1.2多元函数的连续性ppt课件

1、1. 多元函数的连续性多元函数的连续性6-3 多元函数的连续性多元函数的连续性定义定义 设 在点 的一个邻域内有定义,假设 则称 在 点连续.,uf x y00,x y0000,lim,x yx yf x yf x y,f x y00,x y0000,lim,x yx yf x yf x y”“用用 严格定义连续性严格定义连续性.假设假设 在区域内有定义且在内每一点在区域内有定义且在内每一点都连续，则称都连续，则称 在区域内连续在区域内连续.,uf x y,uf x y当, 0, 0就有时,)()(2020yyxx| ),(),(|00yxfyxf.成立.),(),(00点连续在则称yxyxf

2、u 上述不等式2020)()(yyxx可以换成.| ,|00yyxx而所定义的连续性是彼此等价的.,(200中任意给定的一点）是设Ryx例例1 函数函数中任意在2R| 1|)sin(),(yxyxyxf.一点连续证证则有意一点),(yx那么，对于任| )sin()sin(|00yxyx|2)()(cos2)()(sin|20000yxyxyxyx| )()( |00yxyx| )()( |00yyxx|1| 1|00yxyx| ) 1() 1( |00yxyx. |00yyxx而而故有| ),(),(|00yxfyxf. |2|200yyxx，取4, 0则当| ,|00yyxx时，就有.| )

3、,(),(|00yxfyxf连续的定义，根据函数在一点),(00yx.),(00连续中任意一点yx2),(Ryxf在可知函数证毕.例例2 设设).0 , 0(),(, 0);0 , 0(),(),(4422yxyxyxyxyxf在何处连续？问函数),(yxf.,(00）是任意给定的一点设yx解解)0 , 0(,(00）当yx, 04040 yx时，且容易证明,)(lim404044),(),(90yxyxyxyx.lim202022),(),(90yxyxyxyx故故40402020yxyx),(lim),(),(90yxfyxyx).,(00yxf.,(),(00）连续在这样的点因此，yxy

4、xf,)0 , 0(,(00时）当yx),(lim00yxfkxyx44220)()(limkxxkxxx时，趋向）沿着直线当点)0 , 0(,(kxyyx.142kkk 值不同极限不同值不同极限不同 !),(yxf故在 (0,0) 点不连续 . 2. 关于二元函数连续性的几个定理关于二元函数连续性的几个定理定理定理1 设设 与与 在点在点 处连续，处连续， ,f x y,g x y00,x y,uf x yg x y ,vf x yg x y及及在点在点 处也连续处也连续00,x y假假设设00,0,g x y那那么么,/,wf x yg x y00,x y在在点连续点连续定理定理 (复合函

5、数的连续性复合函数的连续性) 设设 在点在点 附近内有定义附近内有定义, 且在连续，且在连续，,zf x y00,x y00,x y又设又设 在点在点 的附近有定义的附近有定义,且在点连续，则复合函数且在点连续，则复合函数 u g z000,zf x y0z,ug f x y在在00,x y点连续点连续定理定理 3 二元初等函数在其定义域内是连续的二元初等函数在其定义域内是连续的.二元初等函数二元初等函数如果它是从自变量如果它是从自变量x与与y出发进行出发进行有限次加减乘除或复合以一元初等函数的结果有限次加减乘除或复合以一元初等函数的结果.类似地可定义多元初等函数类似地可定义多元初等函数.映射

6、的连续性映射的连续性0000:0,.mnmmfDRRDRPDDfDRPf UPUP设是中的区域 到的一个映射,又设是区域 中的一点, 称在点是连续的, 如果对于任意给定的都存在 0, 使得 如果在区域中每一点都连续，则称如果在区域中每一点都连续，则称 在在中连续中连续f定义定义使得当点连续是指：在映射, 0, 0:0PRDfm时，),(0PPd，)(),(0PfPfd中两点的距离，表示这里的前一个nRdmR表示后一个d.中的距离个函数，时，上述的映射就是一当1m与已经定义过的.致多元函数连续性完全一:1fm时，上述映射但当.个函数表示才成就要用mRDm是映设), 1(mjfj 条件即可写成：个

7、分量，上述定义中的的第射jf,)()(120mjjjPfPf.),(PP00PPd的距离到只要点使得点连续，则在若, 0, 00Pf, 1,| )()(|0mjPfPfjj .),(0PPd只要连续，则它的在一点这就是说，若0Pf.P0点也连续在每一个分量jf.立这个命题的逆命题也成.PD:00点都连续在的每一个分量连续在一点映射jmffPRDf例例3 考虑映射考虑映射22:RRf.sin,cossinyevyxux其中).,(),(vuyx的第一个分量这里f,cossin),(1yxyxfu),(2yxfvf的第二个分量而.sin yex的连续函数，这两个分量都是),(yx.2上是连续的在R

8、f因而映射 一元连续函数在闭区间上的性质, 推广到多元函数中应是连续函数在有界闭区域上的性质. 有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质.DRDn是一个闭区域中一个区域，是设Dyxf在假定),(上连续呢？在上有定义，如何定义Dyxf),(D0P D 在在 的边界点的边界点 连续连续 0P0, 使得当使得当 0P UPD时时, 0.f Pf P有有, 0即即).()(00PfUDPUf首先定义f在边界点 的连续性.定理有界性定理）定理有界性定理） 设函数在有界闭区域设函数在有界闭区域 上连续，上连续，那么在那么在 上有界上有界 f PD f PD .f PMPD 即存在常数即存在常数

9、使使0M .)()(0之差的绝对值小于与中时，PfPf上是连续的，在闭区域函数D:RDf上在如果函数Df.每一点都是连续的换句话说，当换句话说，当P落在集合落在集合)(0DPUD0P 定理定理 最大最大(小小)值定理值定理 设函数在有界闭区域设函数在有界闭区域 上连续，上连续，那么在那么在 上达到最大值和最小值上达到最大值和最小值 f PD f PD即存在点即存在点12,P PD 使使 12,.f Pf Pf Pf PPD 定理介值定理）定理介值定理） 设函数在闭区域设函数在闭区域 上连续，并假上连续，并假定与定与m m分别是在分别是在 上的最大值和最小上的最大值和最小值，值， f PD f PD则对于任意的则对于任意的:,mM 一定有一点一定有一点0PD使得使得0.f P多元函数的间断点可以构成一些直线、曲线、曲面等, 也可以是某些点的集合.例如例如 函数函数,11siny)f(x,22yx其定义域为1| ),(22yxyxD而f(x,y)在C上没有定义，当然f(x,y)在C上各点都不连续，所以园周上各点都是该函数的间断点.内容小结1. 区域 邻域 :, ) ,(0PU) ,(0PU 区域连通的开集 空间nR2. 多元函数概念n 元函数),(21nxxxf常用二元函数 (图形一般为空间曲面)三