1 - 济南大学物理学院

1、1用复变量表示：  （1）上半平面（2）左半平面  （3）半圆（包括边界）      （4）扇形（不要边界）2求出下列关系的几何位置：  （1） 和 为复常数  （2）   （3）   （4） 3试证明下列恒等式或关系式，并解释其几何意义：  （1） （1.1.18）  （2） （1.1.19）  （3） （1.2.21）4求下列复数的实部、虚部、模与辐角主值：  （1） （3）   （2） （4） 5证明棣摩弗（DeMoivre）公式

2、   （1.1.22）6计算下列数值  （1） （3）   （2）  （4） 7求解方程：  （1） （2） 8设流体在点 的流速为 ，求其大小和方向。9验证下列关系成立：  （1）   （2）设 表对于复数 的任一有理运算，则 1. 2  第1篇 复变函数论 >> 习题 1.21求下列复变函数的实部与虚部：  （1）   （2） 2画出下列关系所表示的 点的轨迹的图形并确定它是不是区域：  （1） 且   （2）   （3） 且  

3、 （4） 3函数 将 平面的下列曲线变成 平面上的什么曲线？  （1） （2）   （3）     （4） 4证明：  （1）复平面上的直线方程可以写成         （ 复常数， 实数）（1.2.4）  （2）复平面上的圆周可以写（1.2.5）5证明 在原点不连续。返回  第1篇 复变函数论 >> 习题 1.31试推导极坐标形式下的 条件：    （1.3.19）2讨论下列函数的可微性和解析

4、性。  （1） （2）   （3）   （4） 3若函数 在区域 上解析并满足下列条件之一，证明 必为常数  （1）   （2） 在 上解析  （3） =常数    （4） =常数4已知解析函数的实部或虚部，求解析函数：  （1）     （2）   （3）            （4） 5已知一平面静电场的电力线族是与实轴相切于原点的圆族，求等势线族，并求

5、此电场的复势。6已知一平面静电场的电力线族是抛物线族 ，求等势线族，并求此电场的复势。7 能否成为 的一个解析函数的实部？为什么？    8证明：如果 和 在 点解析， ，则 。即，对于解析函数而言，实函数中的洛必达（LHospital）法则仍成立。 返回1.4   第1篇 复变函数论 >> 习题 1.41证明（1.4.3）（1.4.4）、（1.4.8）（1.4.12）、（1.4.23）（1.4.25）式。2试证：  （1） （1.4.27）  （2） （1.4.28）  （3） （1.4.29）3若 ，试证 

6、（1） （1.4.30）  （2） （1.4.31）  （3） （1.4.32）  （4） （1.4.33）4求证： （1.4.34）5若 ，则称 为 的反正弦函数，并记作 Arcsinz，类似的也可建立反余弦、反正切、反余切函数的概念，试讨论以上反三角函数的多值性。6解方程：  （1） （3）   （2）      （4） 7判断下列函数是单值的还是多值的，若是多值的，是几值？其支点是什么？  （1） （2）   （3）      

7、（4）   （5） （6）   （7）  （8） 8设 确定在沿负实轴割破了的 平面上，并且 ，并 。9当 时，规定多值函数 ，求 之值。10计算：  （1） （2）   （3） （4） 11讨论下列关系是否成立：      （1） （2） 返回2.1  第1篇 复变函数论 >> 习题 2.11计算积分 积分路径是直线段。2计算积分 积分路径（1）直线段；（2）单位圆周的上半；（3）单位圆周的下半。3利用积分不等式，证明（1） ，积分路径是直线段；（2） ，积分路径是联结

8、到 的右半圆周。4证明        5计算 ，其中 为整数， 为以 为中心， 为半径的上半圆周。 返回2. 2  第1篇 复变函数论 >> 习题 2.21计算积分：  （1） ； 包围 、 两点的围线。  （2） ； 为圆 2计算积分：  （1）                     

9、0; （2）   （3） 3由积分 之值证明         返回2.3  第1篇 复变函数论 >> 习题 2.31计算       （1）                   （2） 2计算 其中围道 :  （1）包围 ，不包围 ； &

