大学数学——微积分

1、大学数学微积分期末总复习（理专）第一章函数与极限1. 求极限：（1） lim x23x2 ;x 2 x2x2（2） limx 22 ; （3） lim sin 5x;x 0xx 0 tan3xlimtan xsin x;2xx 21（4）x sin x2（5） lim; （6） lim xsin;x 0xx3x 0x（ ）arctanx（） lim x2sin 1;（） lim sinx .7limx8x 0x9xxx2. 设f ( x)xsin 1x0,xax2x0,要使 f ( x) 在 (,) 内连续 ,应当怎样选择 a？3.设函数 f ( x)ex ,x0,ax,x0.为了使函数 f

2、( x) 在 (,) 内连续， a 应取什么值？4. 选择题（1）设函数f (x)xarctan 1 , 则 x 0 是 f ( x) 的（）.x（A）可去间断点；(B) 跳跃间断点；(C) 无穷间断点；(D) 振荡间断点 .1（2）当 x0 时，cos3x是x2的（ ）.1（A）高阶无穷小 ；(B)低阶无穷小 ；(C) 等价无穷小 ；(D)同阶但非等价无穷小 .5. 求函数yx的间断点及其类型 .sinx6. 求函数yx的间断点及其类型 .tanx答案：1. （1） 1. （2） 12. （3） 5 . （4） 1 . （5） e. （ 6） 0.3232（ 7） 0. （ 8）0. （ 9

3、）0.2. a 0.3. a 1.4. （ 1）（B）；（ 2）（ D） .5. 间断点为 x0, xk (k1, 2, ) ；0是第一类可去间断 点；xx k (k 1,2,) 是第二类无穷间断点 .6. 间断点为 x k , xk(k 0, 1, 2, ). x 0, x k是第22一类可去间断点 ； xk （ k0） 是第二类间断点 .第二章导数与微分1.填空题（1）设 f ( x0 ) 4,f ( x0h) f ( x0h)则 limh_.h 02（ 2）曲线 y x2 3 在点 M 0 ( x0 , y0 ) 处的切线方程和法线方程为.2.设 fxx x1x 2x100 , 求 f0

4、 .,xx2a .设 fx在内具有一阶连续导数，a f x，3.求4.求 yxcosx ( x0) 的导数 .e所确定，求 dy5.设函数 yy( x) 由方程 eyxyx 0 .6.设 xln(1 t2 ),求 d2 y2 .dxytarctant .dx7.设函数8.设函数y3 x21的微分 .y1xearctanx , 求y .9.求 f ( x)eax ( a 为常数 )的 n 阶导数 .10.求下列函数的导数：（ 1） ye 3x2; （ 2 ） yIn( x21); （ 3） y sin 2 x;（ 4 ）yarctanx2 ;（5） y(arcsinx)2 ; （6） y arc

5、tan(ex );（7） y In cosx;（8） ya2x2 .答案：1 ( x x0 ).1.（ 1） 8；（2） yy2x ( x x ), y y00002x02.100!3. 2 f (a).4. xcos x sin x ln xcosx.x31 .1t 2.5. e6.4t9. aneax .10. (1)6xe 3 x2;2 a r c sxi n( 5 );1x2211)dx.arctan x17.(3 xx28.e.3x2+1(2)22x ;( 3 ) sxi n( 4 )2x4;x11x(6)ex2x ; ( 7 )xt n a (8)x.1+ea2x2第三章导数的应用

6、1.设函数 f ( x) 在闭区间 0,1上连续，在开区间 (0,1)内可导，且f (1) 0 ，证明在 (0,1) 内存在点，使得f ( )f ( ) .2. 设函数 f ( x) 在闭区间 0,1 上连续，在开区间(0,1) 内可导，证明在内至少存在点，使得(0,1)bf (b)af (a)f ( )f ( ).ba3.求极限：1lim ln(12arctan xxlim(1sinx2)1 cosx;3x ) ;（1） lim（3） x 03); （2）x 0x2x 0 ln(1 2x（4）lim xarctanx ; （5） limln x(n 为正整数 ).2xnxx4x2 sin1l

7、imsin xx .(7)lim xsin x .（6） x 0edtx 04 求极限1t5. 求极限2x2limcosxx2.l i m0s i tn2 t d x 0x6.x 0x22t dl im0c ots6. 求极限x2.x0dtet07.证明不等式当 x 0 时，8. 证明不等式1 1 x1 x .2当 x0 时 ,1+xIn x 1 x21 x2 .19. 确定函数曲线 y 1 (x 1)3 的凹凸性与拐点 .问函数yx254 (x 0)在何处取得最小值 ?10.x11.试确定曲线 yax3bx2cx d 中的 a, b, c, d 使得 x 2为驻点， (1,10) 为拐点，且

8、通过点 ( 2,44).答案；3.12;( 3 )3 ;(4) 1; (5(1) ;( 2 ) e(7) 1.64. 1 . 5.1. 6. 0.2e359.曲线在 (,1) 内是凹的，曲线在 (1,) 内是凸的，拐点是 (1,1).10. x 3处取得最小值，最小值为 27.11.a1,b3,c24, d16.第四章一元函数的积分学1. 填空题3sin2xdx _.3x3 x42x212. 填空题dx设函数 f ( x) 连续 ,则xf (t)dt _.dx03 选择题设函数 f ( x)为可导函数，则（）(A).f ( x)dxf ( x) ;(B)df ( x)f ( x) ;（C）f

