线性代数讲义复习题

1、线性代数复习题第一章 矩阵一、 填空题1.矩阵与的乘积有意义，则必须满足的条件是 。2.设又，问 。3.设与都是级方阵，计算 , , 。4.设矩阵,试将表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。 （注意：任意阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）5.设,计算 。（特别地，若为字母向量时也应该会表达）6.设矩阵与都有意义，问与的关系为 ；又若与为同级方阵，问与的关系为 。7.设是一个列向量，是一个数，分析与的意义 ，两者是否相等？答： 。8.设向量，则 ， 。9.设矩阵，则 。10.设矩阵，则 。11.设准对角矩阵,是多项式，则 。12.设矩阵，则 。13. 设是矩阵 的伴随矩阵，则14.设 是阶方

2、阵的伴随矩阵, ,则 。15.矩阵的秩为_， 的伴随矩阵= 。16.设是3阶可逆方阵，是矩阵且，则 。17.设，是矩阵且，则 。18.试写出阶方阵可逆的几个充分必要条件（越多越好） 。19.设矩阵，试写出行列式中-元的代数余子式 ，中第三行元素的代数余子式之和= 。20.设是矩阵且，则的等价标准形为 。21.设，则的等价标准形为 。22.设，则 。23.设，则的等价标准形为 。24.设，则 。 25. 。26.已知矩阵满足，则 。 27.设阶矩阵可逆，则 。28.试写出矩阵秩的定义 。29.试写出阶行列式按第一列展开的定义 。30.已知行列式中第三列元素依次为-1,2,0,1，其代数余子式分别

3、为5,-3,-7,-4，则=_ _。31.已知为同阶方阵,且可逆,若,则 (是整数)。32.设均为阶方阵，且，则。33.设均为阶方阵，且，则。34.若，都是阶方阵，则。35.设, 则 _。36.设是阶方阵，则 。37.设是阶可逆方阵，则 。38.设是阶方阵，则 .39.试写出两个分块矩阵乘法有意义的条件 。40.设分块矩阵，则 。41.已知行列式中第三列元素依次为-1,2,0,1，其余子式分别为5,-3,-7,-4，则=_ _。二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明）1.设矩阵满足，则或。 2.矩阵乘法适合交换律。3.设是级方阵，则。4.设是同级非零方阵，若，则。5.设是方程组的解，则

4、是的解，是的解。6.设是线性方程组的解，则是的解。7.设是线性方程组的解，则是的解，是任意常数。8.矩阵可逆，且其逆为其本身。类似有，同样问题。9.设非零矩阵满足，则。10.若一行列式为零，则该行列式中必有两行或两列称比例。（或必有一行或一列为零）11.若方阵可逆，则其伴随矩阵也可逆。 12.阶方阵满足，则可逆。13.若，则必有。 14.设是阶方阵， 且， 则 。15.设，则或。 16.设,都是阶方阵,若,都可逆,则可逆。17.若矩阵的秩为，则中必有某一个阶子式不等于零。18.若阶方阵的秩，则其伴随阵。19.设是阶矩阵，则。20. 设矩阵满足，且可逆，则。三、解答题1.求， ，。2. 已知矩阵

5、，计算,。3. 设3阶方阵的伴随矩阵为，且，求。4. 求。 5.已知，求。6.设，求。7.设。试用矩阵分块方法求。8.用两种方法求下列矩阵的逆 .9.利用初等变换与初等矩阵的关系计算下列矩阵的乘积10.写出下列矩阵的等价标准形 ，（对讨论）11.设矩阵的秩为2，求，。12.求解线性方程组（1）；（2）。13.设， 求。14.设，求。15.设是阶方阵,且,求,其中 是的伴随矩阵。16. 教材中的例题和不带*的习题。第二章 线性方程组一、 填空题1.试写出线性方程组有解的一个充分必要条件 。2.设是阶方阵，且秩，则齐次线性方程组的基础解系中含 个解向量。3.方程组的基础解系中含 个解向量。4.设是

6、元齐次线性方程组的基础解系，则秩()= 。5.矩阵的秩为，则的基础解系一定由_个线性无关的解向量构成。6.若方程组有非零解，则 。7.设是阶方阵,若线性方程组有非零解,则必有 。8.设是阶方阵,则线性方程组的基础解系所含向量的个数是 。9., , 线性相关 ,则的值为_。10.若向量 与 线性相关，则的取值为 。11.设向量组，,则向量组的秩是 。12.设向量组I： 的秩为， 向量组II： 秩为， 且向量组I 能由向量组II线性表出，则与的大小关系是_。13.设向量组 I:线性无关，而 都能由I 线性表出，则秩( )= 。14.已知一个向量组含有两个或两个以上的最大线性无关组,则各个最大线性无