10、#160;                 （2）包围 ，不包围 ；  （3）包围 .3计算  （1）                            

11、（2）    其中 4已知 ， 为圆 ，求 5求积分 ，从而证明.6计算积分 ，若：  （1） 在 内， 在 外；             （2） 在 内， 在 外；  （3） 、 均在 内。7证明（ 为自然数）8*已知 是 和 的连续函数， ， 在闭区域 中；对于 中的任何 值， 是 中的单值解析函数，试用科西积分证明含参数的定积分所表示的函数是 内的解析函数，而且以上结论也适用于复变数 的积分 和无穷积分 （要求 ）在 中一致收敛。

12、 返回 3.2  第1篇 复变函数论 >> 习题 3.21确定下列级数的收敛半径   （1） ；（2） ；     （3） ；   （4） ；（5） .2 的收敛半径为 ，确定下列级数的收敛半径.   （1） ；（2） ；（3） 3讨论幂级数在收敛圆周上的敛、散性：       （1） ；（2） 返回3.3  第1篇 复变函数论 >> 习题 3.31将下列函数在 点展开成幂级数，并指出其收敛范

13、围.  （1） ；      （2） （ 为复数， ）  （3） ；     （4）arctgz；   （5） .2将下列函数按 的幂展开，并指明其收敛范围：  （1） （2）   （3）  （4） 3应用泰勒级数求下列积分  （1）菲涅尔积分 .   （2）误差函数 .  （3）积分正弦 .4对于多值函数而言，在划分出单值分支后，可对各个单值分支象一个单值函数那样作泰勒展开.函数 在 不等于整数时是多值函

14、数.试证明普遍的二项式定理：  ，（3.3.10）式中， 为任意复数； （ 为整数）.5将 在 的邻域内展开泰勒级数。6如果 在解析区域 内一点 的值为零，则称 为 的零点，若 但 ，则称 为 的 级（阶）零点，试指出下列级数的零点 是几级（阶）零点.  （1） ；（2） 7*求和： .（1981年CUSPEA试题）8*求下列极数的和                     &

15、#160;                 （加州理工学院研究生试题） 返回3.4  第1篇 复变函数论 >> 习题 3.41将下列函数在指定环域内展开为罗朗级数  （1）            （2）   （3）        

16、;               （4） 2在给定点的（去心）邻域，将函数展开为罗朗级数，并确定展开式成立的区域。  （1） （2）   （3）   （4） （5） 3将函数 ，在 的邻域内以及在圆环 内开展为罗朗级数.4设 在环域 内解析， 为正数，证明在单位圆周上，其罗朗级数即为傅里叶级数。5将函数 在下列区域中展开为级数：  （1） （2）   （3）     &

17、#160;      （4）   （5） （6）        （7） . 返回 3.5  第1篇 复变函数论 >> 习题 3.51证明：如果 为 的孤立奇点，则下列三条件的每一条都是 为 的可去奇点的充分必要条件，它们可以互相推出：  （1） 在 点没有主部；    （2） 存在并且有限；  （3） 在 的充分小的邻域内有界.2证明下列三种定义等价：点 为 的 阶极点.  （1）若 ；  （2

18、）若 ；在 解析；  （3）若 以 为 阶零点。3证明下列三条中任意一条均是 为 的 阶极点的充分必要条件。  （1） 在 点的罗朗展开有 项正幂；  （2） 在 的某邻域内（除 外）能表成 在 的邻域内解析且 ；  （3） 以 为 阶零点。4求出下列函数的奇点（包括 ）。确定它们是哪一类的奇点（对于极点，要指出它们的阶）。  （1）   （2） （3）   （4） （5） （6）   （7） （8）  （9）   （10） （11） （12） 5讨论下列函数的每一单值分支在给定点的性状（对各个

19、分支，给定点是否解析，或是否为奇点？若为奇点，是属哪一类？）  （1）                  （2）   （3）                  （4） 6 ， 分别以 为 阶及 阶极点，试问 为 · ，及 的什么样的点？7下列函数在指

