第2章光波在自由空间和波导中的传播

1、第2章光波在自由空间和波导中的传播内容提要：光的传播是光电信息系统研究的基本问题之一，也是光能够记录、存储、处理和传送 信息的基础。为了解释光在光电器件之间传播现象，需要研究光在自由空间和波导中传播 的行为。本章首先介绍平面波角谱的概念，并从角谱的传播导出光在自由空间传播的规律；同时利用光的直线传播和波动理论，介绍光在波导中的传播行为。2.1 球面波和平面波的复振幅表示我们知道，光是电磁波，求解 (1.10)和(i.ii)关于电磁波传播的波动方程，可以准确解 决光的传播问题。衍射是光波动传播过程的普遍属性，是光具有波动性的具体表现。电磁 波是矢量波，精确解决光的衍射问题，必须考虑光波的矢量性。

2、用矢量波处理衍射过程非 常复杂，这是因为电磁场矢量的各个分量通过麦克斯韦方程联系在一起，不能单独处理。 但是，在光的干涉、衍射等许多现象中，只要满足：(1)衍射孔径比波长大得多；(2)观察点离衍射孔不太靠近。把光作为标量处理的结果与实际极其接近。因此，这里只讨论光的 标量衍射理论。从光场的分解可知，任何复杂的波都可以用球面波或平面波的线性组合来表示，球面 波和平面波都是波动方程的基本解。因此，可将平面波作为基元函数来描述衍射现象，这 就是研究平面波衍射的角谱方法。2.1.1球面波的复振幅表示球面波是波动方程的基本解。从点光源发出的光波，在各向同性介质中传播时形成球 形的波面，称为球面波。一个复

3、杂的光源常常可以看做是许多点光源的集合，它所发出的 光波就是球面波的叠加。这些点光源互不相干时是光强相加，相干时则是复振幅相加。因 此，研究球面波的复振幅表示是很重要的。球面波的等相位面是一组同心球面，每个点上 的振幅与该点到球心的距离成反比。如图2.1所示，位于平面任意点 S(Xo,y°,z°)的单色发散球面波在光场中任何一点P (x, y , z)产生的复振幅可写做U (P)二玉ejkr(2.1)r式中，a0为离开点光源单位距离处的振幅；r为观察点P(x, y, z)离开点光源的距离。r =( x -x。)2 (y -y。)2 (z -z°)21/2对于会聚球

4、面波，则有U (P)二屯e-j kr(2.2)r光学问题中所关心的是特定平面上的光场分布，例如，衍射场中的孔径平面和观察平 面，成像系统中的物面和像面等。因而光波在某一特定平面上产生的复振幅分布具有重要 意义。在图2.1中，点光源位于X。_y°平面上S(x0, y0)点，考察与其相距z(z>0)的x _ y平 面上的光场分布，r可写为2 2r 二z (x X。)当x-y平面上只考虑一个对f22(X X。)+(y y。) (y - y。)= z 1S点张角不大的区域时，取 r的一阶近似(2.3)31 # 2 2(2.4)(XX。)+(y y。) r : z亠2z将式(2.4)代入

5、式(2.1)，因为所考虑的区域相对z很小，各点的光振动的振幅近似相等。式2 n(2.1)中分母上的r可用z近似，但在指数函数上的相位因子中，由于光的波长极短，k=-数值很大，近似式(2.4)中第二项不能省略。因此，发散球面波在X-y平面上产生的复振幅分布为a0f k2 丄21U (X, y) exp( jkz)exp j ( x x。)(y y。)(2.5)zI 2zJ在式(2.5)中，exp(j kz)是常量相位因子；随x-y平面坐标变化的项f k22 丨exp j(x-x。) (y-y。)为球面波的(二次)相位因子。当平面上复振幅分布的表达z式中包含有这种因子时，一般就可以认为距离该平面z

6、处有一个点光源发出的球面波经过这个平面。x-y平面上等相位线方程为2(X - X。)2-(y - y°)(2.6)式中，C表示某一常量。不同 C值所对应的等相位线构成一个同心圆族，它们是球形波面 与x-y平面的交线。相位值相差2 n的同心圆之间的间隔由下式决定(2.7)2 2C1 C 2 (C1 C 2)(C1 -C2) = 2.；.z因此同心圆族由中心向外愈来愈密集。当光源位于xo-yo平面的坐标原点时，在傍轴近似下，发展球面波在x-y平面上的复振幅分布为a。U (x, y) exp( j kz) expzj上(x IL 2z(2.8)33 # a。k若z<0,上式也可以用来

