等差数列及其前n项和讲义.

1、等差数列及其前n 项和一、等差数列的相关概念（一）等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。利用：“ a n 1 an d ( d 为常数 )”判断一个数列是否是等差数列。注意：2 项起，而是从第 3 项起或第4 项起，那么此数列不是（1）如果一个数列不是从第等差数列；（ 2）等差数列要求这个常数必须相同；（ 3）公差 d ： d a n 1 an an an 1(n 2)；（ 4）当 d 0 时，数列为常数数列；当d 0，数列为递增数列；当d 0，数列为递减数列；（ 5）公差必须为后一项减前一项，不能

2、颠倒。（二）、等差数列的通项公式如果等差数列 an 的首项为 a1 ，公差为 d ，那么它的通项公式是an a1(n 1) d ，或者通项公式的变形： an am (n m) d 。（三）、等差中项：（ 1）由三个数 a ， A ， b 组成的等差数列， A 叫做 a 和 b 的等差中项，则 2A a b；（ 2）若在一个等差数列中，除去首项和末项以外，每一项都是它前一项与后一项的等差中项，即 2 an an 1 an 1 。（ 3） 特别地：在 ABC 中， A、 B、C 成等差数列，则 B600。例 1：已知数列 an 为等差数列a35， a7 7，则 a15 _ 。【基本量法】44【解析

3、】 314 .变式练习 1：若等差数列 an 的公差 d 0，且 a1 ， a2 是关于 x 的方程 x2 a3 x a4 0的两根，求数列 an 的通项公式。a1 a2 a3，2a1 d a12d，a1 ，2【解】由题意知124，11 d13，解得an2n.a a aaaadd ，2变式练习 2：（ 1）方程 x2 6x 1 0 的两根的等差中项为 _。（2）等差数列 an 中，前三项依次为x1 ，5， 1 ，则公差 d _.16 xx【解析】 (1)设方程两根为 x、x2，则 x x 6，所以其等差中项为x1 x2 3.1122(2) 由 1 1 2× 5 得 x 2，故知等差数

4、列 an 的首项为 1，公差 d 1 .x 1 x6x312变式练习 3：等差数列 an 中，若 a7 a3 20，则 a2017 a2011 ()A：40B：30C： 25D： 20【解析】 选 B.因为 4da7a320，所以 d5，于是 a2017 a2011 6d 6×530.二、等差数列的性质1、 d 0， an 是递增数列；d 0， an 是常数列；d 0， an 是递减数列。2、公差 d ana1 anam (m、 n N )n1nm3、若 pqmn，则 a p aq am anm、n、p、qN；特别地： mn k，则 2 ak am an (角标公式 )2例 2：在公

5、差为d 的等差数列 an 中，（ 1）若 a2 a3 a23 a24 48，则 a13 _ 。（ 2）若 a2 a3 a4 a5 34， a2 × a5 52，则 d _。a24，a2 13，或 【解析】：（1） a13 12. （2） 或 13d 3d3.55aa 4，变式练习 1：已知等差数列 an 中， a2 a6 a10 1，则 a4 a8 _。2【解析】：3变式练习2：（ 1）在等差数列中a1 a9 15， a8 4，则a2 ()A：10B： 11C： 12D ：9【解析】B（2）在等差数列 an 中，若a4 10，则a2 a3 a4 a5 a6 ()A：30B： 40C：

6、50D：60【解析】C变式练习 3：在等差数列 an 中， a5 a6 4，则 log 2 (2a12 a22a10 ) ()A：10B： 20C： 40D： 2 log 52【解析 】 a1a2a105(a5a6 )5×420log2(· · · ) log2 220 20.变式练习 4：在等差数列 an 中，若 a2 a4 a6 a8 a10 80，则 a7 1a8 的值为2()A ： 4B： 6C： 8D： 10【解析】选 C.因为 a2 a4 a6 a8a105a6 80，所以 a6 16.所以 a7 111a8 (2 a7 a8 ) ( a6

7、a8 a8 ) 8222三、等差数列前n 项和 Sn1、公式： Sn n( a1 an ) n a1 n( n1) d ；22由前 n 项和公式得： Sn An2 Bn C，则 an 成等差数列的充要条件是C0。2、性质：（1）、在等差数列 an 中，则 Sn ， S2n Sn ， S3n S2n 成等差数列。例 3：设 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，若 a3 3， S9 S6 27，则该数列的首项a1 等于()6363A ：B ：C：D：5555【解析】：由得解得 a1= .故选 D.变式练习 1：在等差数列an 中，已知 S848， S12168 ，求数列 an的通项公式。【解析

8、】： a18, d 4an 4n12变式练习 2：九章算术有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日织尺数为（）A：6B：9C：12D：15【解析】： S7 21， a2a5a8 15 ，则 a10 15变式练习 3：已知数列an为等差数列，前 30 项的和为50，前 50 项的和为30，求前 80项的和。50900A30BA4【解析】：解：设 S An2Bn ，75解得n302500A50BB4915Sn4 n249 nS80480 249808075157515注：等差数列有如下性质：若Spq, Sqp pq 则 Sp qpq

9、。例 4：在等差数列an中，已知 a4a512 ，那么它的前8项之和 S8等于 （）A：12B： 24C：36D： 48【解析】： D变式练习 1：已知等差数列an 中， a2a5a9a1260，那么 S13 （）A：390B ：195C： 180D： 120【解析】：C变式练习 2：在等差数列 an 中， a21 20，则 S41 _ 。【解析】 820变式练习 3：已知在等差数列 an中， a3 、 a15是方程 x2 6x 10 0 的根，则 S17（）A：41B：51C： 61D：68【解析】：B变式练习 4：an 的公差 d1， a2a4a10080，那么 S100（）已知等差数列2