20、定点的去心邻域内能否展为罗朗级数？  （1） （2）       （3）          （4） 返回4.1  第1篇 复变函数论 >> 习题 4.11证明如果 在区域 中解析，在 的一个子区域中等于零，则 在整个 中等于零。2证明级数 所定义的函数在左半平面内解析，并可解析延拓到除点 外的整个复平面。3证明 与 互为解析延拓（ 是复常数）。       

21、0;   （提示：证明两者的解析区域具有公共部分）    4*证明施瓦兹反射原理：设 在上半面包括实轴上的一段是解析的，而且在这段实轴上 取实数值，则 是 在下半平面的解析延拓。 返回4.2  第1篇 复变函数论 >> 习题 4.21证明 2令 ，试分别由公式（4.2.4）和（4.2.6）证明                    &#

22、160;  .3计算下列积分  （1）                       （2） 4通常定义   （4.2.10）为 函数（第一类欧拉积分），其中令 ， 以分别保证积分在下限和上限收敛，积分中的多值函数规定为 ，证明  （1） （4.2.11）称为 函数的对称关系。  （2） （4.2.12）5计算积分 之值， 是正整

23、数。6*计算四维单位球的体积 ，其中        提示：计算具有坐标轴 的 维球的体积，可利用积分     （ 待定）（芝加哥大学研究生试题） 返回5.1    第1篇 复变函数论 >> 习题 5.11求下列函数在指定点处的留数：  （1） ，在             （2） ，在   （3） ，在   

24、0;                  （4） ，在 ，  （5） 在                       （6） 在 2求下列函数在其孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）的留数：  （1）

25、（ 为自然数）（2）   （3）  （4）   （5） 3计算下列围道积分  （1）                  （2）   （3）                 （4） 4*利用围道积分技术求级数值  

26、0;   提示：利用函数 沿实轴，在 处有极点的事实，选择适当的围道计算.（芝加哥大学研究生试题）5*求解函数 的值，其中 是从 到 ，沿着 的围道； 在 和 之间。（加州理工学院研究生试题） 返回5.2  第1篇 复变函数论 >> 习题 5.21计算下列积分  （1） （2）   （3） （4） 2求下列积分  （1） （2）   （3） （4） 3证明：         提示：取如图32所示围道，则在此围道内  有一阶极点 4*证

27、明： 5*计算积分  （1）                            （2）      提示：在选择适当围道计算以上积分时，可利用关系 6*计算积分  （1）          

28、;                 （2）       提示：可作变换 7*求极限 之值，其中 为正整数。8*计算积分 （加州理工学院研究生试题）9*已知 ，证明  （1）   （2）若 ，且 具有和 相同的量级，则 （1983年CUSPEA试题）10*计算积分   （1）当 时.  （2）当 时，其中， 且 ， 和 均为实数.  （3）

29、当 时.11*试计算             （47题和10、11题均为芝加哥大学研究生试题） 返回5.3  第1篇 复变函数论 >> 习题 5.31证明：若 在实轴上有有限个一阶极点 ，此外还满足（5.2.1）式成立的其他条件，则      . （5.3.13）2证明：若 在实轴上有有限一个阶极点 ，此外还满足公式（5.2.6）和（5.2.7）成立的其他条件，则     （

30、5.3.14）于是有     ，     ，（5.3.16）3计算下称积分  （1）   （2） 4计算下列积分  （1）      （2）   （3）* （4）   （5）    （6） 5计算下列积分  （1）* （ ）          （2）    提示：考虑 沿如图38的闭路径上

31、的积分。6*利用适当的围道对函数 积分，由此证明（第4之（3）题和6题为芝加哥大学研究生试题）7*计算半径为 的四维球的体积 ，即计算积分：           积分区域为： .                           