7、表示会聚球面波，或者写做(2.9)(x2 - y2)它表示经过x-y平面向距离|z|处会聚的球面波在该平面产生的复振幅分布。2.1.2平面波的复振幅表示2 n -如图2.2所示，波矢量k表示光波的传播方向，k i cost j cos “ cos 。在任意时刻，与波矢量相垂直的平面上振幅和相位为常数的光波称为平面波。图2.2平面波在x-y平面上的等相位线若空间某点P(x, y, z)的位置矢量为r,则平面波传播到P点的相位为k r，该点复振幅的一般表达式为U (x, y, z )= a exp(j k r)= a expj k(xcos 士+ ycos : + zcos )(2.10)当观察面

8、已定，Z变为常数时，式(2.10)可表示为# U (x, y, z) = a exp( j kz Ji -cos 2 a -cos ? B ) x exp j k(x cos a + y cos B)(211)(2.11丿=A exp jk(x cos 二 亠 y cos I'1)于是复振幅可写为U (x, y) = A exp j k(x cos :：£ 亠 y cos)(212)式(2.12)表征了与z轴垂直并距原点z处的任一平面上平面波的复振幅分布。上式右边可分成与(x, y)坐标有关的exp jk (x cos .：； y cos )和与(x, y)坐标无关的A两部分

9、。前者是 表征平面波特点的特征相位因子，当平面上复振幅分布的表达式中包含有这种因子时，即 表明有一个方向余弦为cos 、cos的平面波经过这个平面；后者即 A的模是个常数，不像球面波的模与距离成反比。A的幅角则与z坐标成正比。平面波等相位线方程为xcos 二亠 ycos ： =C(2.13)式中，C表示某一常量。不同C值所对应的等相位线是一些平行直线。图2.2中用虚线表示出相位值相差2 n的一组波面与x-y平面的交线，即等相位线。它们是一组平行等距的斜直线。由于相位值相差2 n的点的光振动实际相同，所以平面上复振幅分布的基本特点是相位值相差2 n的周期性分布。这是平面波传播的空间周期性特点在x

10、-y平面上的具体表现，也是下面将要提出的平面波空间频率概念的基础。2.2 平面波的角谱及角谱的传播2.2.1平面波的空间频率在单色平面波中，引入与传播方向有关的量cos Gcos Pcos '<fx , fy , fz (2.14a)/u/u/u平面波的复振幅的一般表达式变为U ( x, y, z) = a exp( j k r) = aexpj k(xcos _："ycos : + zcos )(2.14b)二 a exp j2 Mxfx ' yfy ' zf z)式(2.14a)定义的fx,fy,fz为平面波在x,y,z方向上的空间频率。 可见，空间

11、频率与平面波 有一定的联系，如图 2.3所示，一平面波的波矢量为 k,时间频率为，其等相位面为平面，并与波矢量k垂直。图中画出了由原点起沿波矢量方向每传播一个波长周期性重复出现的两个等相位面。相邻两等相位面与x、y、z轴的两交点距离分别为X,丫二一，Z (2.15)COS ：COS Icos由式(2.15)可知，空间频率表示在 x、y、z轴上单位距离内的复振幅周期变化的次数。这就是平面空间频率的物理意义。1 -V4 AoA35 # 图2.3 传播矢量k位于xo-z平面的平面波在x-y平面上的空间频率空间频率的意义可总结如下：(1) 对于一列平面波而言，它的空间频率是一个常数，其大小由平面波的传

12、播方向决 定。因此，“单频信号”与一列平面波相对应。(2) “多频信号”代表各个方向的不同的平面波的组合，对于单色波，空间频率与平面波的方向余弦是对应的，因而多频信号(复色信号)可视为方向不同的多个平面波的叠加。空间频率不同的平面波对应不同的传播方向，传播方向与空间频率对应。由于空间频率与平面波方向相联系，即与角度有十分密切的关系，所以空间频率可称 为角频率”。如果光沿一个平面如 x-z传播，a =90 : fx =0，对应“零频”，即光波 沿z轴方向传播；二越大，意味着fx越小，称为“低频” ；：越小，f x越大，称为“高频”； 当=0时，即波沿x轴方向传播，此时fx =1/ ,称为极限高频

13、(见图2.4)。©图2.4空间频率与传播方向的关系(3) 光栅线密度越小，则一级衍射平面波的空间频率越低。当平面波垂直入射到平面光栅上时，产生的多级平面衍射波具有不同的传播方向。由光栅方程dsin壬k'可知，对于同样波长而言，光栅常数d越大则一级衍射波的衍射角越小，由此可知光栅线密度越小则一级衍射平面波的空间频率越低。一个普通光学图像可视为由多种空间频率的光信号组合而成，低频分量反映图像的宏 观结构，高频分量则反映图像的精细结构，也就是图像的细节。空间频率的量纲是长度单位的倒数，通常取cm-1或mm-1。222平面波的角谱及其物理解释平面上任意一个单色光场函数都可以分解成无穷

