苏州市2018届高三上学期期中考试数学试题.

1、苏州市 2018 届高三第一学期期中调研试卷数 学一、填空题 ( 本大题共 14 小题，每小题5 分，共 70 分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置)1已知集合 U1,2,3,4,5,A1,3, B2,3 ，则 AI(eU B)2函数 y1的定义域为ln( x 1)3设命题 p : x4；命题 q: x 25x 4 0 ，那么 p 是 q 的条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）4已知幂函数yx2 m m2( mN*) 在 (0,) 是增函数，则实数m的值是5已知曲线 f (x)ax3ln x 在 (1, f (1)处的切线的斜率为2，则实数 a 的值是6

2、已知等比数列 an 中， a32 ， a4 a6a7a916 ，则a5a37函数 y sin(2x)(02) 图象的一条对称轴是x，则的值是128已知奇函数f ( x) 在 (,0)上单调递减，且f (2)0，则不等式f ( x)0 的解集为x 19已知 tan()2 ，则 cos2的值是410若函数 f ( x)x8, x 2( a0且a1) 的值域为 6,) ，则实数 a 的取值范围是log ax5, x211已知数列 an , bn 满足 a11 ,a n bn1,bn 11( n N*) ，则 b1b2 Lb20172an112设 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别是a,b,c

3、， D 为 AB 的中点，若 ba cosCcsin A 且 CD2 ，则 ABC 面积的最大值是13 已知函数f ( x) sin( x) ，若对任意的实数5, ，都存在唯一的实数0, m ，使662f ( ) f ()0，则实数 m 的最小值是 14已知函数 f ( x)ln x, x0，若直线 yax 与 yf ( x) 交于三个不同的点A(m, f (m), B(n, f ( n),2 x 1,x 0C(t , f ( t) （其中 mnt ），则 n12的取值范围是m二、解答题 ( 本大题共 6 个小题，共 90 分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )

4、15 ( 本题满分 14 分)已知函数2sin(2ax)1f (x)b( a 0, b 0) 的图象与 x 轴相切，且图象上相邻两个最高点之242间的距离为2（ 1）求 a,b 的值；（ 2）求 f ( x) 在 0, 上的最大值和最小值416 ( 本题满分 14分)在 ABC 中，角 A, B, C所对的边分别是a, b, c，已知 sin Bsin Cm sin A( mR ) ，且 a24bc 0 （ 1）当 a2, m5时，求 b, c 的值；4（ 2）若角A为锐角，求的取值范围m17 ( 本题满分 15分)已知数列 an 的前 n 项和是 Sn ，且满足 a11 ， Sn 13Sn1

5、(nN*)（1）求数列 an 的通项公式；（2）在数列 bn 中， b13 ， bn 1 bnan1 ( nN* ) ，若不等式an bn n2 对 n N* 有解，求实数an的取值范围18 ( 本题满分 15分)如图所示的自动通风设施该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB 为 2 米，梯形的高为1米，CD为 3 米，上部CmD是个半圆， 固定点E为的中点是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横CDMN杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和CD平行当 MN位于 CD下方和上方时，通风窗的形状均为矩形 MNGH（阴影部分均不通风）（ 1）设 MN与 AB之间的距离为 x (0 x5且 x1)

6、 米，试将通风窗的通风面积S（平方米）表示成2关于 x 的函数 yS( x) ；（ 2）当与AB之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积S取得最大值？MN19 ( 本题满分 16 分)已知函数f (x)ln x, g( x)x2xm （ 1）求过点 P(0, 1) 的 f (x) 的切线方程；（ 2）当 m 0时，求函数 F ( x)f ( x)g( x) 在 (0, a 的最大值；（ 3）证明：当 m - 3 时，不等式f ( x)g( x) x 2( x 2)ex 对任意 x 1,1 均成立（其中 e 为自然2对数的底数 , e2.718. ）20 ( 本题满分16 分)已知数列 an 各项