32、;                                               （1981年CUSPEA试题） 返回 5.4

33、  第1篇 复变函数论 >> 习题 5.41计算下列积分   （1）                          （2） （提示：考虑 ，其中 如图40所示）2计算下列积分   （1） （提示：从-1到1沿正实轴作支割线，在单值分支中考虑函数 ）沿如图41所示路径的积分） 

34、0; （2）（ ）           （3）    （3） 3计算积分   （1）                            （2） 4*计算积分   （芝加哥大学研

35、究生试题）5*什么正数值 能使下列积分有界？   用变量代换或其它方法证明 ，并用围道积分计算 .（加州理工学院研究生试题）  返回 第二篇1.2  第2篇 数学物理方程 >> 习题 1.21在弦的横振动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻尼，试导出弦的阻力振动方程为                       

36、60;           其中， 是常数，又考虑回复力与弦的位移成正比时的情形，证明这时所得到的数理方程为                                  其中 是常数，

37、此方程称为电报方程.2试导出均匀细杆的纵振动方程                               其中 ； 为杨氏模量， 为杆的密度， 为单位长度的杆沿杆长方向所受的外力 。        提示：应用胡克（Hooke）定律 .3在一维热传

38、导方程 中，假设热量因杆的物质放射衰变（按指数规律）而有损失，证明上述方程将变为                          其中 和 都是大于零的常数.4试导出三维的热传导方程.5设扩散物质的源强为 （单位体积内，在单位时间所产生的扩散物质），试根据能斯特（Nernst）定律（通过介面 流出的扩散物质为 ）和能量守恒定律导出扩散方程：

39、60;                                其中 为扩散系数.6一长为 的匀质柔软轻绳，其一端固定在一坚直轴上.绳子以匀角速 转动，试导出此绳相对于水平线的横振动方程.7一长为 的匀质柔软轻绳，其上端固定在一横直轴上，绳子和轴以匀角速 转移，试导出此绳在重力作用下相对于坚直

40、轴的横振动方程。8真空中电磁场的麦克斯韦（Maxwell）方程组的微分形式为                （1.2.12）        试由这一组方程，导出电磁波方程                （1.2.13）  

41、0;      其中， 和 分别为真空中的电场强度和磁场强度.9试导出理想传输线的电报方程                （1.2.14）         其中 和 分别是理想传输线上的电压、电流； ； 和 分别为单位长度上的电容和电感。 返回1.3  第2篇 数学物理方程 >> 习题 1.31长

42、为 两端固定的弦，作振幅及其微小的横振动，试写出其定解条件.2半无限的理想传输线，一端加上正弦电压，试写出其定解问题.3长为 的均匀杆，两端受拉力 而作纵振动，写出边界条件.4长为 的均匀杆，两端有恒定热流流入，其强度为 ，试写出这个热传导问题的边界条件.5弹簧原长为 ，一端固定，另一端被拉离平衡位置 而静止，放手任其振动，写出定解条件.6长为 的弹性杆，两端受压，长度缩短为 ，放手后自由振动，试写出其初始条件；若一端受压缩短为 ，其初始条件又如何？7一根长为 导热杆由两段构成，二段的热传导系数、比热、密度分别为 、 、 和 、 、 ，初始温度是 ，然后保持两端温度为零，试写出此热传导问题的定

43、解问题.8长为 的均匀弦，两端 和 固定，弦中张力为 ，在 点，以横向力 拉弦，达到稳定后放手任其自由振动，写出初始条件.9*长为 的弹性杆，上端牢牢固定，下端挂有重物 ，试推导它作纵振动时在下述情况下的边界条件：      （1）把杆在其下端所挂静止重物 的作用下的伸长状态（静力伸长）取作平衡位置.      （2）把杆的未伸长状态取作平衡位置（例如，就在初始时间，把重物下的支承移去而重物开始使杆伸长）. 返回 2.1  第2篇 数学物理方程 >> 习题 2.11确定下列

44、初值问题的解        （1） ；   （2） ；   （3） ；   （4） .2求解无界弦的自由振动，设弦的初始位移为 ，初始速度为 .3求解弦振动方程的古沙问题（图48）         4求解无限长理想传输线上电压和电流的传播情况，设初始电压分布为 ，初始电流分布为（参考习题1.2第9题，注意 ）.5细圆锥杆的纵振动的方程为     &