14、多个具有不同传播方向、不同振幅的平面波加权的线性组合，沿不同方向传播的平面波具有不同的空间频率。回顾上章二维傅 立叶变换的定义，对平面上任意一个单色光场函数可做空间二维傅立叶变换，可知，平面波U (x, y, z) =aexp j2 Tt(xfx - yf y zf z)就是二维傅里叶变换的核。将平面上任意一个单色光场函数分解成不同空间频率的平面波，这就是平面波的空间频谱即角谱。角谱的数 学推导如下：设有一单色光波沿 z方向投射到x-y平面上，在z处光场分布为 U(x, y, z)，则函数U(x, y, z)在x-y平面上的二维傅里叶变换是A( fx，fy,z)二 U (x, y,z)exp

15、_j2 冗(xf x yf y)d xdy(2.16)-oO(2.17)这就是光场复振幅分布U(x, y, z)的角谱。同时有逆变换为U (x, y,z)二 A( fx, fy,z)exp j2 Tt(xfx - yf y)d xdy-oaCOS 二COS :,x, fy的U(x, y, z)可理解为不同空间频率的一系列基元函数exp j2冗(xfx - yfy)的和，其叠加权重为A( fx, f y, z)。由式(2.17)可以看出，基元函数就是空间频率为f平面波。权重因子 A(fx, fy,z)为该方向平面波即该空间频率平面波的复振幅。因此，式(2.17)说明，单色光波在某一平面上的光场分

16、别可以看做是不同传播方向的平面波的叠加， 在叠加时各平面波有自己的振幅和 相位，它们的 值分别为角谱的 模和幅角。因 为,cosaco sP“fx, fy，贝U A( fx , fy ,z)也可利用万向余弦表示为：U(x,y,z)exp -j2 n 汪COSCOS :A, zcos 用 cos !：'xy dxdy (2.18)农刀由(2.18)可以看出，空间频谱COS -： cos A,-,z i是以平面波传播方向的角度的余弦为自37 # 变量，因此将其称做角谱。# 223平面波角谱的传播1.平面波角谱传播的推导研究角谱的传播就是要找到z=0平面上的角谱'cos acosp

17、,0 1和I k九Jz=z平面上的Acos 篇 cos(x, y)平面平行且离它距离为z的平面上的光场的复振幅分布的角谱。根据式(2.17)，图2.5中z=0平面上的光场分布U (x, y, z)可以分别表示如下U o (x, y, 0)和z = z平面上的光场分布oOU°(x,y,0) = A 二一,.：.'cos cos I：“，,0Fxpj2 trcos - cos x -cos :-(2.19)qQU (x, y, z)二 A-oO 'COScos -,zcoscos邓 _j2 n x d Ico(2.20)39 # 在所有的无源点上，u (x, y, z)必

18、须满足c 2 k2)U =0(2.21)将式(2.20)代入式(2.21)表示亥姆霍兹方程，改变积分与微分的顺序，注意到角谱A co», co*l, z i仅是z的函数，而复指数函数中不含z变量，可以导出Acos -z必须满足的微分方程# 2 ddz,z k2 (1 - cos2 ： - cos2 |:，) Acos : COS | ：',z =0(2.22a)该二阶常微分方程的一个基本解是A COS a''cos aCOS 1 exp( jkz.1-COS 二COS 2 -)# # 式中，c'CO浮，CO兰 由初始条件决定。z=0平面上的角谱为A _

19、co_,_c°., 0 j,因 (丸 九丿I丸 九 丿而有''cos a''cos a# # 最后得到cos 用 cosA-COS 二 COS 2:)COSCOS :,0 exp( j kz(2.22b)# # 这是一个十分重要的结果，它给出了两个平行平面之间角谱传播的规律。在由已知平cos a COS B I面上的光场分布Uo(x, y, 0)得到其角谱A COS , COS ,0 I后,可以利用式(2.22b)求出它传播到z=z平面上的角谱 A C叱，°兰，z I再通过傅里叶逆变换求出其光场分布U (x, y, z)。角谱的传播公式(2.