9、( x)dxf (x) ;（D） df ( x)dx f (x).4.求导数dx2d sin t 2 dt;22（1）etdt ;dx sin x（2） dxsin x（3）dx2 t sin t dt;d1 sin t dt.dx 01 t（4） dx x tyt 2x2dy5.求由方程edtcostdt 0 所确定的隐函数的导数.00dxxtsinx2dx,求由参数方程0所确定的函数 y 对 x 的导数 dy .t6.ycosx2dx,dx067.计算不定积分：（1） x 1 x2 d x .（2）d x（3） xarctanxdx.x(12In x)（4）1xdx.（ ）x32 dx.（

10、 ） xe x dx.94x259x68. 计算定积分：22e(1)1x dx ;(2) 4tanxdx .Inx dx ;（3） 100e9.设函数xe x2,x0,f (x)1,1x 0,1cosx4计算f ( x2)dx.110. 求曲线 y1x 及 x2 所围成的图形的面积 .与直线 yxr a (a上0)相应于 由 0 到211.计算阿基米德螺线的一段弧与极轴所围成的图形的面积 .12.计算由椭圆x2y21 分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成的旋转体a2b2的体积 .13.计算有 yx3 , x2, y0 所围成的图形绕 x 轴及 y 轴旋转所得旋转体的体积 .14.判定下列各反常积分

11、的敛散性：13 dx; （2）1111（1）113dx;（3）1xdx;（4） 0dx;xxx711111（5）2 dx.（ ）2 dx ;（ ）2 dx .0 ( x1)60 ( x 1)372x(Inx)15.计算曲线 y2 x23上相应于 x从 a 到 b 的一段弧的长度 .3计算摆线xa(sin),的一拱 (02 )的长度.16.ya(1cos)17.求阿基米德螺线 ra (a 0) 相应于从0到2一段的弧长 .答案：1. 0.2.xf (t )dtxf ( x).3.(C).022 xsin( x4 )sin(sin2 x)cos x .cosx .4. (1)(2)esin x2x

12、3sinx2(4)sinx(3)1x2.x5.dycos x2ey2.6. tan t2 .dx13（2） 1(1x2 ) 2C .In 1+2In xC .7.（1）3212arctanxxarctanx)C.（ 4 ）（ 3 ） (x21 arcsin2 x194 x2C.234x292+9)+ C.x（5）In( x（ ）e ( x1)C.2268.（1）1.（2） 1. （3） 2(11).tan 11 e 41 .43e9.10.In2.11. 4 a23.2222312.4ab2 ;4a2 b.13.64 .335814. （1）收敛；（2）发散；（3）发散；（ 4）收敛；（5）发

13、散；（6）收敛；（ 7）收敛 .15.23316. 8a.(1b)2(1a) 2 .317.a214 2In(2+1 42).2第五章常微分方程1.求微分方程的通解 ：（ 2） ( y 1)2 dy（1） 1 y23x2 yy；x30.dx2. 求微分方程的通解 ：2xy.（ 2） x dyyIn y .（1） yy2x2dxx3. 求微分方程的通解 ：y x ln x（ 2）( x21)y 2xy cosx 0（1） yx求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点( x, y) 处的切线斜4.率等于 2xy .5. 求微分方程满足初始条件的特解 ：y ycotx 5ecos x , y4.2

14、96. 求微分方程的通解 .1.（2） xyy 0.（1） y1 x2( y )2（3） y e2 xcosx .（4） yy0.7. 求微分方程 (1 x2 ) y2xy 满足初始条件y x 01, y x 03的特解 .2118.求微分方程xy y9 , y x 1x满 足 初 始 条 件 y x 13的特解 .9. 求二阶常系数齐次线性微分方程的通解 .（1） y 3y 2y 0.（2） y 4y 4 y 0（3） y 4 y 29y 0（4） y(4)16 y0.10.求二阶常系数齐次线性微分方程 yy 2 y 0; y(0)0, y (0) 3的通解及给定条件的特解 .11. 求微分

15、方程 2y y y 2ex 的通解 .12.选择题方程 y5y6 y20xe2 x 的特解形式为 （）.(A)axe2x ;(B)(axb)e2x ;(C)x( axb)e2x;(D)x2 (axb)e2x .13. 选择题方程y3y2 yex cos2x 的特解形式为（）.(A) xex (acos2xbsin2 x);(B)aexcos2x;(C) ex (acos2xbsin2 x);(D)aexsin2 x.答案：101.（1） 1y21C0.3x0.y C(x2y2 )2.（1）3.（1） y= x ln 2 xCx .24.y 2(exx1).（2） 4( y1)33x4C .（2） yxeCx 1.Csinx（2） y2.x15. y11 5ecosx .sin xyx arctan x1 ln(1 x2 ) C xC2.6.（1）21（ 2） y C1In x C2.（3） y1 e2xs