45、#160;            试求其通解            提示：令 .6试求出方程          的通解                 

46、;  其中 为已知常数， 、 为充分光滑的任意函数.若                        求其特解.            提示：令 7求下列偏微分方程的通解        （1

47、）                   （2） 8解下列初值问题           9用行波法证明              的解为      &#

48、160;    . 返回  第2篇 数学物理方程 >> 习题 2.21一根无限长的弦与 轴的正半轴重合，处于平衡状态中，左端位于原点，当 时，左端点作微小横振动 ，试求弦的振动规律.2半无限长的杆，其端点受到纵向 作用，求解杆的纵振动.3平面偏振的平面光波沿 轴行进而垂直地投射于两种介质的分界面上.入射光波的电场强度 ，其中 是第一种介质的折射率，求反射光波和透射光波（提示：在分界面上， 和 均连续）。   第2篇 数学物理方程 >> 习题 2.31一半径为 的球内含有气体，在初始时是静止的，在球内的初城市压缩率为 ，在

49、球外为零，不论何时，压缩率与速度势的关系为 ，并且速度势满足方程 ，试对所有的 ，确定压缩率。2利用泊松积分公式求解下列定解问题        3证明球面问题                 的解是          （2.3.13）4在泊松公式中，若将球面 上的积分代以 平面上的圆 上的积分，并注意球面 上

50、下两半都投影于同一圆，便可导出二维空间的泊松公式，试导出二维空间的泊松公式        （2.3.14）5利用二维泊松公式求解下列定解问题              思考：能否用较简单的方法求解第2题和第5题？ 返回  第2篇 数学物理方程 >> 习题 2.41求解下列定解问题：      （1） （2）   （3） （4）

51、 2设 是初值问题                        的解，证明           是非齐次方程零值初值问题              

52、          的解3试推导出二维非齐次波动方程初值问题                        的解的表达式为               

53、;                                （2.4.21） 返回  第2篇 数学物理方程 >> 习题 3.11考察长为 的均匀细杆的导热问题，若       （1）杆的两端温度保持零度

54、；       （2）杆的两端均绝热；       （3）杆的一端为恒温零度，另一端绝势，而初始温度分别均为 ；试用分离变量法求在这三种不同情况下的杆的导热问题的解，并注意其本征函数的差异。2今有一弦，共两端被钉子钉紧作自由振动，其初位移为                    初速度为零，试求弦的振动（其中

55、 为已知常数）3求下列定解问题       （1）    （2）    （3）    （4） 4求阻尼波动问题的解：            5均匀细杆长为 ，在 端固定，而另一端受着一个沿杆长的方向的力 ，如果在开始一瞬间，突然停止这个力的作用，求杆的纵向振动。6长为 的均匀细杆，被作用在二端的压力压缩成 ，在 时，把这个荷载移去，试证：若 是杆的中点，则在时刻 ，坐

56、标为 的杆的截面位移 由下式确定：     。7求下列高维波动问题的解：         8长为 的柱形管，一端封闭，另一端开放，管外空气中含有某种气体，其浓度 ，向管内扩散，求该气体在管内的浓度.9求解杆的横振动问题：         10边长为 的方形薄膜，边缘固定，开始时膜上各点的位移是 （ 为常数），求它从静止开始的自由振动情况.11求量子力学中满足如下薛定谔方程的定解问题的处于一维无限深

57、势阱中粒子的状态：                  提示：令分离变量常数为 ，求得 即为粒子能量.     12设有一由 和 六个面所围成的长方形盒，盒的 的面上的电势为 ，其余各个面的电势均为零，求盒内任一点处的电势。若盒的六个面上的电势均不为零，则该盒内的电势又该如何求？ 返回  第2篇 数学物理方程 >> 习题 3.21求解具有放射性衰变的热传导方程   &