20、22b)表明，当方向余弦满足COS Jcos? ： : 1时，平面波传播一段距离距离z的效应只是改变了各个角谱分量的相对相位。这是由于每个平面波分量以不同方向传播，它们到达给定的点所经过的距离不同，引入一个相位延迟因子exp对于COS用' COS " ： 1的情况，不能将COS -：i、COS ：解释为方向余弦。由于c o S、； c o s !'10是场分布的傅立叶变换，而孔径平面上对场施加了边界条件即卷积,因此可能出现满足 cos S cos .1的情况，这时，式(2.22b)中的平方根是虚数，于是公式变成COSCOS :,Z = ACOSCOS :,0 exp(

21、-z)(2.23)式中，=k . cos 2 二cos 2 I，. 1。由于是正实数，式(2.23)说明，一切满足cos - cos 1的波动分量，将随 z的增大而按指数衰减，在几个波长的距离内很快衰减到零。对应于这些传播方向的波动分 量称为倏逝波，它们与在截止频率以下驱动的微波波导中所产生的波非常相似。在满足标 量衍射理论近似的情况下忽略不计。对于cos二：cos 2 - = 1，即cos =0的情况，波动分量的传播方向垂直z轴，它在Z轴方向的净能量流为零。2.在空间频域平面波的传播现象等效于对光波做空间滤波”cos acos p令fx =， fy =，把式(2.22b)改写为A(fx，fy

22、)"。"，fy)H (fx，fy)(2.24)如果将 A( fx , fy)二 Acos ： cos :,z 和 A°(fx, fy) =A壬，心，0分别看做一个线性不变系统的输出和输入函数的频谱，系统在频域的效应可由传递函数表征为H(fx, fy)A( fx,fy)A°( fx，fy): 2 2exp jkz 1 一(匚)-(- fy)(2.25)41 # 2 2 1 f fxy2h其他(2.26)在满足标量衍射理论近似条件情况下，倏逝波可忽略不计，因而传递函数可表示为exp jkz J (九 fx/ (九 fy),H ( fx, fy )二0公式(2

23、.26)表明，可以把光波的传播现象看做一个空间滤波器。如图2.6所示，在频谱面上半径为1/的圆形区域内，传递函数的模为1，对各频率分量的振幅没有影响，但要引入与频率有关的相移。在这一圆形区域外，传递函数为零。由此可知，对空域中比波长还要小 的精细结构，或者说空间频率大于 1/'的信息，在单色光照明下不能沿 z方向向前传递。光 在自由空间传播时，携带信息的能力是有限的。图2.6传播现象的有限空间带宽224衍射孔径对角谱的效应假设在z=0平面处有一无穷大的不透明屏，它包含衍射结构，即开一孔a，现在研究该衍射屏幕对光波扰动的角谱的影响。定义该孔的透过率函数为Ut(x,y,O)1 (x,y)在

24、瓦t(x,y) t(2.27)U i(x,y,0)0 其它这里，沿z方向传播的光波入射到该孔径上的复振幅为Ui(x, y, 0)，则紧靠孔径后的平面上出射光场的复振幅Ut(x, y, 0)为(2.28)U t(x, y,0) =U i (x,y,0)t(x,y)对上式两边做傅里叶变换，并利用傅立叶变换的卷积性质，角谱可表示为'COS GAt ''cos a''cos a(2.29)式中，T COL, CO-为孔径函数的傅里叶变换。由于卷积运算具有展宽带宽的性质，因此，弓I入使入射光波在空间上受限制的衍射孔 径的效应就是展宽了光波的角谱，而不同的角谱分量相

25、应于不同方向传播的平面波分量， 故角谱的展宽意味着在出射波中除了包含入射光波相同方向传播的分量之外，还增加了一些与入射光波传播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空间频率的波，这就是衍射波。2.3 用角谱理论推导光在自由空间的传播2.3.1标量衍射的推导及直观解释本节用平面波角谱理论即从频域的角度推导常用的衍射公式。前面已经讨论过频域的角谱传播问题，在由已知平面上的光场分布U o(x, y, 0)得到其角谱A0(fx, fy,0)后，可以利用角谱的传播公式(2.22b)求出它传播到 z=z平面上的角谱A( fx, fy, z)。通过傅里叶反变换，最后得到用U。(x, y, 0)表示的衍射光场分

26、U (x, y, z)U(x,y,z)二II, ,Uo(Xo,yo,O)exp jJOOI2 n(2.30)43 expj2 nfx(x-X。) fy(y-yo)d fxdfydx°dy°这就是平面波谱衍射的基本公式。对孔径平面的积分实际上只需对孔径内的场做积分。式(2.30)的四重积分使用起来仍很不方便，还需要按照菲涅耳的方法进行化简。考虑一列平面波通过一个孔径，在孔径后不同的平面上观察其辐射的图样。如图2.7所示，在紧靠孔径后的平面上，光场分布基本上与孔径的形状相同，这个区域称为几何投影区；随 着传播距离的增加，衍射图像与孔的相似性逐渐消失，衍射图的中心产生亮暗变化，从