10、A：80B ：120C： 135D ：160【解析】：B例 5：等差数列 an 的前 m 项的和为30，前 2m项的和为 100，则它的前3m 项的和为 ()A：130B：170C： 210D：260【解析】：C变式练习 1：设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，若 S31，则 S6()S63S123B ：1C： 81A ：3D：109【解析】：A变式练习 2：等差数列 an的前 n 项和为Sn，若S3 ，36，则a7a8a9（）9 S6A63B 45C36D 27【解析】：B变式练习 3：等差数列an 共有 3m 项，若前 2m 项的和为 200，前 3m 项的和为 225，则中间 m

11、 项的和为（）A：50B：75C： 100D： 125【解析】：B四、等差数列前n 项和的最值1、等差数列前 n 项和 Sn n a1 n( n1)d 1d 2 ( a1 d ) 上式可变成： Sn An2222Bn 。 当 d 0 时，数列 S1 ， S2， Sn 的图象是抛物线上的一群弧立点。2、等差数列前n 项和的最值：（ 1）利用二次函数图象的性质； （ 2）当 a1 0，d 0 时，由 am 0， am 1 0，则 Sm 为最大值；（ 3） a1 0，d 0 时，由 am 0， am 1 0，则 Sm 为最小值。例 6：在等差数列 an 中， a1 25， S17 S9，求 Sn 的

12、最大值。【解析】：方法一：S17 S9 得： 25×17 17(17 1) d 25× 9 9(91) d得： d 2， Sn 25n n (n 1)22( 2) (n 13)2 1692 当 n 13 时， Sn 有最大值 169。方法二：同法一先求出d 2， a1 25 0n1an25(n 1)013得2由12 1an 1252n0n2 当 n 13 时， Sn 有最大值 169。变式练习 1：在等差数列 an 中， a1 0，S4 S9，则 Sn 取最大时， n _。【解析】：6 或 7变式练习 2：在等差数列 an 中，前 n 项和为 Sn ，若 a1 11， a4

13、 a6 6，则当 Sn取最小值时， n（）。A：6B：7C：8D：9【解析】：a111Sn(n 6) 236Ad2变式练习3：在等差数列 an 中，前 n 项和为 Sn ，若 S16 0， S17 0，当 Sn 取最大值时， n（）。A：16B ：8C： 9D ：10【解析】：a1a160a1a160a8 a90a8 0得得故Ba1a170a90a90a90例 7：已知数列 an 是等差数列，a2 4， a8 14，则计算 a1 a2 an 1 an 的值。【解析】： an 10 3n 0， n 31 ，当 n 3 时， an 0，当 n 4 时， an 03a1 a2 an1 ana1a2a

14、3an , (n 3)a1 a 2 a3 a4a5an ,( n 4)( a1an )n3n 217n3), (n 3)2, (n23n217n 48 , (n 4)2(a1a2a3 )(a1 a 2an ), (n 4)2课后综合练习n1 2，2an 1 2an 1(nN )，则 a101的值（）1、在数列 a 中， aA：49B： 50C： 51D： 52【解析】：D2、在等差数列 an 中首项为70，公差为9，则这个数列中绝对值最小的一项为（）A ： a8B ： a9C：a10D： a11【解析】：B3、在等差数列 an 中， a2 5， a6 a46，则 a1 等于（）A： 9B： 8

15、C： 7D：4【解析】：B4、已知数列 an 为等差数列，且a1a7 a13，则 tan(a2 a12)的值为（）A ： 3B： 3C：± 3D：33【解析】：B5、在等差数列 an 中，首项为a1 0，公差 d 0，若 ak a1 a2 a3 a4 a5a6 a7，则 k的值是（）A：21B： 22C： 23D： 24【解析】：B6、已知等差数列n1 a2a3 a99 99，则 a3 a6 a9 a 的公差为1，且 aa96a99（）A：99B ：66C： 33D ： 0【解析】：B7、已知数列 an 为等差数列且a1 a5 a9 4，则 cos( a2 a8 )的值为()A ：3

16、B：1C：3D： 12222【解析】选D8、在等差数列 an 中，a1 a4 a7 39，a2 a5 a833，则 a3 a6 a9 的值为()A：30B： 27C： 24D： 21【解析】 选 B. 令 b1a1a4a739，b2 a2 a5a833，b3a3a6a9，因为 a n 成等差数列，所以b1，b2，b3 成等差数列，所以a3a6a9 b3b2(b 2b1) 2b2b127.9、等差数列 an的前 n 项和为 Sn ，若 S2 2， S4 8，则 S6 等于 _。【解析】： 1410、在等差数列an中，若 S4 1， S84，则 a17 a18 a19 a20 _。【解析】： 911、在等差数列an中， a1 a2 a3 15, an an 1an 2 78， Sn 155，则 n _ 。【解析】： 10sin2 a4 cos2 a7sin 2 a7 cos2 a41(10)，当且12、设等差数列 an 满足a6 ) ，公差 d ，sin(a5仅当 n 9 时，数列 an 的前 n 项和 Sn 取得最大值， 求该数列首项 a1的取值范围 _。【解析】： (4 ,3 )3213、等差数列 an 中，a3 a4 4，a5 a7 6。（ 1）求 an 的通项公式；（ 2）设 bn an ，求数列 bn 的前 10项和