7、均为正数，a11,a22，且an an 3an 1an 2 对任意 nN*恒成立，记 an 的前n项和为Sn （1）若 a3 3 ，求 a5 的值；（2）证明：对任意正实数p， a2 npa2 n 1 成等比数列；（3）是否存在正实数 t ，使得数列 Sn t 为等比数列若存在，求出此时an 和 Sn 的表达式；若不存在，说明理由2017 2018 学年第一学期高三期中调研试卷数学 ( 附加题部分 )21【选做题】本题包括A、 B、 C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A ( 几何证明选讲) （本小题满分1

8、0 分）如图， AB为圆 O的直径， C在圆 O上， CFAB 于 F，点 D为线段 CF上任意一点，延长AD交圆 O于E， AEC300 CE（ 1）求证： AFFO ；（ 2）若 CF3，求 ADAE的值DAFOBB ( 矩阵与变换 ) （本小题满分10 分）12ur 4，求 A49ur已知矩阵 A1，的值22C ( 极坐标与参数方程) （本小题满分10 分）x4 t 2在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为5( t 为参数 ) ，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为2 ty5极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2a cos()(a 0) 4（ 1）求直线 l 和圆 C 的直角坐标方程

9、；（ 2）若圆 C任意一条直径的两个端点到直线l 的距离之和为5 ，求 a 的值D ( 不等式选讲 ) （本小题满分10 分）设 x, y 均为正数，且 xy ，求证： 2x1 2 y 3 22xyy2x【必做题】第22、 23 题，每小题10 分，共计20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 ( 本小题满分10 分 )在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请10 位客人做一个游戏第一轮游戏中，主持人将标有数字 1,2,10 的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中，让客人依次去摸，摸到数字6,7,10 的客人留下，其余的淘汰，第二轮放入1,2,5 五张卡片，

10、让留下的客人依次去摸，摸到数字3,4,5的客人留下，第三轮放入1,2,3三张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字2,3 的客人留下，同样第四轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物已知客人甲参加了该游戏（ 1）求甲拿到礼物的概率；（ 2）设 表示甲参加游戏的轮数，求的概率分布和数学期望 E( ) 23 ( 本小题满分10 分)（ 1）若不等式 ( x 1)ln( x1) ax 对任意 x 0,) 恒成立，求实数 a 的取值范围；（ 2）设 nN* ，试比较11L1与 ln(n1) 的大小，并证明你的结论23n120172018 学年第一学期高三期中调研试卷数学参考答案一、填空题 (本大题共

11、14 小题，每小题5 分，共70 分)1 12 (1,2) U (2,)3充分不必要4 15 136 478 ( 2,0) U (1,2)410 (1,293511112 211314 (1,e1)20182e二、解答题 (本大题共6 个小题，共90 分)15 (本题满分14 分)解：（ 1） f ( x) 图象上相邻两个最高点之间的距离为2，f ( x)的周期为，2且a0222 | a |2， ················

12、3;················ 分 a2 ，································

13、83;··························4 分此时 f ( x)2sin(4 x)1b ，224又f ( x)的图象与 x 轴相切， 12| b|且b0622，·············

14、83;··········· 分 b21 ；·····································&

15、#183;··················8 分22（ 2）由（ 1）可得 f ( x)2 sin(4 x4)2，22 x0, ， 4x, ，4444当4x44，即 x4时， f ( x) 有最大值为2 1 ；·················&

16、#183;·······11 分2当 4x4，即 x时， f ( x) 有最小值为0······························14 分21616 (本题满分14 分)解：由题意得 b cma ， a24bc0&#

17、183;··········································2 分（ 1）当 a2, m5c5,bc1 ，时， b24b2b1解得c1 或2 ； &

18、#183;················································6 分2c2b

19、2 c2a2(bc) 22bca 2(ma)2a2a2（ 2） cos A22m23 ， ················8 分2bc2bca22 A 为锐角， cos A2m23(0,1) ，3m22 ， ···················&#

20、183;·······11分2又由 b cma 可得 m0 ，·······································

21、·········13分6 m2 ·······································

22、3;··············14 分217 (本题满分15 分 )解：（ 1） Sn 13Sn1(nN* ) ， Sn3Sn11(n N* ,n 2) ， an 13an (nN* , n 2)，·····················

23、3;························2 分又当 n1 时，由 S23S11得 a23符合 a23a1 ， an 13an (n N* ) ，·················