27、这 个区域开始到无穷远处，均称为菲涅耳衍射区；当传播距离进一步增加时，衍射图样的相 对强度关系不再改变，只是衍射图的尺寸随距离的增加而变大，幅度随之降低，这个区域 称为夫琅禾费衍射区。夫琅禾费衍射区包含在菲涅耳衍射区内，但是通常不太确切地把前 者称做远场衍射，后者称做近场衍射。图2.7按传播距离划分衍射区2.3.2菲涅耳衍射公式假定孔径和观察平面之间距离z远远大于孔径a的线度，并且只对z轴附近的一个小区域内进行观察，则有Zx0max ' y0max 及 Z 'x2 + y2maxmax此条件等同于37t22 2z(X X。)(y y。)maxn22 2.(Lo - LJ4，4

28、'这里，Lo=('.,X： y：)max为孔径的最大尺寸；Ll=( . x2 - y2)max为观察区的最大区域。 这 种近似称为菲涅耳近似或傍轴近似。 在这种情况下，对.J - '2 fx2 - ' 2fy2展开，只保留# ( f )2项，略去高次项,('2 22 21 2 221 - fx - fy ”1(fx - fy )2这样式(2.30)可写为U(X,y)_ exp( jkz)ki |U o(Xo,yo)exp j(X-Xo)(yy°) dx°dy°(2.31)上式还可表示为U(x,yexp(Jexp j Azj

29、jy2my。)-z(2.32)k22 I - |j(X0-y。) exp(xx。+yy。)1 2z扎zexpdx°dy°这就是常用的菲涅耳衍射公式。上一节已证明，因为波动的可叠加性，可以把光波的传播现象看做一个线性系统，其 传递函数由式(2.26)表示。在菲涅耳近似下这一传递函数可进一步表示为(2.33)2 2H ( fx, fy) =exp( jkz)exp -j n z( fxfy )它表示在菲涅耳近似下角谱传播的相位延迟。因子exp( j kz)代表一个总体相位延迟，它对、-2O于各种频率分量都是一样的，因子exp -j n z(fx fy )代表与频率有关的相位延迟

30、，不同的频率分量，其相位延迟不一样。2.3.2夫琅禾费衍射与傅里叶变换在菲涅耳衍射公式中，对衍射孔采取更强的限制条件，即取(2.34)1 2 z_ k( x。2则平方相位因子在整个孔径上近似为k 2j (X一 2z'Il U o(Xo, yo,O)exp - jU(x, yzexpy2(2.35)(XX。+ yy°) dx°dy_1 z这就是夫琅禾费衍射公式。在夫琅禾费近似条件下，观察平面上的场分布等于衍射孔径上 场分布的傅里叶变换和一个二次相位因子的乘积。对于仅响应光强不响应相位的光电探测器，夫琅禾费衍射就是光场的傅里叶变换。2.4光波在光波导中的传播光在光波导中

31、的传播行为可以用几何光学的射线理论和电磁场在受限介质中波动理 论进行分析。2.4.1基于几何光学的光纤维导光原理光在光纤中的传播可以用简单的几何光学原理即全内反射原理来说明。典型光纤的横截面示意图如图2.8所示。光纤由折射率略高的纤芯、折射率略低的包层及表面涂层组成。根据纤芯折射率径向分布的不同，光纤可分为阶跃折射率分布光纤和 渐变折射率分布光纤，如图2.9所示。图2.8光纤的横截面示意图图2.9光纤纤芯折射率分布渐变折射牢分布丘纤光纤的导光原理可用射线理论与导波理论两种方法进行分析。当纤芯直径远大于光波波长时，基于几何光学的射线理论可以很好地解释光纤的导光原理和特性。当纤芯直径与 光波波长可

32、比拟时，则须用导波理论进行分析。这里，仅对阶跃折射率分布光纤的射线理 论分析方法进行介绍。图2.10表示光波在阶跃折射率分布光纤中的传播路径。一束光线以与光纤轴线成 R的角度入射到芯区中心， 在光纤一空气界面发生折射， 折射光与光纤轴线的夹角 H由折射定 律决定n0 sin 2 = nt sin -r(2.36)式中，n0和nt分别为空气和纤芯的折射率。折射光到达光纤芯 一包层界面时，若入射角大于临界角；时，将发生全反射，若包层折射率为n2，则二定义为sin c = n2/nt(2.37)所有;：-'；的光线都将被限制在光纤芯中，这就是光纤导光的基本原理。图2.10光波在阶跃折射率分布

