1.2多元函数的极值及其求法(1)ppt课件

1、河海大学理学院高等数学河海大学理学院高等数学高等数学下）高等数学下）第九章 多元函数微分学河海大学理学院高等数学第八节 多元函数的极值及其求法河海大学理学院高等数学 设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内有有定定义义，对对于于该该邻邻域域内内异异于于),(00yx的的点点),(yx：若若满满足足不不等等式式),(),(00yxfyxf ，则则称称函函数数在在),(00yx有有 极极 大大 值值 ； 若若 满满 足足 不不 等等 式式),(),(00yxfyxf ，则则称称函函数数在在),(00yx有有极极小小值值；一、极值一、极值极极大大值值、极极小小值值统统称

2、称为为极极值值. .使使函函数数取取得得极极值值的的点点称称为为极极值值点点. .1、定义、定义河海大学理学院高等数学(1)(2)(3)例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 河海大学理学院高等数学定理定理 1（必要条件必要条件） 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，具有偏导数， 且在点且在点),(00yx处有极值，则处有极值，则 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. . 2、多元函数取得极值的条件、多元函数

3、取得极值的条件不不妨妨设设),(yxfz 在在点点),(00yx处处有有极极大大值值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,证证河海大学理学院高等数学故故当当0yy ，0 xx 时时，有有 ),(0yxf),(00yxf,说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,必必有有 0),(00 yxfx;类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.推推广广 如如果果三三元元函函数数),(zyxfu 在在点点),(000zyxP 具具有有偏偏导导数数，则则它它在在),(000zyxP有有极

4、极值值的的必必要要 条条件件为为 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz. 河海大学理学院高等数学例例如如, 点点)0 , 0(是是函函数数xyz 的的驻驻点点，但但不不是是极极值值点点.定义定义 使一阶偏导数同时为零的点使一阶偏导数同时为零的点, ,称为函数的驻点称为函数的驻点. .驻点驻点极值点极值点问题问题 如何判定一个驻点是否为极值点？如何判定一个驻点是否为极值点？定定理理 2（充充分分条条件件） 设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内连连续续， 有有一一阶阶及及二二阶阶连连续续偏偏导导数数， 注意：注意：

5、22yxz.河海大学理学院高等数学又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00, , Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00， 则则),(yxf在在点点),(00yx处处是是否否取取得得极极值值的的条条件件如如下下： （1 1）02 BAC时时),(00yx一一定定是是极极值值点点， 且且当当0 A时时是是极极大大值值点点， 当当0 A时时是是极极小小值值点点； （2 2）02 BAC时时),(00yx一一定定不不是是极极值值点点； （3 3）02 BAC时时),(00yx可可能能是是极极值值点点，可可能能不不是是， 还还需需另另作作

6、讨讨论论 . 3, 1:例例前例前例例如例如河海大学理学院高等数学求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤： 第第一一步步 解解方方程程组组 , 0),( yxfx0),( yxfy求求得得驻驻点点. 第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx，求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值A、B、C.第第三三步步 定定出出2BAC 的的符符号号，再再判判定定是是否否 是是极极值值. 河海大学理学院高等数学例例4 求求由由方方程程yxzyx22222 0104 z确确定定的的函函数数),(yxfz 的的极极值值 将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导 0422

7、204222yyxxzzzyzzzx由由函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件知知,解解有有6, 221 zz,河海大学理学院高等数学,21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx )2(0)2(122zzBAC 函函数数在在P有有极极值值.当当21 z时时，041 A,所所以以2)1, 1( fz为为极极小小值值；当当62 z时时，041 A,所所以以6)1, 1( fz为为极极大大值值.河海大学理学院高等数学求最值的一般方法：求最值的一般方法： 将函数在将函数在 D D 内的所有驻点或导数不内的所有驻点或导数不存在点处的函数值及在存在点处的函数值及在 D D 的边界上的最的边

8、界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值为最大值，最小者即为最小值. .3、多元函数的最值、多元函数的最值河海大学理学院高等数学例例5 求求二二元元函函数数)4(),(2yxyxyxfz 在在直直线线6 yx，x轴轴和和 y轴轴所所围围成成的的闭闭区区域域D上上的的最最大大值值与与最最小小值值. 解解先先求求函函数数在在D内内的的驻驻点点，解解方方程程组组 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得区区域域D内内唯唯一一驻驻点点)1 , 2(,且且4)1 , 2( f,再再求求),(yxf在在D边

9、边界界上上的的最最值值，河海大学理学院高等数学在在边边界界6 yx上上，即即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx,64)2 , 4( f 比比较较后后可可知知4) 1 , 2( f为为最最大大值值,64)2 , 4( f为为最最小小值值.xyo6 yxD, 0)6 , 0( f 在在边边界界0 x和和0 y上上0),( yxf, 2, 621yy河海大学理学院高等数学二、条件极值、拉格朗日乘数法条件极值：对自变量有附加条件的极值条件极值：对自变量有附加条件的极值 要要求求函函数数),(yxfz 在在条条件件0),( yx 下

10、下极极值值点点. 首首先先 Euler 通通过过几几何何发发现现的的. 河海大学理学院高等数学),(yx0),(00yxy0),(00yxxf0),(yx河海大学理学院高等数学再解方程组再解方程组: ), 2 , 1(ni 河海大学理学院高等数学河海大学理学院高等数学例例 6 将将正正数数 12分分成成三三个个正正数数zyx,之之和和 使使得得zyxu23 为为最最大大. 解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF , 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx .691224623max u那那么么故故最最大大值值为为河海大学理学院高等数学例例7 在在第第一一卦卦限限

11、内内作作椭椭球球面面 1222222 czbyax的的切切平平面面，使使切切平平面面与与三三个个坐坐标标面面所所围围成成的的四四面面体体体体积积最最小小，求求切切点点坐坐标标. 解解设设),(000zyxP为为椭椭球球面面上上一一点点,令令1),(222222 czbyaxzyxF,则则202|axFPx ， 202|byFPy ， 202|czFPz 过过),(000zyxP的的切切平平面面方方程程为为河海大学理学院高等数学 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化化简简为为 1202020 czzbyyaxx,该该切切平平面面在在三三个个轴轴上上的的截截距距各各为

12、为 02xax ，02yby ，02zcz ,所所围围四四面面体体的的体体积积 000222661zyxcbaxyzV ,河海大学理学院高等数学在条件在条件1220220220 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,令令 ,lnlnln000zyxu ),(000zyxG 000lnlnlnzyx)1(220220220 czbyax , 由由,010, 0, 0220220220000 cybyaxGGGzyx河海大学理学院高等数学当当切切点点坐坐标标为为(3a，3b，3c)时时,四四面面体体的的体体积积最最小小abcV23min . 01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 可得可得即即30ax 30by ，30cz 河海大学理学院高等数学思考题思考题 若若),(0yxf及及),(0yxf