柯西中值定理

1、定理定理6.5(柯西中值定理柯西中值定理) 设函数设函数 , 在区间在区间 )(xf)(xg,ba上满足上满足:(i) f(x) , g(x) 在闭区间在闭区间 a, b 上连续上连续;(iii);0)()(22 xgxf(iv). )()(bgag 则在开区间则在开区间 内必定内必定 (至少至少) 存在一点存在一点 , 使得使得),(ba 一、柯西中值定理(ii) f(x) , g(x) 在开区间在开区间 (a, b) 上可导上可导;( )( )( ).( )( )( )ff bf agg bg a 几何意义首先将首先将 f , g 这两个函数视为以这两个函数视为以 x 为参数的方程为参数的

2、方程, )(xgu . )(xfv 它在它在 O- uv 平面上表示一段曲线平面上表示一段曲线. 由由拉格朗日定理拉格朗日定理恰好等于曲线端点弦恰好等于曲线端点弦 AB 的斜率的斜率(见下图见下图):ddxvu 的几何意义的几何意义, 存在一点存在一点 ( 对应于参数对应于参数 ) 的导数的导数 .)()()()(agbgafbfkAB )(, )( fgP)(, )(bfbgB( ( ) ,( )A g af aOuv 证证 作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfxF 显然显然, 满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件, 所以存在点所以存在点

3、)(xF),(ba 使得使得 , 即即0)( F. 0)()()()()()( gagbgafbff( )0( )(iii),gf因因为为否否则则也也为为零零, ,与与条条件件矛矛盾盾.)()()()()()(agbgafbfgf 从而从而例例1 设函数设函数 f 在区间在区间 a, b(a 0) 上连续上连续, 在在(a, b).ln)()()(abfafbf 证证 设设 , 显然显然 f (x), g(x) 在在 a, b 上上满足满足xxgln)( 柯西中值定理的条件柯西中值定理的条件,于是存在于是存在, 使得使得),(ba ,1)(lnln)()( fabafbf 变形后即得所需的等式

4、变形后即得所需的等式.),(ba 上可导上可导, 则存在则存在, 使得使得在极限的四则运算中在极限的四则运算中, 往往遇到分子往往遇到分子, 分母均为无分母均为无01.0型型不不定定式式极极限限二、不定式极限究这类极限究这类极限, 这种方法统称为洛必达法则这种方法统称为洛必达法则.称为不定式极限称为不定式极限. 现在我们将用柯西中值定理来研现在我们将用柯西中值定理来研比较复杂，各种结果均会发生比较复杂，各种结果均会发生. 我们将这类极限统我们将这类极限统穷小量穷小量 ( (无穷大量无穷大量) ) 的表达式的表达式. 这种表达式的极限这种表达式的极限定理定理6.6满足：满足：和和若函数若函数gf

5、000(i) lim( )lim( );xxxxf xg x00(ii)()xUx在在点点的的某某空空心心邻邻域域内内两两者者均均可可导导，0( );g x 且且 0( )(iii) lim,.( )xxfxAAg x 可以为实数，可以为实数，则则00( )( )limlim.( )( )xxxxf xfxAg xg x 证证000()(),f xg xf g我们补充定义所以我们补充定义所以,),(.000 xxxUxx则在区间则在区间任取任取连续连续在点在点 有有上应用柯西中值定理，上应用柯西中值定理，),(0 xx000( )()( )( )(.( )( )()( )f xf xf xfx

6、xg xg xg xg 介于与之间)介于与之间)000( )( )( )limlimlim.( )( )( )xxxxxxf xffxAg xgg x 注注，改为改为中的中的将定理将定理 0001xxxxxx00,令令故故xxx 根据归结原理根据归结原理只只要要修修正正相相应应的的邻邻域域，的的情情形形, xx结论同样结论同样成立成立. .例例41tanlim.sin4求求xxx 解解00.容易验证：这是一个型不定式容易验证：这是一个型不定式2441tansec21limlim.sin44cos442xxxxxx 000( )lim,( )xxfxg x如如果果仍仍是是型型不不定定式式极极限限

7、 只只要要满满足足洛洛 例例2.)1ln()21(elim2210 xxxx 求求解解2201ln() ,xxx因为当时，所以因为当时，所以11222200e(12 )e(12 )limlimln(1)xxxxxxxx132200e(12 )e(12 )limlim1.22xxxxxxx0( )lim( )xxfxg x考考察察必必达达法法则则的的条条件件, ,可可再再用用该该法法则则. .存在性存在性. .这里在用洛必达法则前，使用了等价无穷小量的这里在用洛必达法则前，使用了等价无穷小量的代换，其目的就是使得计算更简洁些代换，其目的就是使得计算更简洁些.例例301lim.e求求 xxx解解可

8、直接利用洛必达可直接利用洛必达型不定式极限型不定式极限这显然是这显然是,00法则法则. 但若作适当变换但若作适当变换, 在计算上会显得更简洁些在计算上会显得更简洁些. 于是于是时有时有当当令令,00, txxt0001111limlimlim.eeettxxttxt 例例410(1)elim.xxxx求求解解 1100(1)(1)elimlim1xxxxxxx120ln(1)1lim(1)xxxxxxx20(1)ln(1)elimxxxxx01ln(1)1eelim.22xxx 2.型型不不定定式式极极限限定理定理6.7满足：满足：和和若函数若函数gf00(i) lim( )lim( )xxx