33、光纤中的传播路径F面介绍光纤对光线的接收角，即数值孔径(Numerical Aperture, NA)。为实现全反射，对光线的入射角有一个最大值限制，R与:有关系式斗=n/2 _ ：:成立。以化替代，并利用式(2.32)和式(2.37)可得no sin %栉221/2=门勺cos二=(门勺一n2)(2.38)45 # n0sin p称为光纤的数值孔径，代表光纤的集光能力。对于n2、n1，NA可近似为(2.39)1 /2N A =(2 二)，丄-0 - n2) /式中，丄为光纤的纤芯与包层相对折射率差；耳是光纤的接收角。当入射角 R "：耳时，光线在纤心和包层的界面发生全内反射，因而光

34、线在光纤中传播时不会有严重的衰减；然而，当.-ic时，光线在纤心和包层的界面上会发生能量泄漏，造成严重的衰减。这 就是几何光学关于光线在光纤中传播的基本原理。由于光纤很长，因此光在传播过程中要 发生很多次反射。为了保证低衰减，我们需要百分之百地完全反射，每次反射中的一小点 衰减在多次反射后将导致巨大的衰减。到此为止，我们从几何光学的观点解释了光线如何在光纤中传播。下一个需要了解的 问题是带宽有多大，对此可做如下估计。假设光纤长为l ,当入射角n =o 时，光线穿过光纤的最短时间为tmin。从理论上，tmin由下式给出tminn1 L(2.40)V c / nt c当光线以临界角入射穿过光纤时需

35、花费的时间最长，为tmax时，光线在光纤中的传播# # 距离为maxLL_sin c n2 / n1n1 L(2.41)n2# 因此，最大传播时间为maxn 1 L / n2 n； Lc /n2c(2.42)上述两种情况下，光纤传播的时间差t为/ 、m lAt t max tmi n1c2 m axV(2.43)47 # 值得注意的是，传播时间差从根本上限制了传送信息的最大带宽。为了避免不同传播时间的信息相互混淆，最大带宽B为1 1B(2.44)-t ntL / c( nt / n2 1)为了对式(2.44)有一定量的认识，我们来看下面的例子。例2.1阶跃折射率光纤的纤心折射率为nt =1.5

36、，包层折射率为n2 =1.485，长度L =1 km，请计算此光纤的最大比特率。解：此光纤的最大比特率为1 1 1 B320 M b/s-t n丄 / c(nt / n2 1)1.5 10 m / 3 10m /s(1.5 /1.485 1)从这个例子可以看出，B远小于光学载波频率(数量级是10 14 Hz)。为了解决这个问题，必须减小光线沿不同路径传播的时间差。有一种光纤(即单模光纤)，它只允许光线沿一条路线传播，这样可以获得更大的带宽。不过，简单几何光学理论不能完全解释这个现 象，其必须由下节所描述的更为精确的波动理论来阐述。2.4.2基于光的波动光学的波导导光理论当光纤的横向尺度与光的波

37、长相比拟，需要更为精确的波动光学理论来分析，尤其是 模式理论，才能解释发生在光纤中的现象。波动光学法从著名的麦克斯韦方程出发。光纤是绝缘介质，因此它的自由电荷密度亍=0，传导电流密度J =0。另外还可假设光波是简谐振荡波，对这一线性系统，一般可以用基于傅里叶变换的加权求和来处理。在这些假设下，准单色光场的电场 E满足下面的波动方程' 2 E n 2k： E 二 0(2.45)式中，k0 = /c是波数；是光的时间角频率；c是真空中的光速；n = , J ；r是 光纤的材料折射率，它可能是角频率的函数，即由于一般光纤具有圆柱对称性，因此在柱坐标下解式(2.45)很方便。注意式(2.45)

38、是一个矢量微分方程，为了简单起见，首先处理电场在z轴方向的分量Ez。这时，式(2.45)变成下面简单的标量微分方程(2.46)2 2 2'、Ez - n k0 Ez = 0在如图2.10所示的柱坐标下，式(2.46)可以写成G d广E、J込1 +¥-2V+2Ez(人，z) n2k：Ez(几，z)二# # 2 21已+召 + 1 d P cP cP2 P2 別22已 Ez(P,©,z)cP2式(2.47)是一个线性偏微分方程,总2 )2 2+ 三7 Ez(P,©,z)+ n?k：Ez( P,©,z)= cZ丿22n2k0Ez( ?, ,z) =01

39、 ;:Ez(；?, ,z)1 : Ez(乙,z)匸 Ez(乙,z)2. 2oz(2.47)包括三个变量(P,©,z)。可以通过分离变量法求解，即可假设Ez(，：z) = F(T)和(J Z(z)(2.48)把式(2.48)代入式(2.47)，可以得到下面三个方程d Z(z) - 2Z(z) -0 dz(2.49a)d：()m()=0d(2.49b)ood F ( ') 1 dF ( ')2 2 - 2 m、(n k。- ： - QF(T)=0 d-: d ：(2.49c)式中，m是整数；-是常数。式(2.49a)的解是Z(z)二e"(2.50)此式描述了光波