58、#160;             已知边界条件为        初始条件为 （常数）2一长为 的均匀弦，弦上每一点受外力作用，其力密度为 ，若弦的二端是自由的，而初始位移为零，初始速度为 ，试求弦的横振动。3求下列定解问题       （1）   （2）   （3）    （4） 4在第二章中我们曾用冲量原理在达朗贝尔公式的基

59、础上求得了无界弦的纯强迫振动的解，试用冲量原理求出有界弦的纯强迫振动解（3.2.9）。     5均匀导线，每单位长的电阻为 ，通以恒定的电流 ，导线表面跟周围温度为零的介质进行热交换，试求导线上温度的变化，设初始温度和两端温度都为零， 是热交换系数。 返回  第2篇 数学物理方程 >> 习题 3.31长为 而固定于 一端的均匀细杆，处于静止状态中，在 时，一个沿着杆长方向的力 （每单位面积上）加在杆的另一端上，求在 时，杆上各点的位移。2有一长为 ，侧面绝热，而初始温度为 ，而另一端 处温度随时间直线上升，即 （ 是常数），求 时

60、，杆的温度分布。3设弹簧一端固定，另一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题为                  试求解 ，其中 不为正整数， 、 、 均为常数。4求解定解问题             第2篇 数学物理方程 >> 习题 3.41求解圆的狄氏问题     

61、;           2求解扇形区域中的狄氏问题                3*求解泊松方程的狄氏问题                     

62、   提示：先找一个满足 的特解 ，  即 4设有一个半径为 的“无限长”圆柱形接地导体，放置在均匀外电场 中，圆柱的轴线与 方向垂直，求电势分布。5求圆环的狄氏问题                6一个无限长导体圆柱壳，半径为 ，把它充电到电势为              &#

63、160;        求圆壳内的电势分布7解下列定解问题                 8在环形区域 中，求解泊松方程的边值问题                     

64、60;    提示：先找满足 的特解 .9半径为 的半圆形平板，其表面绝热，在板的周围边界上保持常温 ，而在直径上保持常温 ，求此半圆形平板在稳恒状态下的温度分布。10半径为 ，表面熏黑了的均匀长圆柱，在温度为零度的空气中受着阳光照射，阳光垂直于柱轴，热流强度为 ，试求柱内稳定温度分布                 11将（3.5.18）代入（3.5.19），证明当 时   

65、                       此式称为泊松积分公式，我们将在第五章格林函数法中导出，并将在第七章中由科西积分公式再次推导出。12在球坐标系内，将下列氢原子的定态薛字谔方程                  

66、;       分离变数为常微分方程，其中 、 、 、 为常数。 返回  第2篇 数学物理方程 >> 习题 4.11若 满足傅氏积分定理的条件且为奇函数，证试                 其中 2求下列函数的傅氏变换        （1） ；（2） ；   （3） ；（4）

67、 ；   （5） .3已知 ，求未知函数 。4设 ，试证明象函数微分性质             （4.1.26）5试用傅氏变换的方法，求解量子力学中将会遇到的爱里（Airy）方程：             6设 ，试证像函数的积分性质：        

68、60;    （4.1.27）7设 ，证明    （1） ；（2）         提示：（1）要从右往左证，若从左往右证，则需先证（2）再取极限 .8*试证傅里叶光学中的下列傅里叶变换关系式：        （1）     （2）         其中 为频率；   

69、     ；        ；         为sinc函数.9*将 展开为傅氏积分.（芝加哥大学研究生试题）10*考虑受外力 作用的一个阻尼的简单谐子。因此振子的运动由所给出，考虑 所给出.考虑 的情形，这表示一个阻尼振子，且                

70、;       求在三个区间 ， 和 中的 ，计算所有积分.                                        

71、                                                 （加州理工学院研究生试

72、题） 返回  第2篇 数学物理方程 >> 习题 4.21试用傅氏变换法求解上半平面狄氏问题                 2试用傅里叶变换法求解无界弦的强迫振动                 3用傅氏变换法求解三维无界空间的受迫振动问题 

73、60;               4用傅氏变换法重解§2.3中例题.5用傅氏变换法求解半无界弦的自由振动                    提示：先将 延拓为 ，并将 看着参数来求解，其中      &#