9、xf xg x ；00(ii)()xUx 在在点点的的某某右右邻邻域域内内二二者者均均可可导导，0( );gx 且且 0( )(iii) lim,.( )xxfxAAg x 可可以以为为实实数数则则00( )( )limlim.( )( )xxxxf xfxAg xg x 证证100.(),AxUx 设设为为实实数数 对对于于任任意意的的，01,xxxx满满足足不不等等式式的的每每一一个个( ),( )fxAg x 使使由柯西中值定理，存在由柯西中值定理，存在,1xx 11()( )( ).()( )( )f xf xfg xg xg 从而有从而有11()( )( ),(1)()( )( )f

10、 xf xfAAg xg xg 另一方面，另一方面， 111111111()( )()( )()( )( ).()( )()( )()( )( )g xf xf xf xf xf xg xf xg xg xg xg xg xf x 上式的右边的第一个因子有界上式的右边的第一个因子有界; 第二个因子对固定第二个因子对固定100,xxx 的是当时的无穷小量 所以的是当时的无穷小量 所以, 0,)1(100时时当当存在正数存在正数式式由由xxxx , 01 有有时时当当,100 xxx00112( )( ),xxx 综合和对一切满足不等式综合和对一切满足不等式( ),( )f xAg x 这就证明了

11、这就证明了0( )lim.( )xxf xAg x , 或或，若若请大家想一想请大家想一想A应应该该如如何何证证明明？的的 x 有有1122( )()( ),( )( )()( )f xf xf xg xg xg x 注注000 xxxxxx这里的可以用，这里的可以用，件要作相应的改变件要作相应的改变.例例5.lnlimxxx求求解解.型型不不定定式式这这是是一一个个 1lnlimlim0.1xxxxx.xx ，来替换 当然定理的条，来替换 当然定理的条,x 例例6.elim3xxx求求解解.6elim6elim3elimelim23 xxxxxxxxxxx例例7.sin2sin2limxxx

12、xx求极限求极限解解,.如如果果用用洛洛必必达达法法则则型型不不定定式式这这是是一一个个 22322sincoslimlim.( )sincosxxxxxxxx 22coslim,cosxxx 而极限不存在 但是原极限而极限不存在 但是原极限. 1sin2sin2limsin2sin2limxxxxxxxxxx(3) 式不成立式不成立. 这就说明这就说明: limlim.xxfxf xgxg x不不存存在在时时, ,不不能能推推出出不不存存在在我们再举一例我们再举一例:例例8.2arctanarctanlimxxAx 求极限求极限解解lim arctan, lim arctan2,22xxxx

13、因为因为所以所以 A = 1. 若错误使用洛必达法则：若错误使用洛必达法则：22arctan114limlim2,arctan212xxxxxx这就产生了错误的结果这就产生了错误的结果. 这说明这说明: 在使用洛必达法在使用洛必达法则前，必须首先要判别它究竟是否是则前，必须首先要判别它究竟是否是0.0或或型型3. 其他类型的不定式极限其他类型的不定式极限00010,不不定定式式极极限限还还有有， ， ，等等类类型型 它它0.0们们一一般般均均可可化化为为型型或或者者型型.下面我们举例加以说明下面我们举例加以说明解解1lnln,xxxx 注意到则注意到则00002111lnlimlnlimlim

14、lim()0.xxxxxxxxxxx但若采用不同的转化方式但若采用不同的转化方式:2000021limlnlimlimlimln11lnlnxxxxxxxxxxxx 很明显很明显, 这样下去将越来越复杂这样下去将越来越复杂, 难以求出结果难以求出结果.例例90limln .xxx 求求0() 型型,解解221lncos20lncos0(cos )e,lim.0 xxxxxxx而而是是型型由于由于,21cos2sinlimcoslnlim020 xxxxxxx因此因此 21120lim(cos )e.xxx例例10210lim(cos ).xxx求求(1)型型解解lnarctan2limkxxx

15、 121limarctan12xkxkxx 111limarctan2xkkxx 例例11102limarctan() .kxxxk 求求00()型型 xxkkxarctan2lim11 , 0lim111lim122 kxkxxkkxxkk所以，原式所以，原式 = = e0 = = 1. .例例12201lim2cot.1cosxxx 求求() 型型解解 xxx20cot2cos11lim xxxxxx23220sincos1cos2cos2sinlim 43220cos2cos2sinlim2xxxxx 3204cossin6cossin6lim2xxxxxx xxxx220sincos2

16、cos11lim例例13( ),0( ).0 ,0g xxxf xx设设(0)(0)0,(0)3,(0).gggf已已知知求求解解000( )( )(0)lim( )limlim0 xxxg xg xgf xxx因因为为(0)0,g( )0.f xx 所所以以在在处处连连续续.23cos1lim320 xxx220coscoslim3xxxx 00( )1( )(0)limlim220 xxg xg xgxx2000( )(0)( )( )(0)limlimlim0 xxxf xff xg xfxxx例例14( ) ,)f xa 设在上连续可微，设在上连续可微，lim( )( ) ).lim( ).xxf xfxAf xA 求证求证证证 先设先设 A 0. 因为因为13(0).22g根据洛必达法则，有根据洛必达法则，有e( )lim( )limlim ( )( ).exxxxxf x