24、·3 分数列 an 是以 1 为首项， 3 为公比的等比数列，通项公式为an 3n 1 (n N* ) ； ·············5 分（ 2） bn 1bnan13(nN* ) ， bn 是以 3 为首项， 3 为公差的等差数列， ···········7 分an bn 33(n1)3n(nN* ) ，···&#

25、183;·········································9 分2n 12n2 3n对*anbn n ，即 33n n，即nN 有解， ··

26、;··················10 分3n 1设 f ( n)n23n*) ，3n1 (nN f ( n1)f ( n)(n 1)23(n1)n23n2(n24n1)，3n3n13n当 n 4时， f (n1)f (n) ，当 n4 时， f (n 1)f (n) ， f (1)f (2)f (3)f (4)f (5)f (6)L， f ( n)maxf (4)4，···

27、3;···············································14 分27 4·&#

28、183;·················································&#

29、183;···15 分2718 (本题满分15 分)解：（ 1）当 0 x1时，过 A作 AKCD 于 K （如上图），则 AK1， DKCDAB11x ，2， HM2由 AKMH2，得 DHHM12x ，DKDH2 HG32DH2x， S( x)HMHG(1x)(2x)x2x2 ；························

30、;···········4 分当 1 x5时，过 E作ETMN 于 T ，连结 EN （如下图），22则 ETx 1， TNMN3( x 1)29( x 1)2 ，224 MN29( x1)2，4 S( x)MNET29( x1)2( x 1) ， ····················

31、···············8 分4x2x2 , 0 x1综上： S( x)2( x 1)9( x 1)2 , 1 x5；···························&

32、#183;······9 分42（ 2）当 0 x1 时， S(x)x 2x2( x1 )29 在0,1)上递减，24 S( x) maxS(0)2 ；································&#

33、183;·················11 分59( x1)29( x1)22 当 1x时，S( x)2( x1)( x2 249241)2，4当且仅当 (x1)9( x1)2 ，即x321(1,5) 时取 “ ”，442 S( x) max9 ，此时 S( x) max92 ， S( x) 的最大值为9 ，·········

34、3;················14 分444答：当 MN 与 AB 之间的距离为 321 米时，通风窗的通风面积S154取得最大值 ············ 分19 (本题满分16 分 )解：（ 1）设切点坐标为( x0 ,ln x0 ) ，则切线方程为 y ln x01 ( x x0 ) ，x0将 P(0,1)

35、 代入上式，得ln x00 ， x01 ，切线方程为yx1；·············································

36、·····2 分（ 2）当 m0 时， F ( x) ln xx2x, x (0,) ， F ( x)(2 x 1)(x1)(0,) ，··································

37、83;······3 分x, x当 0 x1时， F ( x)0，当 x1 时， F ( x)0 ， F ( x) 在(0,1) 递增，在 (1,) 递减， ································

38、;··········5 分当 0a 1时， F ( x) 的最大值为 F (a) ln aa2a ；当 a1 时， F ( x) 的最大值为 F (1) 0 ；····························&

39、#183;···7 分（ 3） f ( x)g ( x)x2( x 2)ex 可化为 m ( x 2)exln x x ，设 h(x)(x2)exln xx, x 1 ,1，要证 m - 3时 m h( x) 对任意 x 1,1 均成立，22只要证 h( x) max3 ，下证此结论成立 h ( x)(x1)(ex 1) ，当1x1时， x 10 ，··················&

40、#183;············8 分x2设 u(x)x1x11,1) 递增，e，则 u ( x)ex20， u( x) 在 (x2又 u( x) 在区间 1 ,1 上的图象是一条不间断的曲线，且u( 1)e 2 0 ， u(1) e 1 0 ，22x0(1,1) 使得 u( x0 )0 ，即 ex01， ln x0x0，·············

41、;·············11 分2x0当x(1, x0 ) 时， u( x)0， h ( x)0；当 x ( x0 ,1) 时， u(x)0 ， h (x) 0 ；21函数 h( x) 在 , x0 递增，在 x0 ,1 递减， h(x)maxh( x0 )( x02)ex0ln x0x0( x02)12x0122 x0 ，···········