74、160;                 为阶跃函数6求解热传导方程 的初值问题，已知：          （1） ；                 （2） . 返回  第2篇 数学物理方

75、程 >> 习题 4.31求下列函数的拉氏变换        （1） ；（2）    （3） ；（4）    （5） 2利用性质或查表法求下列函数的拉氏逆变换        （1） ；（2） 3试用反演公式（或展开定理）计算下列函数的拉氏逆变换：        （1） ；（2） 4试用拉氏变换法解下列常微分方程及方程组： 

76、60;      （1）   （2）    （3）    （4） 其中 5求解弹簧振子的受迫振动问题            6求解直流电源的 电路方程的初值问题            7若 ，试证像函数的微分性质     

77、;       （4.3.23）8若 ，且 收敛，试证像函数积分性质            （4.3.24）                           

78、0;                                                 

79、0;                             返回  第2篇 数学物理方程 >> 习题 4.41求解定解问题：             2求解一维半无限的热传导问

80、题             3求解杆的纵横振动问题             4求解定解问题             5长为 的均匀细杆，一端保持零度，另一端保持恒定温度，温度也是零，求杆中温度分布。    6试

81、用拉氏变换法求解无界弦的一般受迫振动问题。 返回  第2篇 数学物理方程 >> 习题 5.11证明       （1）  （2）   （3）    （4）   （5）     （6）    其中 为常数2证明（1） （2） 3证明 .   提示：证明 4求 函数的傅氏变换和积分表达式5计算下列积分        （1）

82、60;  （2）    （3） （4） 6设在 处一带电最 的点电荷，试写出空间中任意一点处的电势 所满足的方程。7梳状函数的傅氏变换是傅里叶光学中常要用到的，试证           返回  第2篇 数学物理方程 >> 习题 5.21设 和 在区域 直到边界 上具有连续一阶导数，而在 内具有连续的二阶导数。        （1）试导出二维空间的格林第二公式 

83、60;           （5.2.28）   （2）利用二维空间的格林第二公式（5.2.28），导出二维空间的狄氏积分公式（5.2.21）式。2试证明亥姆霍兹方程              （5.2.29）       的边值问题的积分公式当 不为本征值问题  &#

84、160;          （5.2.30）       的本征值时，亦为（5.2.9）式，即                    上式第二个积分项因不同类型的边界条件有不同的具体表示式.       思考：

85、在此为什么强调 不为本征值问题（5.2.30）式的本征值？   第2篇 数学物理方程 >> 习题 5.31试用傅氏变换法求三维泊松方程的狄氏格林函数.2求解格林函数的定解问题                        3求一维亥姆霍兹方程的格林函数，即求解定解问题      

86、0;                 4*考虑非均匀方程                               （1）求这个方程的格林函数 ，具

87、有边界条件                               （2）考虑边界条件                  &#

88、160;           求 的解，将它表示成包含着（1）中所求得的 的一个积分。5*（1）求解方程                              其边界条件为     &#

89、160;   （2）利用（1）的解求出同样边界条件下方程 的解                                           &

90、#160;                （4、5题为加州理工学院研究生试题） 返回  第2篇 数学物理方程 >> 习题 5.41用电像法求圆的的狄氏格林函数2用电像法求上半平面的狄氏格林函数3求解圆的狄氏问题（5.4.23），即导出泊松积分公式（5.4.24）4求解上半平面的狄氏问题            

91、; 5求解上半空间的狄氏问题                                                

92、60;    （芝加哥大学研究生试题）6求解四分之一平面的狄氏问题             7求解圆的狄氏问题 8求解球的狄氏问题 9（1）求关于上半球域的格林函数；       （2）求关于上半球域的格林函数（见图63）。10用电像法证明：由一半径为 的导电球在均匀电场 内产生的电势为        

93、60;                     其中 ， 是以原点为心的球的极坐标。 返回  第2篇 数学物理方程 >> 习题 5.51用格林函数法求解                  2用格林函数法求解有界弦振动问