40、是如何在z轴方向传播的，一般称为传播常数。式(2.49b)的解是(2.51)# 此式描述了光场在径向是如何变化的。®) =e(©+2 n , m必须是整数。式(2.49c)比较复杂，对阶跃折射率光纤能得到一个解析解。 述为在图2.11中，阶跃光纤的折射率分布可描< a(2.52)> an2,图2.11柱坐标下的光纤49 # 式中，a是纤心的半径。把式(2.52)代入式(2.49c)，得到下面的方程组2d F ( 01 dF(门P dP2d F (门 1 dF (门d ¥ d ；-2 2 : 2 n1 ko -+ n1 ko2F()=0,；- <

41、a(2.53a)(2.53b)# # 式(2.53a)和式(2.53b)可以通过定义两个新常数得到进一步简化，这两个常数是(2.54a)一 n2(2.54b)把式(2.54a)和式(2.54b)代入式(2.53a)和式(2.53b)，得到d2F(厂d J21 dF ( ?)2mr2F (讨二 0,(2.55a)# # 1 dF( )-d：?FL)(2.55b)d2F()d r2式(2.55a)是著名的贝塞尔方程，而式(2.55b)是修正的贝塞尔方程。这两个方程的解都是贝塞尔函数，因此，F (：-)可以表达为A Jm(KP) +B Ym(KP), P 兰 a F ( P) = «(2.

42、56)C Km(YP) +D .Im(YP), PX式中，Jm是m阶一类贝塞尔函数；Ym是m阶二类贝塞尔函数；Km是m阶二类修正贝塞尔函数；Im是m阶一类修正贝塞尔函数；A,B,C,D均是常数。当 0时，Ym(、)_. ，由于光能不能为无穷大， B必须为零(即 B =0 )。同样 地，当!?):时，I m ()r，而光能也不能为无穷大， D必须为零(即D =0)。这样， 式(2.56)简化为”AJm(KP),PWaF ( P)=(2.57)C Km(fP), Px贝塞尔函数jmr)和Km(门可以通过查贝塞尔函数表得到，或者可以由其级数表达式 用计算机算出。它们的级数表达式是Ym(x)2+nod

43、J m(X)=、n -0n(-1)n!(n m)!；Jm(X)fxYf12丿 m -12 n卫1 n + ( n) +C(m + n) J (一1)'2n !( m + n)!(2.58a)(2.58b)# # (2.58c)k 1(k)jm jn m 111Km(x)= i Jm(ix) +iYm(ix)(2.59)2把式(2.50)，式(2.51)及式(2.57)代入式(2.48)，可以得到光场 Ez的最终解Ez(,z,r) 口 :”AJm 佯 P)eCKm()ei m ：.' i |.z i；-，te eim , :z；：te e:_a- a(2.60)然后，通过麦克斯韦

44、方程可以求得H z, E二E , H ;?, H -.o下面，利用纤心和包层表面的边界条件求常数-和。此边界条件在数学上可表述为Ez(二 Ez()宀# Ez('.门；Ez(门cPcP(2.61)把式(2.60)代入式(2.61)，可得(2.62a)A Jm (. a) =C Km( a)(2.62b)A JmC-aC Km( a)51 # 式中，撇号表示对变量求导。把式 (2.62a)和式(2.62b)相除，得到下式(称为色散关系式)(2.63)JmCa) _( a)- JmC-a Km( a)为了理解式(2.63),把式(2.54) 中 ,代入得KmC _n:k：a)(2.64)(2

45、.66)Jm C. n：k；a) 有一个传输模式，这种光纤称为单模光纤。既然只有一个模式在光纤中传播，模间色散就不存在，因此在长距离通信中单模光纤可以有更宽的带宽。当V更大时，光纤中存在的模式数大约等于(2.68)这对应于多模光纤的情况。例2.2设一光纤的纤心直径为50(im,片=1.48, n2 =1.46,工作波长九= 0.82请计算其模式数。解：2 na2.门勺一 n2 tt50(im / 22歹既然V .1，可以用近似公式 N二V 2 / 2来计算其模式数46.65= 10891.48-1.46=46.45# # 因此，在普通的多模光纤中，传播的模式多达上千个。例2.3 光纤工作在单模