42、3;····14 分x0x0 y122x 在 x(1,1) 递增， h( x0 )122x01223，即 h( x)max3 ，x2x0当 m - 3 时，不等式f ( x)g ( x)x2( x2)ex1对任意x,1162均成立 ··············· 分20 (本题满分16 分)解：（ 1）a aa aa6 ，又aaa a3，a52 a49； ····&#

43、183;················142 34253 42分（ 2）由an an 3an 1 an 2，两式相乘得 an an1a n3a n 4an1an23 ，an 1an 42anan 2an 3 an0 ， an an 42*an 2 ( nN ) ，从而an 的奇数项和偶数项均构成等比数列，4···········

44、;··························· 分设公比分别为q1,q2，则 aaqn 12qn 1， aa qn 1qn 1，················

45、·· 分2n22n 1221 115又an 3an 1，a4a222q2，即 q1q2 ，······························6 分an 2=ana3a1q1设 q1q2q ，则 a2npa2 n 1q( a2n2pa2n3 ) ，且 a2 npa2 n1

46、0 恒成立，数列 a2npa2 n1 是首项为 2p ，公比为 q的等比数列，问题得证；··················8 分（ 3）法一：在（2）中令 p1，则数列 a2na2n 1 是首项为3 ，公比为 q 的等比数列，3k,q1 S( aa) (aa)(aa )k，2 k12 k 22 k323(1q )2k2 k1,q11q3k2qk 1,q1S2 k 1S2 ka2 k3(1q k )2qk 1, q，

47、····································10 分1q1且 S11,S23, S33q, S433q ，( S2t)数列 Sn t 为等比数列，t)( S32( S1t)(S3t ),2( S2t)( S4t

48、),即(3t) 2(1t )(3qt),，即2t6q(1 t),tq3,(3 q t) 2(3t )(33q t),解得t1（ t3舍去）， ······································&

49、#183;········13q4分 S2k 4k1 22k1， S2k122 k 1 1，从而对任意n N* 有 Sn2n1，此时 Sn t2n ， Snt2为常数，满足 Snt 成等比数列，Sn 1t当 n 2 时， anSnSn12n2 n 1 2 n 1 ，又 a11 ， an2 n 1 (nN*) ，综上， 存在 t 1使数列 Snt 为等比数列， 此时 an2 n 1 ,Sn2n1(nN* ) ·········&

50、#183;··16 分法二：由（2）知，则a2n2qn1 ， a2 n 1 q n 1，且 S1 1, S23,S33q, S4 3 3q ，( S2t)数列 Snt 为等比数列，( S3t)2( S1t)(S3t ),2( S2t)( S4t ),(3t) 2(1t )(3qt),2t6q(1 t),即qt) 2(3t )(33q t),，即q3,(3t解得t1（ t3 舍去）， ················&

51、#183;·························11q4分n 12 n 12 n 2*n 1a2 n2q2， a2n 12，从而对任意nN有 a2，················

52、;·····分n13 Sn2021222n 11 2n2n1，12此时nt2nSnt2为常数，满足Snt，SSn 1t 成等比数列，综上， 存在 t1使数列 Snt 为等比数列， 此时 an2 n 1 ,Sn2n1(nN* ) ············16 分21【选做题】 本题包括 A、 B、 C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A (几

53、何证明选讲，本小题满分10 分)解：（ 1）证明 ：连接 OC , AC ，AEC300 ，AOC 2AEC600 ，CE又 OAOC ，AOC 为等边三角形，D CFAB，CF 为AOC 中 AO 边上的中线，AFOB AFFO ；······························

54、83;······5 分（ 2）解：连接 BE， CF3 ，AOC 是等边三角形，可求得 AF1， AB4 ， AB 为圆 O 的直径，AEB90o ，AEBAFD ，又BAEDFA ，AEB AFD ， ADAF ，ABAE即 ADAEAB AF4 14 ·······················

55、83;······················10 分B (矩阵与变换，本小题满分10 分)解：矩阵 A 的特征多项式为f ()12223 ，21令 f ()0 ，解得矩阵A 的特征值11,23，·······························2 分当 11 时特征向量为uur1，当2 3 时特征向量为uur1，············