94、题                  3用格林函数法求解三维无界区域的扩散问题                  4用格林函数法求解三维无界空间的波动问题         

95、;         5用格林函数法求解波动方程的初值问题                  返回  第2篇 数学物理方程 >> 习题 6.11 将正方形 （图65）变成什么图形？    2求 在 的放大系数和转动角.   第2篇 数学物理方程 >> 习题 6.21求 ，将 变

96、为 ，并且 ， 变为 。2求 ，将 变为 ，并且 变为 3求 ，将 变为 ，并且在 4求 ，使 平面的 ，变为 平面的 5 将 平面圆周 变为 平面的什么图形？6下列各题中，给出了三个对对应点 的具体数值，写出相应的分式线性变换，并指出此变换将过 的圆周内部，或直线左边（顺 观察）变成什么区域。                          &

97、#160; （1）                （2）                （3）                （4）  7如 将单位圆周变成直线，其系数应

98、满足什么条件？8本节例题中的问题，实际上满足下列定解问题：                       试用格林函烽法重新求解此问题。9接地甚长空金属圆柱半径为 ，柱内有细导线平行于柱轴，与柱轴相距为 ，导线每单位长度带电量为 ，试求柱内电势分布？10变换 ，将复平面 上的圆 和 分别变为复平面 上的什么曲线？ 返回   第2篇 数学物理方程 >> 习题 6.31求

99、一个变换，将 平面的第一象限 ，保角地变换为 的上半平面（ ）。2构造一个保角变换，将 平面的条形区域 ，变换为 平面的上半平面 。3一个甚大金属导体，挖去一个大小为60°的二面角，二面角的二等分面上有一带电细导线，平行于二面角的顶角线，相距为 ，导线每单位长度带电量为 （图80），试求电势分布。4一个半径为 的金属长圆柱面，由绝缘介质等分为两半，上半接地，下半电位为1，试求圆柱内的电势。5试研究水在平底水槽中的流动，槽底有薄平板状突起阻挡水流（图81）。6儒可夫斯基（）变换 将区域 和 变为 平面的什么区域？7求内外半径分别为 和 的圆柱形电容器单位长度的电容。 

100、0;   8设有二垂直于 平面的圆柱，与 平面分别交于圆 及 ，若两柱面之间的电势差为1，试求此二圆柱之间的静电场。   第2篇 数学物理方程 >> 习题 7.11试用科西公式，求解上半平面的狄氏问题                      2利用上题结果求解       &

101、#160;              3设有一很长的圆柱面是用很薄的导体做成的，这柱面被过它的轴的平面分为两半，一半的电位保持为 ，另一半接地，试求出柱体内任一点的电位：                          

102、;     提示：用保角变换将之变为上半平面调和函数。4在半径为 的球内求调和函数，使它们分别满足下列边界条件：       （1）                   （2）   第2篇 数学物理方程 >> 习题 8.11证明 2计算下列泛函的变分：    

103、0;   （1）     （2） 3试导出二元函数 的欧拉方程                 4对于泛函         和        分别写出其欧拉方程：5求连接一平面上两定点间的曲线段中最短者6在质点力学中，系统的作用量表示为 &

104、#160;                  是 的泛函，其中， 和 分别为广义坐标和广义速度， 称为拉格朗日函数，已知         （1）自由质点的拉氏函数为                 &

105、#160;   （2）在势能场 中运动的质点的拉氏函数为                          分别求它们的作用量 有极值的必要条件。7在什么样的曲线上，下列泛函可能达到极值？         （1）     （2）

106、8求解注释中所述的始原的等周问题。9用里兹方法求泛函 的极小值问题的近似解，并与其准确解进行比较。       提示：近似解可用 来试探。10用拉格朗日乘子法，再求一次例3中的极值。11*假设大气的折射率 只依赖于高度 ，        （1）利用费马原理，导出在大气中光线轨迹的微分方程。        （2）一个旅行者与水平成角度 的方向上看到“空中的绿洲”。如果 ，其中 和 是常数， 

107、;        问这块绿洲离得多远？                                         

108、