) 2y1原方程满足所给初始条件的特解为1x ，y1当 P0 时，得 yC (常数 )，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解1x 中 .y 1故原方程满足所给初始条件的特解为1y 11 .yx ，即1x第四节二阶线性微分方程解的结构+二阶齐次线性微分方程解的叠加原理：如果函数y1 和 y2 是

22、齐次线性微分方程的两个解，则函数yC1 y1C2 y2 也是方程yp( x) yq( x) y0 的解；且当 y1 与 y2 线性无关时，yC1 y1C2 y2 就是方程的通解（其中 C1 ,C2 是任意常数） .非齐次线性微分方程解的叠加原理：如果函数yp 为非齐次线性微分方程y p(x) yq(x) y f ( x) 的一个特解， yc 为齐次线性微分方程y p(x) y q( x) y0 的通解，则 yyc yp 为该非齐次线性微分方程的通解 .非齐次线性微分方程解的分离定理：如果 y1 是方程 ypyqyf 1 ( x) 的解， y2 是方程 ypyqyf 2 ( x) 的解，则yy1y2 是方程ypyqyf1 (x)f 2 ( x)的解 .第五节用微分方程解决实际问题的方法用微分方程解决实际问题，包括建立微分方程，确定初始条件和求解方程这几个主要步骤 . 由于问题的广泛性，一般建立微分方程要涉及到许多方面的知识，如几何、物理等.【