7、关组所含向量的个数必定 。二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明）1.元线性方程组当时有无穷多解。2.设是阶方阵,若方程组满足,则有唯一解。3.对于线性方程组 (这里为n阶方阵)，如果该方程组有解，则必有 。4. 维向量组与维向量组秩相等，则这两个向量组必能互相线性表出。5.若一个向量组线性相关，则该向量组中必含有零向量。6.如果向量组线性相关，那么这个向量组中一定有两个向量成比例。7.包含零向量的向量组是线性相关的。 8. 维向量组必线性相关。9.若两个向量构成的向量组线性相关，则它们必成比例。三、解答题1.求下列各非齐次线性方程组的通解及对应齐次线性方程组的一个基础解系。(1) ；

8、(2) ；(3) 2.求齐次线性方程组的基础解系与其通解。3.已知线性方程组，求，使得上述方程组有解，并求出所有的解。4.讨论下列方程组中的参数，研究方程组的解。(1) ；(2) ；(3) 5.求下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示(1) ；(2) ；(3) ，。(4) ， ， ， 6.判断下列向量组的等价性(1) 与。7.设矩阵，求矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用该最大无关组线性表示。8.设，求为何值时，（1）线性相关？（2）线性无关？9. 教材中的例题和不带*的习题。第三章 相似矩阵与二次型一、 填空题1.阶方阵的特征值为，则_。2

9、.若是可逆方阵的一个特征值，则必有一个特征值为 。3.设是分别属于方阵的不同特征值的特征向量，则必线性 。4.实对称矩阵 的两个特征值为_。5.设实数是实矩阵的某个特征值，则可知矩阵 的某个特征值。6.若已知阶方阵的行列式，是矩阵的一个特征值，则其伴随矩阵必有一个特征值为。7.若阶方阵与相似，且，则 。8.设向量 与向量 相互正交， 则 = 。9.向量与正交，则_。10.已知阶矩阵的特征值为，则矩阵的特征值为_。11.设对称矩阵，则与对应的二次型为。12.设是阶矩阵的个特征值， 则。13.若与相似，则 ， 。14.已知。则内积 。15.与阶单位矩阵相似的矩阵是 。16.设,若与正交,则应满足的

10、关系为 。17.设是幂零矩阵,即存在正整数，使得，则的特征值为 。18.设为阶方阵，且，则的特征值只能是。19.设向量和都是矩阵对应特征值的特征向量，且向量，则向量 。20.设为阶正交阵，则必可逆，且。21.已知是的一个特征值，则。22.二次型的秩为 。23.设实对称矩阵是二次型的矩阵，则二次型 (写成的多项式)。24.已知矩阵为正交矩阵，则矩阵元素分别为 _ 。25.二次型的秩为 _。26.二次型的矩阵。27.设对称矩阵，则与对应的二次型为。28.设为阶正交阵，则必可逆，且。29.设向量分别为实对称阵的两个不同特征值所对应的特征向量，则=_。二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明）1

11、.相似矩阵的行列式相等。 2.可逆矩阵的特征值一定不为零。3.若是 阶矩阵的特征值，则是的特征值。4.设为正交阵，则矩阵的实特征值满足等式：。5.设为阶方阵，则与有相同的特征值。 6. 设矩阵相似于矩阵, 则与也必相似。7.设,都是阶方阵,若与相似,则与有相同的特征值。8.设,都是阶方阵,若,有相同的特征值,则与相似。9.若是正交方阵,则也是正交阵，且或。10.设,都是阶正交方阵,则也是阶正交方阵。11.设是矩阵的两个不同的特征值,是对应的特征向量,则也是的特征向量。13.设,都是阶方阵,若与相似, 与相似,则与相似。15.方阵满足，则或。16.设,是阶方阵,若,可逆,则可逆。17.若矩阵的秩为，则中必有某一个阶子式不等于零。18.设为阶方阵，则与有相同的特征多项式。19.矩阵是正交矩阵。三、解答题1.设，（1）求的特征值和特征向量；（2）试求可逆矩阵，使为对角阵。 2.设 （1）是否能对角化？说明理由。若能，求可逆矩阵，使为对角阵。3.求下列矩阵的特征值、特征向量：；。4.三阶方阵的特征值为， 对应特征向量分别为, 求。5.已知阶方阵的特征值为,试求。6.设 (1)