46、状态下，求其所允许的最大纤心半径。已知=1.465, n2 =1.46，工作波长，=1250 nm。解：单模运行条件是 V =2 na/n： -n：）_ 2.405，因此最大半径amax是2.405 2.4051.25 mamax 二2222r=3.96 E2 n , 口 - n22 n . 1.465-1.46此结果告诉我们，单模光纤的半径很小。例2.4 一光纤半径a = 2卩m , n 2 = 1.45 ,相对折射率差厶=0. 0 1，工作波长 ，=1. 2 8 8卩m，请计算此光纤的传输常数1和有效折射率n。解：根据相对折射率差的定义厶=（门勺-n 2） / nt可得n21.45门勺 2

47、1.46461 L 1-0.01波数为2 n k04.878m J1.288 m# # 归一化频率为53 2 归 I 222 7l2/22V =n n21.4646-1.45=2.016 : 2.405九1.288 (im因此，光纤中只有一个模式在传播，这就是单模光纤的情形。求解方程(2.64)可得到传播常数1 ,即求解下式2 : 2k。一 - a)koko-：2a)2n 2 koKm(# # 单模光纤只有一个基模在传播，它对应于m =o的情况。把m = o代入上面的方程得n1ko2a)Jo(22Ko(22K_ n 2 k o a)-n 2 kon2ko a)利用贝塞尔函数恒等关系式,即Jo(

48、x) = J1(x)和Ko (x) = K1 (x)，此方程可以进一步简化。这样可得JoO. n：k：a)k： 一 "n；K°(n:k： a)ko -2 a) n:k： «1(迸书n：k；a)(2.69)# # 方程(2.69)是一个超越方程，它没有解析解，采用图解法可求得传播常数1。把方程(2.69)的两边分别看做函数，用MathCAD程序可以分别画出它们的曲线图。如图2.12所示，两条曲线的交点就给出了传播常数：的值，：=7.103，所以有效折射率n = : / k0 =1.456可以看出，有效折射率小于 n 1,大于巳，这和理论分析相一致。# # 图2.12

49、方程(2.69)的左式和右式作为：函数的曲线图# 2.4.3光纤中的衰减正如在241节及242节中所讨论的，基于全内反射原理，光线可以被限制在光纤里。然而，光纤中的一些机制可能导致衰减，图2.13说明了衰减是波长的函数。当工作波长 ：1.3卩m时，损耗主要来自瑞利散射，它正比于1 / 4。而当，.1.6呵 时，红外吸收损耗变得越来越大。在，=1.4卩m处有一个损耗峰值，这主要是由氢氧根的吸收造成的。因此，为了将损耗减到最少，当前的通信系统工作在中心波长为1.3卩m或1.55卩m的低损耗窗口。1415% 凹0it55 # 图2.13光的光学损耗（或衰减）2.4.4单模光纤的横模正如前面几节所讨论

50、的，电场Ez具有式（2.60）所描述的分布状态。本节将讨论单模光纤的场分布。这对应于基模的情况，也就是 m = 0。把m = 0代入式（2.60），则Ez的归一 化横向分布为! J°MP)(2.70)J 0 C a)EzC )二、|K°(fP).K°( a)，为便于计算，对1.2 : V :：: 2.4的情况有一个简便的经验公式。归一化电场Ez（门可以表述为Ez( )/Ww二 a I 0.651.6193/ 2V2.879(2.71)上式是高斯函数。为了理解式(2.70)和式(2.71),我们来看下面的例子。例2.5 一单模硅光纤半径a = 2.6卩m ,纤心折射

51、率=1 . 4 6 5,包层折射率 n2 =1. 45工作波长，=1.55卩m。(a) 对精确的公式即式 (2.70)和高斯近似经验公式(2.71)，请分别画横向电场分布Ez(门的曲线图。(b) 如果光纤半径变为a =1.2眄，重做曲线图。解：(a)首先，计算式(2.70)和式(2.71)中的参数。在情况下，波数2 n 2 n_lk04. 0 5 4m丸 1. 5 4m/22 归ni - n22 冗2.6 4m2T归一化频率 V-1.465-1.45=2.204。几1.55 pm传播常数可以用例2.4中所描述的图解法计算，结果为一：= 5.907。这样，可算出参数和2 2 - 2 2 2 2二.厲 k。1.4654.054-5.9070.8252 -n:k： = -5.907 2 一 1.45? 4.054 = 0.586基于这些参数，用MathCAD程序可以画出Ez(门的曲线图，如图2.14(a)所示。从图2.14(a) 可以看出，精确公式和经验公式之间的差别非常小。这表明，当1.2 :V : 2.4时，高斯近似是可行的。本例中 V =2.204落在这个区间内。(b)依照新的半径a =1.2 pm，我们重算了电场分布，如图2.14(b)所示，两条曲线有明显的差别。注